[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 여러 가지 미분법과 이계도함수

자 이번 시간 학습할 단어는 여러가지 미분법과이기도 함수입니다 우리가 오늘 배울 내용은 상당히 생소한 내용이라 많이 어려울 수 있어요 많이 어려울 수 있으니까 조금 천천히 그리고 집중해서 듣기 바랍니다 자 가장 먼저 우리가이 매개변수로 나타내는 함수의 미분법인데요 우리가 오늘 내용을 배우기에 앞서서 우리가 조금 복습을 한번 하고 갈게요 y는 fx라는 함수를 미분을 하면 y는 f'x가 된다 그랬어요 우리가 x로 미분해서 y = f'x가 된 거고

자 얘를 x로 미분한다는 의미로 DY dx라고 표현을 할 수 있다 그랬어요 자 그런데이 DY DX 우리가 이거를dx분의 dy라고 읽지 않고 DY dx라고 읽어요 분수가 아니고 분수는 아니지만 분수처럼 생겼죠 이유가 뭐냐면 우리가 분수처럼 계산이 되는 경우가 많아요 분수처럼 계산이 되기 때문에 우리가 분수는 아니지만 분수처럼 쓰는 겁니다 그래서 우리가 이거를 분수처럼 계산을 하면서 우리가 미분할 수 있는 방법을 오늘 배울 거예요 자 가장 먼저 우리가이 매개변수로 나타내는 함수의 미분법인데 자 두 변수 XY 사이의 관계가 변수 t를 매개로 하여 x는 fty는 gt라고 표현된다 이렇게 골로 주어진다라고 쓰여져 있는데 자 예시를 가져볼게요 우리가 x와 y의 어떤 관계식이 아니라 x는 t² + 2d 그리고 y는 ET 이런 식으로 문자 하나를문자 하나를 추가해서 x는 t² + 2D y = 2t처럼 이렇게 t값에 따라 X Y 값이 정해지는 이런 꼴을 말합니다

자 그러면 만약에 t가 1이면요 만약에 t가 1이면 x값은 뭐예요 3이죠 y 값은 뭐예요 2죠 이렇게 t값에 따라 X Y 값이 정해집니다 자 이렇게 주어진 함수를 매개변수로 나타낸 함수라고 하고요 이때 t를 t를 매개변수라고 합니다 t를 매개변수라고 하는 거예요 그러면 이렇게 주어진 함수를 우리가 미분하는 것을 배울 건데 우리가 결국 구하고 싶은 거는 dxdy dx입니다 우리가 결국 구하고 싶은 건 DY dx인데 우리가 y와 x의 관계식이 아니라 우리는 x는 t에 관한 관계식 y는 t에 관한 관계식을 알고 있어서이 DY dx를 구하려면 어떻게 해줘야되냐면 자 요거를 먼저 미분을 합니다 우리가 y는 gt라고 주어진이 y는 gt라고 주어진 요식을 미분을 해요 뭐에 관해서 t에 관해서 시에 관해 미분을 합니다 그러면 y를 t에 관한 미분했으니까 DY dt가 되겠네요 자 마찬가지로 x는 ft라고 주어진 식도요 c에 관해서 미분을 해주면 dxdt가 될 거예요 그럼 이걸 가지고 dydx를 어떻게 구하느냐 dyd t를 bydt를 dxd로 나눠줍니다 나눠주면 우리가 사라져서 DY dx만 남는 거예요 즉 f't로 우리가 DY dx를 계산할 수 있단 말이죠 자 요렇게 우리가 DY dx를 구하기 위해서 분수는 아니지만 분수처럼 계산을했어요 우리가 요거를 조금 깊게 들어가면 내용이 많이 어려워지고 우리가 그 내용까지는 알 필요가 없기 때문에 제가 오늘 설명드리는 계산 방법만 아 요건 되는 거구나요 계산은 되는 거구나 하고 배우시면 돼요 자 우리가 분수처럼 계산을 할 수 있다 그랬고 이렇게 DDT 날리기 위해서 dxdt분의 dydt 이렇게 계산을 해주면 됩니다

