[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 삼각함수의 덧셈정리

자 오늘 배울 내용은 삼각함수의 덧셈정리입니다 우리가 이제 삼각함수를 미분하는 방법도 배울 건데 그 방법을 배우기 전에 일단은 덧셈정리에 관해서 좀 공식을 배우도록 할게요 자 어떤 공식이냐면요 일단 사인의 알파플러스 베타가 사인할파 코사인 베타 플러스 코사인 알파 싸인 베타라는 요런식이 있어요

자 제가 알파라는 각도를이 점을 기준으로 a라는 점이고 자 여기서 알파만큼 이렇게 벌리겠습니다 여기가 알파에요 자 베타는 이쪽으로 벌릴게요 반대쪽으로 이렇게 여기가 베타라고 하겠습니다 그러면 저는이 알파와 베타를 가지고 삼각형을 하나 만들어 줄 거예요 이렇게 요렇게 된삼각형을 하나 만들 겁니다 여기를 직각으로 하겠습니다 자 그러면 제가이 각국 지점을 b C 요점을 h라고 하면요이 삼각형이 넓이는 넓이는 우리가 어떻게 구할 수 있어요 2분의 1 곱하기 AB 곱하기 AC 곱하기 사인의 알파플러스 베타로 구할 수가 있죠 그런데 우리가 삼각형을 쪼개서도 구할 수 있습니다 삼각형 abh의 넓이와 삼각형 ahc의 넓이의 합으로도 구할 수 있어요 자 abh의 넓이는요 1/2 곱하기 bh 곱하기 Ah 구요 삼각형 ahc의 넓이는 1/2 곱하기 Ah 곱하기 hc입니다그러면 bh는요 우리가 bh는 ab사인 알파로 나타낼 수 있죠 a b sin 알파 여기 있는 bh가 a b sin 알파고요 ah는 제가 AC 코사인 베타로 쓰겠습니다 AC 코사인 베타

자 이번엔 1/2 곱하기 ah인데요 이번엔 AC 코사인 베타가 아니라 AB 코사인 알파라고 쓸 거예요 여기 있는 ah를 AB 코사인 알파라고 쓴 겁니다 뒤에 있는 hc를요 hc를 AC 사인 베타라고 할 거예요 ac사인 베타 그러면이 값들을 좀 정리를 해주면 1/2 곱하기 AB 곱하기 AC 곱하기sin 알파 코사인 베타고요 + 1/2 곱하기 AB 곱하기 AC 곱하기 코사인 알파 사인 베타입니다 그러면 2분의 1의 AB ac가 공통이니까 우리가 사인 알파 코사인 베타 + 코사인 알파 sin 베타로 쓸 수가 있을 것 같아요 자 그러면 요거랑 요거랑 같은데 우리가 지금 여기에 ab랑 ac랑 2분의 1까지 공통이죠이 부분이 공통입니다 그래서 결국 얘랑 얘랑 같은 거예요 그러면 결국 결론적으로 뭐가 나오는 거예요 사인의 알파플러스 베타는 사인 알파 코사인 베타 + 코사인 알파싸인 베타가 남는 거예요 그래서 1번 공식이 그렇게 나오는 겁니다

자 2번 공식은 어떻게 나오는 거냐면 우리가 베타에다가 마이너스 베타를 집어넣는 거예요 베타에다가 마이너스 베타를 집어넣으면 우리가 cos - 베타는 어차피 코사인 베타죠 우리가 삼각함수를 처음 배울 때 배웠던 내용입니다 코사인 마이너스 세타는 코사인 마이너스 세타는 코사인 세타와 같고요 sin -θ는 마이너스 사인 세타입니다 그래서 우리가 베타가 마이너스 베타면 어차피 코사인이라 코사인 베타 그대로 나오고요 여기가 지금 싸인 베타 자리에 베타를 마이너스 베타로 바꾸면 - 사인 베타가 되는 거예요 그래서 두 번째 공식은 우리가 그렇게 유도를 할 수가 있습니다 자 이거를 활용해서 우리가 쌓인 75도와 싸인 15도의 값을 계산을 해 볼 건데요 자 사인 45도를 자 사인 75도를 우리가 sin75도를30도 더하기 45도라고 쓸 수 있을 것 같아요 30도 더하기 45도가 70도죠 그래서 이렇게 써서 우리가 공식을 써주면요 사인 30도 곱하기 코사인 45도 + 코사인 30도 곱하기 싸인 45도 그래서 사인 30도는 1/2 코사인 45도 2분의 루트 2 코사인 30도 2분의 루트 3 싸인 45도 2분의 루트입니다 계산해주면 4분의 루트 6 + 루트 2라고 나오네요 자 2번도 해볼 건데요 우리가 15도인데 싸인 싸인 45도 빼기 30도로 한번 계산을 해보겠습니다 얘는요 사인 45도 곱하기 코사인 30 - 코사인 45도곱하기 싸인 30도 이렇게 계산을 해주면 되고요 사인 45도는 2분의 루트 2 코사인 30도 2분의 루트 3 - 2분의 루트 2분의 1입니다 따라서 4분의 루트 6 - 루트 2예요

