[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 삼각함수의 극한과 미분

자 오늘 학습할 내용은 삼각함수의 극한과 미분입니다 우리가 우리 생각 함수의 극한값 구하는 걸 먼저 볼 건데 자 우리가 삼각함수는요 y는 sinx y는 코사인 x y는 탄젠트 x를 우리가 배웠던 삼각함수들이라고 해요 얘네들을 삼각함수라고 하는데 얘네들은 각 점에서 연속이죠 우리 탄젠트가 점근선 갖는 위치 빼고는 우리가 모든 x값들에서 연수기예요 그래서 우리가 x가 k로 가는 리미트에서 x가 k로 가는 리미트에서 사인 x를 구하라 그랬으면 우리가 연속이기 때문에 그냥 k를 집어넣어서 사인케이라고 해주면 되는 겁니다

자 무슨 말이냐면 우리가 y축이 이렇게 있고x축이 이렇게 있어서 사이닉스 그래프는 이렇게 생겼어요 이렇게 생겼는데 여기다가 그냥 어떤이 위치에서 극한값 구하라 그러면 함수가 연속이기 때문에 그냥 우리는 극한값이 함숫값과 일치하니까 그냥 함수값을 구해주면 된다이 말입니다 자 코사인 x도 마찬가지구요 x가 k로 가는 리미트에서 코사인 x의 값은 코사인 k와 같고요 자 x가 k로 가는 리미트에서 탄젠트 x는 탄젠트 k랑 같습니다 자 탄젠트는 주의해야 될 점이 하나 있겠죠 제가 아까 말씀드렸듯이 점근선에서는 우리가 연속이 아닙니다 그래서 점근선을 제외한 우리가 점근선을 나타내는식이 nπ+π니까 점근선을 제외한 k값에서 우리가이 방법이 성립하는 겁니다 그러면 k에서는 어떻게 될까요 우리가 탄젠트 x 그래프를 간단하게 그려주면 이렇게 그릴 수 있을 것 같아요 이렇게 되고 여기가 2분의 파이고다시 이렇게 되죠 자 x가 2분의 파이에 가까워지는데 왼쪽에서 가까워지면요 자극하늘 구하면 쭉 올라가니까 양의 무한대로 발산하고 우극한을 구하면 쭉 작아지니까 음의 무한대로 발산합니다 어쨌든 우리가 이렇게 접근선에서는 수렴하지 않는다는 것을 알 수가 있습니다

자 여기 보면 x가 무한대로 가는 리미트에서 사이닉스나 코사인 x나 탄젠트 x나 - 무한대로 가는 리미트에서 사인 x나 코사이맥스나 탄젠트 x나 모두 값은 존재하지 않습니다 예를 들어 sinx 같은 경우엔 우리가 쭉 갔을 때 요구간이 반복되죠 우리가 어떤 한 점으로 보이고 있지 않습니다 그래서 우리는 x가 무한대로 가는 리미트에 사인 x를 집어넣으면 그거는 값이 수렴하지 않습니다 자 넘어가겠습니다 다음 극한값을 구하라고 했는데요 1번먼저 보면 지금 x가 0으로 가는 리미트의 코사인 x+1이에요 그러면 x가 0으로 가는 리미트니까 코사인 x는 x는 0에서 연속이죠 그래서 그냥 0을 대입해서 1+1과 같고요 답은 2라고 적어주면 됩니다 자 2번도 어렵지 않습니다 x가 8분의 파이로 가는 리미트에서 3 탄젠트 2x인데 x의 8분의 파이를 대입하면 x의 8분의 파이를 대입하면 ex에 들어가는 값이 4분의 파이죠 자 여기는 지금 점근선이 아닙니다 점근선이 아니기 때문에 우리가 연속임을 알 수가 있고 그냥 대입을 해서 3 탄젠트 4분의 파이의 값을 계산해 주면 3이라고 우리가 얻어낼 수가 있습니다

자 3번 볼 건데 x가 0으로 가는 리미트에서코사인 x-1 사인 제곱 x인데요 자 우리가 x에다가 0을 대입하면 분모가 뭐가 나와요 코사인 x-1이 0 나와요 분자도 뭐 나와요 0 나오죠 0분의 연골입니다 우리가 이렇게 0분의 연골일 때는 어떻게 해줬어요 0이 되는 부분을 제거해 줬죠 약분을 해주면 되는 거예요 자 사인 제곱 x를 1 - 코사인 제곱 x로 변형을 할 수가 있습니다 자 요거는 어떻게 나온 거예요 우리가 유공식에서 나온 겁니다 사인 제곱 x + 코사인 제곱 x는 1 따라서 사인 제곱 x는 1 - 코사인 제곱 x다라고 구할 수가 있죠 자 그래서 이렇게 계산을 해주고 1 - 코사인 제곱 x를 인수분해해줍니다 인수분해하면 1+ 9사이넥스 1 - 코사인 x가 되죠 분모에는코사인 x-1이 됩니다 자 얘를 마이너스로 묶으면 - 코사인 x + 1이구요 지금 1 - 코사인 x랑 - 코사인 x+1이랑 약분이 돼서 결국 남는 건 뭐예요 x가 0으로 가는 리미트에서 - 1 - 코사인 x만 남습니다 그래서 x에다가 0을 대입하면 -2라고 우리가 값을 계산할 수 있겠죠

