[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 합성함수의 미분법

자 오늘 학습할 내용은 합성 함수의 미분법입니다 우리가 합성함수를 미분하는 방법을 배울 건데 자 조금 헷갈리니까 잘 들어보세요 자 y는 fu와 u는 gx라고 써 있어요 일단 이게 왜 그런지 먼저 설명을 할게요 자 어떤 함수 y가 합성함수예요 f와 g를 합성한 함수라고 합시다 그러면 우리가이 표현을 F 안에 gx가 있다고 이렇게 표현을 해 줄 수가 있죠 이때요 저는이 F 안에 들어가는 gx를 다른 문자로 잠깐 치환을 하겠습니다 그 문자를 u라고 할 거예요 그러면 일단 유는 gx고요 u는 gx고 y는 fu죠y는 f의 6입니다

자 이거를 지금이 y를 미분할 거예요이 y를 미분할 건데 우리가 미분을 한다는 건요 x에 대해 미분한다는 표현으로 이렇게 BBX y라고 쓸 수가 있습니다 gdx y라고 쓸 수 있는데 결국 구하는 건 DY dx죠 그런데 우리가 y에 관한 식을 보니까 x에 관한식이 아닌 거예요 유에 관한 식이죠 그래서 이거를 우리가 y를 지금 x로 미분하지 못하니까 y를 미분할 수 있도록 y가 유에 관한 문짝이기 때문에 유에 관한 식으로 이루어져 있기 때문에 유로 미분을 합니다 DY d입니다 그런데 우리가 맘대로 이렇게 디오를 만들어 줄 수 없죠 그래서 비율을 여기로 이렇게 만들어 주고 dx를 이렇게 써줍니다

자 그러면 우리가 y를 유로 미분하면f'6구역 지금 u를 x로 미분합니다 요거를 x로 미분하는 거예요 그럼 뭐가 돼요 g프라이맥스가 되죠 자 그러면 u를 다시 x로 바꿔주면 f' gx * g프라임 x가 나옵니다 이게 바로 우리가 구하고 싶은 DY dx예요 우리가 앞으로 합성 함수를 미분할 때는이 식을 활용할 건데 사실 이식도 정말 와닿지가 않아요 어 정말 어렵습니다 자 와닿지가 않는데 한번 우리 개념 예제를 풀면서 조금씩 한번 적용하는 연습을 해보도록 할게요 자 함수를 미분하라 그랬는데 1번 문제를 보면요 제가 y가 2x+1의 3제곱이다라고 적혀 있어요 우리가 이거를 전개해서 미분을 할 수도 있지만 전개에서 미분하지 않고 이거를 합성함수로 볼 거예요 우리가 앞서 함수라는 거는F 안에 gx가 이렇게 들어가 있는 걸 합성함수라고 하는데 우리가 어떤 껍데기 자 껍데기라고 할게요이 f라는 껍데기 함수를 찾아 줘야 됩니다 자 여기 보면 뭔가의 세제곱이죠 바로 이게 fx입니다 fx가 x의 3제곱이고요 안에 들어가 있는 바로이 ex+1이 gx예요 그래서 우리가 이거를 미분을 하면 우리가 방금 앞에서 배운 공식은 f' gx에 g프라임 x입니다

자 이거를 활용해서 구해줄 거예요 자 아직 요거가 지금 이해가 아직 안 갔을 수 있는데 fx를 x^3이라 그러고 gx를 ex+1이라 그러면 맨 처음에 주어진 함수이 y는 지금 2x+1의 3제곱이니까 F 안에 gx를 넣은 거와 같죠 바로 합성함수입니다 그래서 우리가합성함수를 찾아주는게 일단 중요하고요 요렇게 어떤 합성 함수로 이루어져 있는지 어떤 함수와 어떤 함수 합성이 있는지 찾았으면 공식을 써서 우리가 미분한 함수를 찾을 수가 있습니다 자 gx는 그대로 냅두고 f만 미분합니다 그러면 x^3을 미분하는 거니까 3의 뭔가의 제곱이 되겠죠 그런데 그 안에 x가 아니라 gx가 들어가 있어서 gx만 그대로 넣어주는 거예요 그리고 뒤에 지프라임 x는 우리가 gx를 미분한 2를 그대로 곱해주면 되겠네요 그래서 6 gx의 제곱입니다 그러면 6의 gx는 2x + 1이니까 2x + 1의 제곱이라고 써주면 되겠네요 자 우리가 여기에서 넘어오는게 이제 한번 더 설명을 드릴게요 여기에서 이렇게 넘어왔는데 gx는 그대로 냅두고 fx가 x 3제곱이니까 x^3 미분하면 3x²이죠 그 자리에그 x 자리에 gx만 이렇게 넣어주면 되는 겁니다