자 결국은 제일 중요한 건 뭐겠어요 공식을 외우는게 제일 중요한 겁니다 공식만 외우면 왜 문제 푸는 거는 어렵지 않아요 자 넘어가겠습니다 이번엔 코사인에 관한 덧셈정리인데요 자 아까 사인에 알파 플러스 베타를 사인 알파 코사인 베타 코사인 알파 sin 베타라고 그랬어요 근데 이번엔 우리가 여기 있는이 알파 다리에이 알파 다리에 제가 2분의 파이 플러스 알파를 넣어 보겠습니다 그러면 사인의 파이 플러스 알파 플러스 베타고요우리가 요거는 삼각함수 배우면서 사인 코사인 바꾸는 방법 배웠죠 자 2분의 파이니까 코사인으로 바뀌고요 2사분면에서는 양수라 플러스고 코사인 알파플러스 베타로 바뀝니다 그거를 적용해서 우밴드 싹 전개를 시켜주면 여기 있는 알파에도 2분의 파이 플러스 알파를 넣으면 sin/2 알파라서 2분의 파이 플러스 알파라서 코사인 알파고요 여기는 코사인 베타 마이너스 자 알파 자리에 여기도 2분의 파이 플러스 알파를 집어넣으면 우리가 2분의 파이라서 사인으로 바뀌는데 마이너스로 바뀌는 거예요 마이너스 사인 알파 코사인 2사분면에서 음수죠 그래서 마이너스 사인 알파고 싸인 베타 그대로 그래서 이런 공식이 나옵니다

자 그러면 요거 가지고 두 번째 공식은 어떻게 유도하겠어요 또 베타 자리에 마이너스 베타를 집어넣는 겁니다 그러면코사인은 그대로 사인 베타는 부호가 바뀌어서 여기가 플러스로 바뀌어서 플러스 사인 베타가 되는 겁니다 우리가 조금 헷갈리더라도 공식을 하나씩 외우다 보면 금방 외울 수 있으니까 꼭 공식 외워서 문제 푸시기 바래요 자 개념 예제 볼 건데요 다음 삼각함수의 값을 구하라고 했어요 자 코사인 75도를 저는 코사인 45도 플러스 30도로 보고 계산을 할 거고요 공식을 그대로 적용시켜주면 됩니다 코사인 45도 코사인 30도 빼기 사인 45도 사인 30도 그러면 1/2 곱하기 2분의 루트 3 - 2분의 루트 2 곱하기 2분의 1이고요 우리가 4로 쭉 통분해주면 루트 역 - 루트 2라고 계산이 됩니다 자 코사인 15도는요 코사인 15도는 코사인45도 마이너스 30도로 우리가 계산을 할 수가 있고요 코사인 45도 코사인 30 + 싸인 싸인 45도 사인 45도 4인 30도 그래서요 값을 계산해주면 2분의 루트 2 곱하기 2분의 루트 3 + 1/2 루트 2 곱하기 2분의 1입니다 따라서 4분의 루트 6 플러스 루트 2입니다

자 여기까지 됐나요 자 넘어가겠습니다 이번엔 탄젠트에 관련된 삼각함수의 덧셈 정리고요 ta의 알파플러스 베타는 1- 탄젠트와 탄젠트 베타 분의 탄젠트 알파 플러스 탄젠트 베타입니다 자 마찬가지로 2번 공식을 유도할 때는 우리가 1번에서 베타 자리에 마이너스 베타를 집어넣으면 이런 공식을 유도할 수가 있어요 자 탄젠트도 마찬가지로 우리가 공식을 외우셔야 되고요요거는 우리가 공식을 따로 유도하지 않고 바로 그냥 적용시키는 연습만 해보도록 하겠습니다 자 탄젠트 75도의 값을 계산을 할 건데요 탄젠트 75도를 탄젠트 45도 + 30도로 볼 거고 우리가 공식을 써주면 1 - 탄젠트 45도 탄젠트 30도 분의 탄젠트 45도 플러스 탄젠트 30도입니다 그러면 계산만 해주면 되는 거예요 1-1 곱하기 3분의 루트 3분의 3분의 루트 3분의 1 + 3분의 루트 3이에요 부모분자의 3을 곱해주면요 3 - 루트 3분의 3 + 루트 3이고요 자 분모를 유리화시키기 위해서 3+루트 3을 분모 분자의 곱해 줄 겁니다 3 + 루트 3을 분모 분자에 이렇게 곱해주면자 분모는 6이고요 분자는 3+루트 3이 제곱입니다 따라서 12 + 6루트 3 나누기 6이고 2 + 루트 3이라고 계산이 되네요

자 마지막으로 2번 문제 볼 거고요 탄젠트 15도는 탄젠트 45도 마이너스 30도죠 그러면 공식을 써주면 1 + TA 45도 곱하기 탄젠트 30도 분해 탄젠트 45도 마이너스 탄젠트 30도입니다 그러면 1+1 곱하기 3분의 루트 3 분의 3분의 1 - 1 - 3분의 루트 3이고요 분모분자의 3을 곱해주면 3 + 루트 3분의 3 - 루트 3 우리가 유리화를 해주면 2-루트 3이라고 계산을 할 수가 있습니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 싸인 코사인 탄젠트에 관한 덧셈정리를 모두 배웠어요 공식이 6개나 있어요 6개나 있지만 우리가 첫 번째 공식 가지고 두 번째 공식은 - 값만 대입해서 유도를 할 수 있고요 각각 비슷비슷하지만 어느 정도 외우다 보면 금방 적응이 되니까 꼭 외우고 적용시키는 연습도 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다