자 넘어가겠습니다 자 함수 x분의 사인 x 그리고 x분의 탄젠트 x에 극한이라고 써 있는데요 자 우리가 x의 단위가 라디안일 때에요 우리가 60분법 60분법을 사용할 때는 우리가이 공식이 그대로 성립하지 않고 어떤 실수가 곱해지게 되는데 일단은 우리가 x의 단위가 라디아닐 때만 성립한다고 알고 계시면 됩니다 자 x가 0으로 가는 리미트에서 x분의 사인 x는 1이고요 x가 0으로 가는 리미트에서x분의 탄젠트 x는 1입니다 우리가 이거를 활용을 해서 우리가 쌓인 거 탄젠트의 미분도 할 거예요 자 일단 이렇게 두 개 아시면 되고요 자 마찬가지로 우리 앞에서 배운 거와 비슷하게 이렇게 계수가 다르면 우리가 예를 들어 x가 0으로 가는 리미트 ax면 자 여기 사인 안에 들어가 있는 bx랑 분모에 있는 bx가 같아야 돼요 그래서 분모의 bx를 곱해주고 분자에도 bx를 곱해줍니다 그러면 gx분의 사인 bx가 1인 거고요 ax분의 bx에서 xx 약분돼서 a분의 b라고 남는 거예요 그래서 이렇게 계산할 수 있다 하는 거죠 우리가 앞에서 배운 내용하고 좀 비슷한 부분이 있어요 자 탄젠트도 마찬가지고요 우리가 요것도 하나 해 볼게요x가 0으로 가는 리미트에서 탄젠트 ax 분의 사인 bx라고 써 있는데 자 탄젠트 ax가 극한값을 구하기 위해서는 우리가 탄젠트 안에 들어가 있는 ax를 분자에도 만들어 줘야 돼요 그러면 요렇게 분모에도 하나 만들어 줘야겠죠 그리고 원래 사인 bx가 분자에 있었는데 사인 안에 들어있는 bx가 분모에도 한번 있어야 되고요 여기에도 그럼 한번 분자의 곱해줘야겠네요 얘가 1이고 얘가 1이고 x의 약분돼서 남는 거 뭐 밖에 없어요 이분의 b밖에 없죠 이런 식으로 계산을 해주면 됩니다 자 넘어갈게요 개념 예제 볼 건데

자 우리가 앞에서 배운 내용 그대로 쓸 거예요 x가 0으로 가는 리미트에서 x분의 sin이 2x네요 이거 한 번만 해봅시다 자 분자가 쌓인 ex예요 사인 안에 뭐가 들어가 있어요 ex가 들어가 있죠 그러면 우리는 ex가 필요하고요2x를 다시 분자의 곱해주고 원래 있던 x를 분모에 써주고 그러면 얘는 1이고 x 약분돼서 맞지 않나요 그렇게 봐도 좋구요 우리가 계수분해 계수로 그냥 1분의 2로 계산을 해도 전혀 문제 없습니다 그러면 2번은 그냥 계수로 한번 볼까요 계속 머분의 뭐예요 2분의 6이죠 그러면 그냥 답은 3입니다 3번도 개수분해 계속 쌓인 400세고요 탄젠트 4x죠 그러면 계수분해 계수로 계산해서 3분의 4라고 하면 됩니다 정말 쉬워요 여기까지 쉽습니다 자 넘어가겠습니다 사인과 코사인 함수의 미분인데요 자 우리가 sin x를 미분하면요 코사인 x가 돼요 우리가요 과정을 한번 도함수의 정의를 이용해서 직접 계산을 해 볼 건데 제가 fx를sinx라고 놓을게요 자 그러면 우리가 F 프라임 x를 구하기 위해서는요 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 먼로 계산해요 f의 x + h 마이너스 fx로 계산을 합니다 자 그러면 h가 0으로 가는 리미트에서 f의 x+h는 sin의 x+h고 - fx는 sinx죠 자 이거분의 h 자 이제 어떻게 계산할 거냐 우리가 지난 시간에 배운 삼각함수의 덧셈 정리를 활용해서 사인의 x+h를 계산해 줄 거예요 자 싸인에 x+h를 쫙 풀어주면 sinx cosh + 코사인 x sinh 그리고 원래 마이너스 사인x가 있었죠 부모의 h가 그대로 있습니다 자 요거를 계산할 건데 자 우리가 묶을 수 있는 거 좀 묶어 볼게요 h가 0으로 가는 리미트에서 sinx 가지고 있는 애들을 묶어두면 요거랑 요거죠 즉 cosh-1입니다 요거 분의 h+ h분의 코사인 X 자이 h라고 쓸 수가 있겠죠 자 그러면 제가요 부분만 좀 계산을 해 볼 거예요이 부분만 좀 계산을 해 볼 건데 변형을 먼저 시키겠습니다 자 sin x의 코사인 h 마이너스 1에 분모는 h가 들어있는데 분모분자의 뭐를 곱할 거냐면 코사인 h+를 곱할 거예요 코사인 h+ 여기도 코사인 h+1 그러면h의 코사인 h+1 분의 자 사인 x 원래 있었구요 요거를 계산해주면 코사인 제곱h - 1이고 얘는 뭐랑 같아요 - sin²h랑 같죠 곱하기 마이너스 사인 되고 h 하고 같습니다 그러면 자 우리가 요거를 이렇게 풀었을 수 있을 것 같아요 h분의 sin²h를 sinh 곱하기 - sinh로 풀구요 뒤에 사인 x 달려 있고 분모의 코사인 h+1이 있어요

