[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 지수함수와 로그함수의 도함수

자 오늘 학습할 내용은 지수함수와 로그함수의 도함수입니다 우리가 지난 시간에 지수함수와 로그 함수의 x제곱이라는 함수를 미분하면 y 프라임은 2x가 된대요 한번 직접 계산을 해 볼게요 우리가 도함수를 구하는 방법은 도함수의 정의를 이용하는 겁니다

자 fx를 2의 x 제곱이라고 했을 때 f'를 구하기 위해서는 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 f의 x+h - fx를 계산해 주는 겁니다 자 그러면 우리가 fx가 2의 x 제곱이니까 f의 x+h는 2의 x + h제곱이고 fx는 그대로 2x제곱이죠 자 이렇게 됩니다 자 그랬을 때 지금 분자를 2x제곱으로 묶을 거예요 2x제곱으로 묶으면 2의 h 제곱 마이너스 1이고요 분모에는 h가 그대로 있겠죠 자 이때요 지금 h분의 2의 h 제곱 마이너스 1이 뭐예요 우리가 지난 시간에 이거는 1이 된다고 배웠죠 지금 h가 0으로 가고 있으니까이 값이 1이 되는 거예요 그래서 남은 건 2의 x 제곱밖에 없는 겁니다 따라서 fx를 2x라고 했을 때 우리가 이거를 미분을 하면 F 프라임 x는 똑같이 2x가 나오는 겁니다

자 두 번째 y는 ax라는 함수에요 자 그럼 이번에 이거 가지고 한번 도함수를 구해볼게요 자 gx라고 하겠습니다 gx가 ax 제곱이면 g 프라임 x를 한번구해 보면 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 1 그리고 f의 g죠 지금 gx니까 g의 x + h - gx입니다 자 요거를 각각 개입을 해주면 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 1에 a의 x+h제곱 마이너스 a의 x 제곱이고요 자 얘가 어떻게 돼요 이번엔 마찬가지로 ax²으로 묶을 수가 있습니다 ax곱으로 묶으면 h 제곱 마이너스 1이에요 그러면 여기 써 있는 h분의 ah-1 제곱은 h가 0으로 갈 때 어떻게 되는 거예요 얘는 lna가 됩니다 따라서 요거를 마저 계산해주면 ax 제곱은 그대로 있고 lna가 하나 생기는 거예요 자 그래서 우리가 지금 2x제곱이 아니라ax 제곱을 미분하면 ax²을 미분하면 lna가 생겨요 lna가 그래서 밑이 2x면 밑이 2라면 2인 지수함수면 미분했을 때 그대로 나오는 거고요 밑이 a인지수함수면 lna가 lna가 이렇게 생기는 겁니다 자 이때요 a는 미치니까 0보다 크고 1이면 안 되겠죠 그 조건이 적혀 있습니다 자 넘어가겠습니다 우리가 미분하는 거 직접 해볼 건데요 자 y=x+2인데 우리가 이거를 어떻게 미분하냐 물어보면 우리가 지금 x가 아니라 x+2가 들어가 있어서 문제가 생기는 건데 x+2는요 2의 제곱 곱하기 2의 x와 같죠 근데 이게 제곱은 문자처럼 생겼지만 사실은 얘는 그냥 상수죠 상수 숫자입니다 숫자 그래서 우리가 이거를 미분을 하면요 똑같이 그냥 2의 제곱 곱하기 2x가 나오는 거예요얘를 미분해도 어차피 변하지 않으니까요 그래서 2의 x + 2가 나옵니다 자 x + 2 곱하기 2의 x²입니다 그러면 우리가 어떤 함수와 어떤 함수를 곱한 거를 미분할 때는 먼저 우리가 앞에 있는 x+1을 미분한 1을 한번 써 주고요 뒤에 있는 거를 그대로 냅둡니다 EX +x+2 그대로 쓰고요 이번엔 뒤에 있는 2의 x 제곱을 미분한 2x제곱을 그대로 써주죠

