[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 몫의 미분법

자 오늘 학습할 내용은 내용은 몫의 미분법 우리가 이제 미분하는 새로운 방법을 하나 배울 건데 자 y는 gx분의 1이라는 요런 꼴로 함수가 만약에 되어 있어요 자 예를 들어 요런 함수인 겁니다 y는 x+2의 제곱분의 1 요런 함수예요 우리가 x+2의 제곱은 다음 함수라서 미분을 할 수가 있어요 그런데 얘가 분모로 들어가 있으면 우리가 아직은 이거를 미분을 할 수가 없고요 지금 그거를 미분하는 방법을 배울 겁니다 자 얘를 미분하면 이렇게 된다고 써 있는데 자 왜 그런지 한번 볼게요 제

가 요거를 fx라고 잠깐 하겠습니다 fx가 gx분의 1이다라고 했을 때 f'를 구하려고 하면 우리가 f'mx를 구하려고 하면 어떻게 해야 돼요 보함수의 정의를 이용해서 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 애플의 x + h - fx를 계산을 해주죠 자 그러면 우리가 fx를 gx를 통해서 표현을 해주면 h분의 g의 x+h 분의 1 - gx분의 1입니다 그러면 우리가 gx+h와 gx로 통분을 해 줄 거예요 자 통분을 해주면 h분의 g의 x + h 곱하기 g의 x 분단은 gx- gx+h입니다 그러면 h가 0으로 가는 리미트에서 h 곱하기 g의 x +h 곱하기 GX GX - g의 X + h죠 자 그러면 분자에서 -를 하나 좀 빼주면 이렇게 쓸 수 있어요 h가 0으로 가는 리미트에서 - g의 x+h-gx라고 쓸 수 있고요 뭐는 그대로 쓰겠습니다 h에 x + h GX 자 그럼 이렇게 썼을 때 h분의 g의 x + h 마이너스 gx는 뭐예요 제가 이렇게 빨간색으로 쓴 부분을 g프라임 x죠 h가 0으로 가는 리미트에서 지프라임 x로 계산이 됩니다 그리고 나머지 h가 0으로 가면 분모는 뭐가 되는 거예요 gx의 제곱이 되죠 gx의 제곱 그리고 -까지 있어서얘가 이렇게 계산이 됩니다

자 우리가 이 과정을 한번 보면 좋구요이 과정을 항상 유도하면서 문제를 푸는 건 절대 아닙니다 우리가 gx를 미분하면 분모를 제곱하고 분자의 미분한 걸 한번 올려주는 그리고 부호를 마이너스를 달아주는이 과정을 우리가 연습을 해야 되는 겁니다 자 그러면 제가 x+2의 제곱분일이라고 써놨는데 요거 한번 해 볼게요 자 y는 x+2의 제곱분의 1을 미분을 하면요 Y 프라임은 자 분모를 먼저 분모를 먼저 제곱을 해요 x+2의 제곱을 해주면네 제곱이 되죠 그리고 - 달아주고 분자의 x+2의 제곱을 미분한 걸 넣어주는 거예요 즉 x 제곱 플러스 4x+4를 미분한 2x + 4를 써주는 겁니다 자 여기까지 이해가 되셨나요 우리가예시까지 한번 봤어요 자 이번엔 2번을 한번 볼 건데 우리가 y는 gx분의 fx인데 우리가 이거는 FX 곱하기 gx분의 1과 같고요 얘를 미분을 해주면 Y 프라임은 자 곱의 미분입니다 고베 미분 f'x 곱하기 GX + FX 곱하기