자 두 번째 거 해볼게요 자 두 번째 건 지금 y는 사인 코사인 x입니다 사인 안에 코사인이 들어가 있네요 저는 fx를 사인 x로 볼 거고요 gx를 코사인 x로 볼 겁니다 그러면 얘가 지금 f1의 gx가 들어간 거죠 fx는 sinx gx는 코사인 x F 안에 gx를 넣은 거예요 자 그러면 얘를 미분한 y 프라임은 f' GX * g 프라임 x고요 자 f'x를 미분하는 거니까 코사인 x인데 안에 지금 gx가 있어서 f프라임 안에 gx가 있어서 코사인 안에 gx를 쓰는 거예요 그 gx는 코사인 x죠 여기까지 됐어요 자 거기다가 g프라임 x를 곱해요gx가 코사인 x니까 코사인 x를 미분한 - sinx를 이렇게 곱해줍니다 따라서 - sinx 코사인 코사인 x 순서는 상관없습니다 이렇게 답을 내주시면 돼요 자 마지막 3번이고요 y는 탄젠트 2x+1인데 탄젠트 안에 ex+1이 들어있어요 탄젠트 안에 ex+1이 들어가 있으니까 fx를 탄젠트 x라고 할 거고요 gx를 2x + 1이라고 놀 겁니다 그러면 y 프라임은 계산을 해 줄 거고요 F 프라임이니까 탄젠트를 미분하면 뭐가 나와요 secont 제곱이죠 그런데 안에 gx라서 ex+1을 넣어주고 뒤에 g 프라임 x인 ex+1을미분해서 2를 적어줍니다 따라서 2에 시컨트 제곱에 2x + 1이라고 써주면 돼요 자 앞서 함수의 미분법이요 여기까지 내용은 끝났는데 우리가 이거 정말 어렵습니다 처음에 하려 그러면 손이 너무 안가요 그러니까 충분한 연습을 해서 우리가 익숙해지시기 바랍니다

자 일단 넘어갈게요 자 이번엔 절대 값이 포함된 로그 함수의 도함수인데 지금 y는 ln 절댓값 x예요 ln 절댓값 x면 우리가 이렇게 생겼죠 x가 양수라면 그냥 lnx니까 x가 양수에서는 그래프 이렇게 그릴 수 있고요 x가 음수면 우리가 y는 ln-x니까 그래프가 이렇게 생겨요 얘를 y축 대칭시킨 거죠 x 다리에 마이너스 x가 들어갔으니까 이렇게 그려지는데 우리가 에덴 x 미분하면 뭐가 된다고 배웠어요y 프라임은 x분의 1이 된다고 배웠습니다 자 y는 ln-x 미분 한번 해 볼게요 자 lnx 안에 마이너스 x가 들어간 거예요 그래서 아까처럼 fx를 lnx라고 놓고 gx를 -x라고 생각을 하는 겁니다 gx는 -x라고 생각하고 y 프라임을 구해주면 우리가 F 프라임 GX 곱하기 g 프라임 x인데 f'x는 x분의 1이죠 x분의 1인데 x 자리에 gx를 넣는 거예요 즉 마이너스 x분의 1이죠 거기다가 g 프라임 x 즉 -1을 곱해주면 x분의 1이 나옵니다 자 그러면 x가 양수일 때 나 x가 음수일 때나 우리가 계산해서 나온 도함수가 어때요 동일하죠 동일합니다 똑같아요 y=x y 프라임은 x분의 1로 그래서 y =절대값 x를 미분하면 y 프라임은 x분의 1이라는 똑같은 함수가 나오게 되는 겁니다 자 2번도 뭐 별반 다르지 않습니다 y는 로그 a의 절대값 x인데 우리 뭐 자열로그로 바꿔주면 되겠죠 이렇게 lna 곱하기 ln 절대값 x요 자 다음 함수를 미분하라 그랬는데요 우리가 1번 미분해 볼게요 자 y가 지금 XL 엔젤 때 값 x예요 자 y 프라임을 구해주면 지금 x와 ln 절댓값 x의 곱이니까 1 곱하기 ln 절대값 x + x 그대로 냅두고l은 절대값 x 미분하면 x라고 방금 배웠죠 따라서 렌즈 할 때 값 x+1이 나옵니다