자 개념 이제 그럼 한번 풀어 볼게요 자 다음 매개변수로 나타내는 함수에서 DY dx를 구하라고 했고요 x는 t+1이고 y는 t^2 + 2t라고 주어져 있어요 자 그러면 1번 먼저 계산을 해 볼게요 자 dxdt를 먼저 구할 겁니다 뒤로 미분을 하는 거니까 1밖에 안 남고요 DY dt도 계산을 해 줄 건데 dyd를 계산해주면 ET + 2죠 따라와서 우리가 구하고 싶은 dydx는 자 dxdt분해 by dt로 계산을 해주면 되고 집어넣어주면 2T + 2 / 1이니까 2T + 2라고 계산을 할 수가 있는 겁니다 자 2번도 한번 풀어 볼게요 자 x는 sint고 y는 코사인티에요 그래서 dxd t를 계산을 해주면 코사인 t구요 DY D t를 계산을 해주면 -4int입니다 그래서 이걸 가지고 bydx를 계산하기 위해서요 DY dt로 계산을 해주는 것이고 dydt는 - sint dxdt는 코사인티 따라서 - 탄젠트 t라고 계산을 할 수가 있네요 자 여기까지 됐죠 우리가 매개변수로 나타내는 함수의 미분법을 해봤습니다 자 이번엔 음함수의 미분법인데요 일단 우리가 음함수가 뭔지 알아야겠죠음함수가 뭔지 알아야 되는데 자 이거를 하나 그려 볼게요 원의 방정식을 하나 그리겠습니다 이렇게 x축이 있고 이렇게 y축이 있어요이 원의 방정식을 저는 x 제곱 플러스 y 제곱은 16이라고 하겠습니다 자 우리가 요거를 배울 때 원의 함수라고 배웠나요 원의 함수 원의 함수라고 하지 않죠 원의 함수라고 하지 않고 원의 방정식이라 그럽니다 그게 왜 그래요 함수가 아니기 때문이죠 함수가 아닌 이유가 뭐냐면 어떤 x값을 집어넣었을 때 y 값이 딱 하나 나와야 함수인데 얘는 지금 x값을 집어넣으면 y 값이 여기도 하나 나오고 여기도 하나 있어요 x 값에다 나오는데 y 값이 두 개 나오니까 우리는 함수라고 할 수가 없고 방정식이라고 해야 된다라고 배웠었어요 자 그런데 음함수가 뭐냐면 우리가 어떤 x y가 정의되는 구간을 적당히정하면 우리가 범위를 나눠주는 거예요 범위를 나눴을 때 함수가 되면 y=x에 대한 함수가 되면 우리는 그거를 음함수라고 하고요 y는 fx고로 표현하기가 조금 힘드니까 f의 X Y = 0이라는 꼴로 우리가 주로 표현을 해줍니다 자 그러면 우리가 요거 같은 경우엔이 원의 방정식 같은 경우에 y가 양수인 부분과 자 y가 양수인 부분과 y가 음수인 부분으로 각각 나누어 주면 y가 음수인 부분으로 각각 나눠주면 우리가 빨간색 그래프와 파란색 그래프가 각각 함수라고 할 수 있겠죠 그래서 이렇게 범위를 나눠서 함수가 되면 우리는 음함수다라고 할 수 있는 거예요 그러면 우리가이 음함수는 미분을 어떻게 하느냐 음함수는 미분을 어떻게 하느냐를 볼 건데 자 이렇게 써 있어요 y를 x에 대한 함수로 보고각 항을 x에 대하여 미분하여 DY dx를 구한다라고 써 있는데 제가요 표현 말고 조금 더 틀린 표현은 아니지만 제가 다른 방법으로 한번 설명을 좀 드려 볼게요 자 첫 번째 방법인데요 우리가 y는 fx라는 이 꼴을 활용할 거예요 자 x 제곱 플러스 y 제곱은 16인데요 이때 y는 꼴로 고쳤을 때 와 있는 fx가 된다고 합시다 요거를 y는 꼴로 고치면 y=fx가 되는 거예요 근데 이거를 다시 집어넣습니다 다시 집어넣으면 x의 제곱 플러스 fx의 제곱은 16이죠 요거를 x에 관한 미분하는 거예요 요거를 x에 관해 미분을 해주면 자 x²을 미분하면 뭐가 돼요 2x가 되죠 자 fx의 제곱을 미분은 어떻게 할까요 우리가 합성함수의 미분을 해주면 됩니다 2 곱하기FX 곱하기 f' 그리고 뒤에 16은 미분하면 0이 되죠 따라서 2x+2fx * F 프라임 x는 0입니다 그러면 이거를 요거를 우리가 구하고 싶은게 결국 F 프라임 x잖아요 f'x에 관해서 표현을 해주면 - fx라고 정리가 됩니다 그러면 우리가 - y 분의 x라고 