자 이번엔 gx분의 1을 미분을 할 건데 이거 미분하는 거는 위에서 배웠죠 그거를 그대로 씁니다 gx의 제곱분의 - g 프라임 X 이렇게 써주면 돼요 그래서 GX 제곱으로 통분을 해주면 gx의 제곱으로 통보를 해주면 F 프라임 x 곱하기 GX - FX * FX 곱하기g 프라임 x 이렇게 정리가 됩니다 자 그래서 우리가 분모와 분자의식이 둘 다 들어있을 때는 이렇게 미분을 해주는 거예요 자 우리가 조금 부호도 있고 뭐 어떤 거는 애플을 미분하고 어떤 건 g를 미분하고 복잡하지만 우리가 이거를 정확하게 알아야 우리가 모든 걸 미분할 수 있으니까이 공식을 꽁꽁하게 외우고 연습하도록 할게요 자 한번 적용시켜보는 연습 한번 해보도록 하겠습니다 자 y는 x+1/2이라고 돼 있는데 자 얘를 미분한 y 프라임을 계산하기 위해서는 제가 공식을 한번 써 놓을게요 y는 gx분의 1을 미분했을 때 나오는 건 y 프라임은 gx에 gx의 제곱 분의 - 지프라임 x예요 그래서 y 프라임을 계산을 해주면 분모를 제곱을 해주고요 - 달아주고 자 x+2 미분하면 뭐 나와요 1이죠 따라서 - x+2의 제곱 분의 1이라고 써주면 됩니다 자 2번 볼 건데요우리가 분모의 x가 있고 분자의 lnx가 있어요 자 y는 gx분의 fx를 미분하면 뭐가 나온다 그랬어요 y 프라임은 y 프라임은 gx에 제곱분의 f' GX - FX g 프라임 x로 계산을 해주면 됩니다

자 그러면 우리가 요거를 미분한 y 프라임은 분모를 재고반 x 제곱분의 자이프 프라임 x gx예요 분자 먼저 미분을 해줍니다 lnx 미분하면 뭐예요 x분의 1이죠 그리고 분모에 있는 x를 그대로 곱해줍니다 자 가운데는 마이너스가 들어오고요 이번엔 lnx를 미분하지 않고 그대로 써주고 이번엔 뒤에 있는부모에 있는 x를 미분한 1을 이렇게 곱해줍니다 복잡하죠 하지만 연습을 통해서 익숙해져야 됩니다 x 제곱 분의 약분해서 1이고 1 - lnx로 계산이 됩니다 자 여기까지 됐죠 넘어가 보겠습니다 y=x^n의 도함수인데요 우리가 이거를 수학 2에서 다항함수 미분을 배울 때 공식을 배웠었어요 근데 정확히 말하자면 그때는 n이 자연수일 때만 된다고 배웠어요 n이 자연수일 때만 된다고 배웠는데 사실 우리가 도함수를 유도하는 과정에서 n이 정수라고 생각을 해도 전혀 문제가 없습니다 그래서 자연수뿐만 아니라 우리가 정수인 경우에도 정수인 경우에도 똑같이 적용을 시켜 줄 거예요 물론 n이 0 제곱일 때도 n이 0 제곱일 때도 자 y는 x 0 제곱이면 1이죠 이거 미분하면 뭐예요 와이프라임은 0입니다 자 공식으로생각을 해주면 n의 x의 m - 1 제곱인데 지금 n이 0이니까 그냥 0이 나오는 거예요 와이프라임 이렇게 돼서 우리가 0일 때도 똑같이 결과가 나오니까 적용시켜도 문제없다 그래서 애니 정수일 때이 공식이 성립한다는 거 우리가 확인하면 될 것 같아요

자 개념예제 보도록 할 거예요 우리가 1번을 먼저 보면 y는 X -네 제곱을 미분하라 그랬어요 그러면 자 y 프라임은 우리가 x의 n제곱 미분하면 n의 x의 n - 1 제곱입니다 그래서 지수에 있는 -4를 앞에다가 이렇게 써주고 x의 지수의 - 4가 있었는데 1을 빼주죠 그래서 -4에 x의 5제곱입니다 우리가 이거를 X5 제곱분의 4라고 쓸 수도 있겠죠 자 2번은요 우리가 조금 변형을 해 줄 거예요요거를 x 제곱 분의 x + x² 변형을 할 수가 있고요 x + x 제곱 분의 1입니다 그러면 우리가 x분의 1은 x의 - 1 제곱이고 x 제곱 분의 1은 x - 2 제곱이죠 자 그래서 얘네들을 좀 각각 미분을 해주면 y 프라임은 x-1² 미분하면 뭐가 되겠어요 -1 곱하기 xm - 2제곱 플러스 자 xm-2 제곱을 미분하면 -2 곱하기 x의 - 3 제곱이죠 따라서 - x 제곱 분의 1 - x^3 분의 2라고 계산을 해주면 됩니다 통분해서 이렇게 쓸 수도 있겠죠 x^3 x+2라고 써도 무관합니다 둘 다 맞는 표현이니까 우리가 이렇게도 표현할 수 있고 저렇게도표현할 수 있다는 거를 확인을 했으면 좋겠어요