자 2번 볼게요 y는 2의 x 곱하기 로그 2에 절댓값 x고요 앞에 있는 2x² 미분하면 EX 곱하기 로그 2x 그대로고요 뒤에는 2x 그대로 오고 로그 2x 미분하면 xl은 1/2이죠 그래서 이렇게 써도 좋고요 우리가 2의 x²으로 묶어서 로그 2의 절댓값 x + xln/2이라고 써도 좋습니다 자 넘어가겠습니다 이번엔 합성함수가 포함된 지수함수와 로그 함수예요 자 y는 2의 FX 제곱을 미분할 거예요 그러면 우리가 요거는 어떻게 볼 거냐면 2의 x라는 함수를 새로운 gx라고 놓을 거고요fx가 지금 지수에 들어가 있죠 즉 y는 2의 fx라는 함수는 g 안에 fx를 합성한 거예요 그래서 이거를 미분하면 g프라임 FX 곱하기 F 프라임 x로 계산을 할 수가 있는데 우리가 gx가 지금 2의 x면 얘를 미분해서 똑같죠 그래서요 부분이 그냥 뭐가 되는 거예요 2의 FX 되고 이렇게 되는 겁니다 얘 f'x만 한번 곱해주면 되겠죠 그래서 이걸 미분한 함수가 이렇게 나오는 거고요 자 밑이 a인 경우에는요 우리가 2fx를 미분할 때 얘는 지금 그대로 나오니까 그대로 됐거든요 하지만 afx를 미분하는 거는 우리가 lna가 생기겠죠 한번 해 볼게요 자 gx를 a의 x 제곱이라고 놓고요 y를a에 fx라고 지금 주어져 있는 함수인데 얘를 귀 안에 f를 이렇게 집어넣은 이런 함수를 볼 수가 있습니다 그러면 y 프라임은 g프라임 f의 x 곱하기의 프라임 x로 계산을 할 수가 있고요 자 g프라임입니다 g를 미분할 거예요 ax²이 미분하면 뭐가 나와요 a의 요렇게 지수 들어가고 lna가 하나 곱해지죠 자 이 지수에 뭐가 들어오는 거예요 지금 fx가 그대로 돌아야죠 거기에다가 뒤에 f'x까지 곱해주면 됩니다 준서만 바꿔서 이렇게 써 있는 겁니다 자 요거는 밑이 성립하기 위한 조건이죠 자 3번 볼게요 y는 ln 절대값 fx가 요렇게 되어 있을 때 이걸 미분하면 얘가 된대요 저희도 똑같아요 우리가 gx를 gx를ln 절댓값 x라고 놓으면 지금 주어진 y는 절대값 fx는 우리가 GX 안에 fx를 집어넣은 거예요 이렇게 그러면 y 프라임은이 프라임 f의 x * F 프라임 x고 우리가 g 프라임 x는 x분의 1인데 안에 fx가 들어가 있어서 여기가 지금 FX 분의 1입니다 거기에다가 F 프라임 x까지 곱하는 거죠 따라서 FX f'