자 그런데 h분의 sinh가 지금 h가 0으로 가면 어떻게 돼요 h가 0으로 가면요 부분은 1이죠이 부분은 1이고 h가 0으로 가면 얘가 그냥 0이잖아요 그래서요 값이 그냥 0이 되어 버립니다 즉 얘 값이 그냥 0이 돼 버리는 거예요 왜냐요기를 계산했더니 지금 여기를 극한을 취했더니 0이 됐잖아요 그래서 계산하면 0이 됩니다 그래서 뒤에 것만 계산을 할 건데 h분의 사인 x가 우리가 지금 h가 0으로 가고 있으니까요 값이 1이죠 그래서 남는 거는 뭐밖에 없어요 남는 건 코사인 x 밖에 없습니다 자 그래서 sin x를 미분하면 코사인 x가 되는 거고요 y는 코사인 x를 미분한 y 프라임은 마이너스 사인 x가 돼요 우리 코사인을 미분하면 -5가 하나 생깁니다 코사인 x를 미분하는 과정은 여러분이 직접 똑같습니다 우리가 지금 여기서 한 거랑 비슷하니까 노트에 한번 꼭 해보시기 바래요 우리가 도함수의 정의를 이용하면 직접 구할 수가 있습니다 자 넘어가겠습니다 자 다음 함수를 미분하라고 했는데 자 y는 3s예요 자 y 프라임 뭐예요 우리 3 곱하기 사인 x 미분하면 뭐 되죠 코사인 x 되죠 사인을 미분하면코사인 자 이번엔 y=-2 코사인 x를 미분할 건데 y 프라임을 구해주면 -2 곱하기 코사인 x 미분하면 sinx인데 그냥 sinx가 아니에요 - 달고 사인했습니다 따라서 2사인 x예요 자 3번 보면 x와 sin x를 곱해 놨어요 우리가 곱을 미분할 때는 앞에 거를 먼저 미분하고 뒤에 거 그대로 쓰고 자 플러스 앞에 거 그대로 쓰고 뒤에꺼 미분한 거 사인 x 미분하면 뭐예요 코사인 x 그래서 sinx 플러스 x 코사인 x라고 쓰면 됩니다 자 4번은요 얘도 곱이에요 곱 2의 x제곱과 코사인 x를 곱해놓은 건데 2의 x 제곱을 먼저 미분을 할게요 자 이거 미분하면 뭐 나와요 예 x 그대로 나오죠뒤에 코사인 x 있고요 플러스 자 2x 그대로 쓰고 뒤에 있는 코사인 x 미분할 거예요 코사인 x 미분하면 -sinx죠 따라서 요거를 2의 x 제곱으로 묶어주면 코사인 x - sinx라고 쓰면 됩니다

자 여기까지 해서요 우리가 사인과 코사인의 어떤 함숫값 함숫값을 가지고 그 큰 값을 구할 수 있다 그랬어요 그거랑 우리가 점근선에서 탄젠트 탄젠트의 극한값 존재하지 않는 것도 배웠고요 전반적으로 우리가 삼각함수의 극한값 구하는 거 극한값 구하는 것을 배 웠습니다 그리고 우리가 미분하는 것까지 사인 코사인 미분하는 것까지 배웠으니까 복습 꼭 꼼꼼하게 하시고요 다음 강의 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다