자 넘어가겠습니다 자 우리가 새로운 삼각 함수를 배울 거예요 새로운 삼각함수를 배울 건데 이렇게 csc 세타라고 써 있는 거는 뭐라고 했냐면 고시컨트라고 있습니다 코시컨트세터 자 sec라고 써 있는 건요 sec라고 써 있는 건 seconter라고 읽어요 시컨트 세타 시컨트 센터 자 뒤에 있는 COT 세타는요 COT 세타는 코탄젠트라고 있습니다 코탄젠트 고탄젠트라고 있고요 우리가 각각 우리가 기존에 배웠던 삼각함수들의 역수에요 자 우리가 사인은 뭐라고 배웠어요 사인 세타는 r분의 사인 세타는r분의 y라고 배웠죠 r분의 y입니다 그러면 코사인 세타는 뭐라고 배웠어요 r분의 x라고 배웠죠 탄젠트 세타는 x분의 y라고 배웠습니다 자 코치 컨트세타는요 코시컨트 셀타는이 사인 세타의 약 역수에요 사인 세타의 역수에서 r분의 y의 역수인 y분의 r이고요 얘를 이렇게 표현할 수 있겠죠 그러면 사인 세타분의 1로 표현을 할 수가 있습니다 당연히 분모의 오는 y 값이 0이면 정의가 되지 않아요 자 c컨트 셋 하는 x분의 y죠 x분의 y니까이 r분의 x의 역수입니다 코사인 세타의 역수인 거예요 그래서 우리가 요거는 코사인 세타분의 1이라고 쓸 수 있고요 마찬가지로 x가 0이면 분모가 0이라 정의되지 않습니다 고탄젠트 세타는 탄젠트 세타가 x분의y인데 y 분의 x로 정의가 되어 있어요 얘는 탄젠트 세타 분의 1입니다 y가 0이면 정의되지 않겠죠 그래서 우리가요 관계를 가지고 탄젠트 세타의 값을 구할 수가 있습니다 자 여기 x가 0일 때는 탄젠트와 시컨트 세타가 정의되지 않고 y가 0일 때는 무슨 의미에요 결국은 분모가 0이 되는 걸 말하는 겁니다 분모가 0이 되면 안 되기 때문에 요런 조건이 하나 들어가 있는 거예요 어 우리가이 내용이 좀 헷갈리는데 저는 이거를 좀 어떻게 구분을 해주냐면요 지금 싸인이 코사인이 이렇게 있고요 탄젠트가 이렇게 있는데 자 싸인 앞에는 c가 없습니다 c가 없고요 얘는 c가 있죠 자 없는 애는 c를 달아주는 거예요 실을 달아서 코시컨트 세타즉 역수 관계입니다 역수 관계 자 코사인에는 c가 들어있어요 그러면 c를 없애버리고 씨를 없애버리고 시컨트 마찬가지로 역수 관계죠 탄젠트에는 마찬가지로 c가 없어서 우리가 여기다가 씨가 없으면 c를 달아서 고탄젠트 역수관계죠 이렇게 저는 생각을 해서 값을 계산해 줍니다

자 여기까지 되셨나요 넘어가 보도록 할게요 자 삼각함수 사이의 관계인데요 1+ 탄젠트 제곱 세타는 시컨트 제곱 세타라고 써 있는데 우리가 요건 어디서 나온 거냐면 코사인 제곱 세타 플러스 4인 제곱 세타가 1이라는 요식에서 계산이 된 거예요 자 양변을 코사인 제곱 세타로 나눠주면 자 1 + 코사인 제곱 세타 분의 사인 제곱 세타요거는 코사인 제곱 세타분의 1입니다 그러면 우리 코사인 제곱 세타분의 사인 제곱 세타는 cosθ의 제곱이고 코사인 제곱 세타 분의 1은 코사인 세타분의 1의 제곱이라고 할 수 있겠죠 그러면 얘는 탄젠트 제곱 세타 얘는 c컨트 제곱 세타 그래서 첫 번째식이 나온 거고요 두 번째 식도 비슷하게 우리가 이번에는 사인 제곱 세타로 양변을 나눠줍니다 그러면 사인 제곱 세타 분의 코사인 제곱 세타 + 1은 코사인 세타의 제곱 플러스 1은 sinθ의 제곱 플러스 1은얘는 코씩 커트 제곱 세타 이렇게 됩니다 그래서 두식 모두 알아두시면 좋구요 이거를 가지고 우리가 계산을 해야 되니까이 공식도 외워두시기 바랍니다