자 4번도 보면요 우리가 밑만 바뀌었어요 민망 바뀐 건 어떻게 해주면 돼요 우리가 요거는 그냥 이렇게 바꿔주면 되겠네요 lna 분의 1 곱하기 ln 절대값 fx라고요 그러면 얘는 그냥 실수배니까 얘만 미분한 요렇게 FX f'x가 오는 거고 lna만 분모에 한번 곱해주면되겠네요 자 우리요 내용들 당연히 알고 우리가 계산을 해 줘야 됩니다 계산을 줘야 되고요 지금 3번과 4번에는 이렇게 fx가 0이 안 된다는 조건이 추가되어 있습니다 분모가 0이 되면 안 되기 때문에 fx가 0이 아닐 때만 성립하고요 추가로 밑이 성립할 조건까지 이렇게 써 있습니다 자 개념 유지 보도록 할게요 자 다음 함수를 미분하시오라 되어 있는데 1번부터 해보겠습니다 자 y는 2의 x 제곱 플러스 2x인데 얘를 미분하면 어떻게 돼요 자 그대로 쓰고요 지수에 있는 것만은 한번 미분해서 2x + 2를 곱해주면 됩니다 요게 다예요 우리가 앞에서 배운 내용을 공식처럼 잘 숙지하고 있으면 그냥 이렇게 바로바로 나오게 됩니다 지수에 있는 걸 한번 더 미분해서 곱해주는 거예요 자 2번 보면요 y는 2의 3x + 1 제곱인데 자 이거를 미분하면2의 3x + 1 제곱 그대로 있고 에레니 한번 곱해줘야 되고 그리고 지수에 있는 3x + 1 곱해서 3 한번 써 줘야죠 자 요거 우리 한번 공식 한번 보고 다시 볼게요 y는 a의 fx를 미분하면 y 프라임은 afx 그대로 있고 lna 한번 곱하고 FX 미분한 AF 프라임 x 한번 곱하고 자 요거 그대로 한번 오고요 lna 즉 lne 한번 곱하고 지수에 있는 거 미분한 3 한번 곱하고 이렇게만 계산해 주시면 돼요

자 3번 볼게요 y는 ln의 절대값 3x + 4입니다 자 얘를 미분하면요 우리가 3x + 4분의 3x + 4를 미분한 3을 한번 이렇게 곱해주면 됩니다 3x+4분의 3으로 계산이 되고요 마지막 4번은 우리가 지금 빛이 3이에요y는 로그 3의 절댓값 ox+1인데 요거를 ln/3 * ln 절대값 ox+1로 계산을 해주면 돼요 자 얘를 미분을 해주면요 y 프라임은 y 프라임은 ln/3 * lnox+1을 미분할 때는 우리가 lnx 미분하면 x분의 1이죠 그때 ox+1을 그 자리에 집어넣어주고 ox+1을 미분한 5를 한번 곱해주면 되겠죠 ln3의 ox+1 분의 5가이 문제의 답입니다 자 넘어가세요 y는 xn제곱의 도함수인데 우리가 지난 시간에는이 n을 어디까지 확장을 했어요 정수까지 확장을 했습니다 그런데 정수뿐만 아니라 실수인 경우에도 똑같이 적용이 돼요 어려울 거 없습니다 똑같은 공식이에요 근데 단지 확장이 되고 있는 겁니다왜 확장이 될 수 있는 거예요 우리가 이거를 유도하는 과정에서 유도하는 과정에서 꼭 자연수거나 정수여야만 성립하는게 아니기 때문에 얘도 마찬가지로 실수일 때도 성립을 하는 거예요 자루트 x는 x의 1/2 제곱이고 x의 1/2 제곱 곱하기 x의 3제곱이죠 그러면 x의 1제곱 더하기 x의 7 제곱입니다 자 y 프라임을 구해주면 x/2 제곱을 미분해주면 지수 2분의 1 앞에 곱하고 x의 1/2 제곱 마이너스 플러스 x/2제곱 미분하면 2분의 7 제곱 곱하기 x의 7 제곱 마이너스 그럼 뭐가 돼요 1/2 x의 - 1/2 제곱이고 여기는 2분의 7 x의 1/2 제곱입니다 자 요렇게 쓸 수도 있고요 우리가 표현 방법이 몇 개가 있는데 x - 2제곱 분의 x의 - 1/2 제곱은 x의 - 1/2 제곱은 루트 x분의 1이죠 그리고 2분의 7에 x의 2분의 5제곱은 x 제곱 루트 x라고 쓸 수 있을 것 같아요 자 유리와 해주면 EX루트 X + 2분의 7 x² 루트 x라고도 우리가 쓸 수가 있습니다 우리가 이렇게도 표현할 수 있고 이렇게도 표현할 수 있으니까 필요에 따라서 변형을 해주면 됩니다

자 오늘 배울 내용은 여기까지입니다 우리가 오늘 합성 함수의 미분법을 가지고 또 여러가지 합성 함수 미분을 활용해서 이렇게 미분을 해봤어요 우리가이 합성 함수 미분법은 조금 헷갈리지만 정말 중요합니다 우리가 이거에 익숙해지면 정말 많은 함수를 미분할 수 있으니까이 내용을 꼭 꼼꼼하게 복습하고 수업 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다