자 그래서 정리를 해주면 x+3의 2의 x 제곱이 됩니다 우리가이 곱의 미분이라 그러죠 고베 미분은 수학 2에서도 배운 내용입니다 자 4번 볼게요 y는 x 제곱에 3의 x제곱의 3의 x 제곱인데 얘도 마찬가지로 곱의 미분입니다 그래서 얘를 미분을 해주면 앞에 있는 x²을 미분한 EX 곱하기 3의 x 되고 + x 제곱 곱하기 3x를 미분하면 ln3이 하나 생기겠죠 그래서 3의 x 제곱으로 묶었을 때 x 제곱 ln3 + 2x라고 계산해주면 됩니다 자 넘어가겠습니다 이번엔 로그 함수의 도함수인데요 우리가 얘도 마찬가지로도함수를 도함수의 정의를 이용해서 구해 볼 거예요 fx를 lnx라고 한다면 F 프라임 x는 우리가 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 f의 x+h-fx고요 자 이때 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 자 f의 x+h는 ln의 x+h입니다 - fx는 lnx 그러면 로그의 성질을 이용하면 h분의 1+ x h가 되죠 자 그러면 우리가 지금 요렇게 봐야 돼요 h가 0으로 가는데 h분의 1 곱하기 1+x분의 1 곱하기 h거든요 그런데 지금 h의 계수가 x분의 1이죠 x분의 1이 앞에 곱해져 있어요 그래서 여기다가도 x분의 1을 곱해줘야 됩니다 그런데 여기다가도 곱해줘야 똑같죠 그러면 우리가요 부분이 지금 이제 똑같아졌어요이 부분과이 부분이 똑같아졌으니까 이렇게 쓰여져 있는 부분은 우리가 1이라고 배웠습니다 h가 0으로 갈 때 1이에요 그래서 남은 x분의 1만 남구요 그래서 fx인 lnx를 미분하면 f'x는 뭐가 나오는 거예요 x분의 1이 나오는 겁니다

자 2번도 해볼게요 2번도 똑같은 과정입니다 우리가 로그 ax면 우리가 로그만 바뀌겠죠 이번엔 gx라고 하겠습니다 gx는 로그 a의 x라면 g프라임 x는 h가 0으로 가는리미트 h분의 1의 g의 X + h - g의 x고요 자 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 1에 gx+h는 로그 a의 x + h - 로그 a의 x고요 그러면 h분의 h가 0으로 갈 때 리미트 h분의 1의 h분의 1의 로그 a의 1+ x입니다 그러면 얘를 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 1 곱하기 ln의 1+x h / lna라고 바꿀 수가 있겠죠 그러면 우리가 아까 했던요 부분이 똑같은 부분입니다이 부분이 똑같은 부분이죠 그래서 얘를 h가 0으로 보내면 x분의 1이 나오고요최종적으로 계산해서 xlna 분의 1이 나오는 거예요 자 마찬가지로 우리가 a는 지금 밑이기 때문에 a가 0보다 크고 1이 아니라는 조건도 들어가 있습니다 자 넘어가겠습니다 그래서 결국은 우리가이 공식을 가지고이 로그 함수 또는 자열로그 요거를 미분하는 방법을 배우고자 하는 겁니다 자 1번 y는 ln의 3x예요 그러면 또 x의 계수가 3이네요 하지만 ln3x는 lnx+ ln3으로 바꿀 수 있고요 우리가 얘를 미분으로 하면 lnx를 미분하면 x분의 1이 되고 ln3은 상수입니다 상수 그렇기 때문에 미분하면 사라져요 따라서 Y 프라임은 x분의 1입니다 자 2번 볼게요 y는 로그 2에 x^3이고요 우리가 지수를 이렇게 밖으로 보내서 3회 로그 2의 x라고 쓸 수 있습니다 자 y 프라임을 구해주면요 지금 3은그대로 있고 로그 2의 x를 미분하면 xlm/2입니다 따라서 xln/2 답이에요 자 3번 볼게요 y는 xl은 x고요 요거를 미분을 해주면 자 x랑 lnx의 곱이니까 먼저 x를 미분하면 1 그리고 lnx + x 곱하기 lnx를 미분하면 x분의 1이죠 따라서 남는 건 lnx + 1입니다 자 마지막 4번 볼 거고요 y는 x + 1에 로그 3의 x고 자 우리가 요거 미분을 해주면요 x+1 먼저 미분하면 1이고 1 곱하기 로그 3의 x + x + 1 곱하기 로그 3x 미분하면 xln/3이죠 그래서 최종적인 답은 로그 3의x + x+1 곱하기 xln/3이라고 답을 써주면 됩니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 지수함수와 로그 함수 미분하는 방법 배워봤습니다 우리가 여기도 당연히 우리 지수 로고 함수 미분하는 방법 알아야 되니까 어떻게 미분하는지 공식들 꼭 외우시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다