자 넘어가겠습니다 자 삼각함수의 도함수인데요 우리가 오늘 새로 배운 시컨트랙스 코시컨트랙스 고탄젠트 x의 미분을 배워볼 거고 우리가 배우지 않았던 탄젠트 x까지 미분하는 거 배워보도록 할게요 우리가 직접 1번하고 2번만 미분해서 구해 보도록 할 거고 한번 4번은 직접 한번 해보시기 바랍니다 자 y는 탄젠트 x인데 y는 탄젠트 x를 우리가 코사인 x분의 사인 x라고 쓸 수가 있어요 코사인 x 분의 사인 x라고 쓸 수가 있고 자 이거를 미분한 Y 프라임은요 자 오늘 배운 몫의 미분법을 활용하는 겁니다 코사인 x의 제곱 분의 사인 x 미분하면코사인 x 코사인 x 그대로 먼저 쓰고요 마이너스 그리고 분모에 있는 코사인 x 미분하면 -사인 x 그래서 플러스 플러스 돼서 코사인 제곱 x 분자는 코사인 제곱 x+4인 제곱 x입니다 그런데 코사인 제곱의 사인 제곱 x는 1이죠 따라서 코사인 제곱 x분의 1이에요 자 얘는 뭐예요 코사인 x분의 1의 제곱이니까 우리가 요거를 시컨트 제곱 x라고 쓸 수가 있는 겁니다 그래서 탄젠트 x를 미분하면 이렇게 시컨트 제곱 x가 나와요 자 c컨트 x도 한번 미분해 볼게요 자 - C 컨트 x는 머분의 뭐예요 코사인 x분의 1이죠 그래서 이거 가지고 와이프라임을 구해주면 분모를 제곱을 먼저 해주고요 분자는 마이너스코사인 x를 미분한 - sinx입니다 그러면 이렇게 플러스로 바뀌고 우리가 코사인 x 제곱인데 코사인 x분의 사인 x * 9s 1로 표현을 할 수가 있죠 그러면 요거는 탄젠트 x 곱하기 시컨트 x입니다 따라서 c컨트 x를 미분하면 시컨트릭스 탄젠트 x가 되는 거예요 시컨트릭스 탄젠트 X 자 코치 커트 x를 미분하면요 우리가 - 코시컨트랙스 코탄젠트 x가 되고요 고탄젠트 x를 미분하면 - 코시컨트 제곱 x가 됩니다 자 요거는 우리가 증명은 직접 노트에 꼭 해보시기 바래요 자 넘어가겠습니다 자 개념 이제 보겠습니다 다음 함수를 미분하시는데 자 1번 보면 탄젠트 X -x예요 자 y는 탄젠트 x - x인데 얘를 미분을 하면y 프라임은 탄젠트 x 미분하면 시컨트 제곱 x고 -1이죠 자 2번 가볼게요 y는 코탄젠트 x-x고요 고탄젠트 x를 미분하면 뭐예요 고탄자한테 x를 미분하면 - 코 시컨트 제곱 x예요 그리고 - 1까지 해주면 되겠죠 자 3번 보겠습니다 y는 C 컨트랙스 플러스 2 코씩 컨트랙스 자 요거를 미분을 해주면 시컨택스 미분하면 시컨트 x 탄젠트 x죠 플러스 2 곱하기 코 시컨트 x를 미분하면 - 고시컨트릭스 고탄젠트 x예요 그래서 이렇게 쓸 수 있겠네요 이렇게 답을써주면 됩니다

자 오늘 배울 내용은 여기서 끝났고요 우리가 오늘 몫의 미분을 가지고 미분하는 방법 배웠고 그거 가지고 새로운 삼각함수 미분하는 방법까지 배웠습니다 오늘 중요한 내용 많이 했으니까 복습 꼭 꼼꼼하게 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다