쓸 수도 있겠네요 자 결과이 지금 우리가 평소 계산하던 것과는 다르게 y가 나왔어요 우리 전혀 문제 없습니다 전혀 문제가 없고 요렇게 마이너스 y 분의 x로 답이 나오는 거예요 f'x를 이렇게 구하는 방법이 하나가 있고요 두 번째 방법은요 두 번째 방법을 우리가 조금 주의 깊게 봐야 되는데 그냥 x 제곱 플러스 y 제곱은 16이라는 식을요 식을 x에 관해 미분을 하는 거예요 그럼x에 관한 미분한다는 의미가 ddx죠 그러면 모든 항의 ddx를 달아주는 겁니다 ddx x 제곱 플러스 ddx y 제곱 ddx 16 요렇게 ddx를 달아주고요 하나씩 계산을 해보면 x 제곱을 x로 미분하는 의미죠 지금 여기는 x 제곱을 x로 미분하는 겁니다 그러면 평소대로 ex가 나올 거예요 자 그런데 지금 기회를 보면 두 번째 항을 보면 y²을 x로 미분하래요 그런데 우리가 y 제곱은 x로 미분을 할 수 있을까요 우리가 요거는 미분이 안 됩니다 그래서 우리는 y 제곱을 미분하기 위해서는 ddy가 필요하고요 원래 ddx가 있었는데 이거를 처음과 똑같이 만들어 주기 위해서DY dx를 써주는 겁니다 그러면 뭐가 생긴 거예요 dy가 여기 생기고 여기 생겼으니까 곱셈을 하면 없어지죠 없어지니까 처음하고 똑같거든요 그래서 우리는 DY dx라고 써주고 y에 관해서 미분을 할 수가 있는 겁니다 따라서 어떻게 된다고요 DY DX 곱하기 B DY y 제곱으로 표현이 되고 자 일단 끝까지 쓸게요 우리 16을 x를 미분하면 그냥 0입니다 자 그 다음에 요거를 계산을 해주면 EX + DY DX 곱하기 자 y 제곱으로 y로 미분했으니까 2y죠 그리고 0입니다 얘를 by dx에 관해서 정리를 해주면 - y 분의 x라고 나오고요 이렇게 해서 f'를 구한 겁니다얘가 f'x죠 얘가 f'x니까 자 여기 두 번째 방법이에요 우리가 x는 그냥 미분을 해주는데 y를 미분할 때는 x에 관해 미분한다고 식을 계산을 했는데 y에 관해서 미분을 해야 되니까 이런 변형이 생기는 겁니다이 부분을 주의 깊게 봐야 돼요 자 요거를 우리가 앞으로는 그래서 어떻게 계산을 할 거냐 x로 미분하는데 문자가 y면 뭐를 하나 써주고 y로 미분해요 DY dx를 하나 써주고 DY dx를 하나 써주고 y로 미분하는 겁니다 자 요거 정말 중요해요 제가 별표를 좀 달게요요 내용 자 뭐라고요 제가 계속 말하고 있어요 정말 헷갈리고 중요한 내용이기 때문에 자 DY dx를 써주고 y로 미분할 수 있는 겁니다 그냥은 미분하면 안 돼요 자 이렇게 한번 적용을 시켜 볼게요 자 다음 방정식으로 주어진 x의 함수 y에 대하여dydx를 구하라고 했는데 우리가 1번은 앞에서 연습한 거랑 똑같은 원의 방정식이죠 자 그러면 한번 해보도록 할게요 우리가 요거는 조금 더 다른 내용도 추가해서 보도록 할게요 일단은 dividx를 구하기 위해서 우리가 x 제곱 플러스 y 제곱은 4라는 원의 방정식을 x로 미분을 할 겁니다 x로 미분을 해주면 x 제곱은 전혀 문제 없이 그냥 ex가 되고요 y²을 미분할 때는 y 제곱을 미분할 때는 제가 뭐라 그랬어요 DY dx를 하나 달아주고 달아주고 y로 미분을 해서 계산을 해 줘야 된다 자 그리고 뒤에 있는 상수항은 x로 미분하면 0이 됩니다 자 계산해주면요 ex+bx * 2y는 0이고요 우리가 DY dx만 남기고 계산을 해주면- y 분의 x라고 정리할 수 있습니다 자 그러면 우리가 문제에서 구하라고 한 건 다 구했는데 한번 요거를 좀 활용을 해 볼게요 요거를 좀 활용을 해보겠습니다 자 우리가 미분해서 나오는이 DY dx는 접선의 기울기죠 접선의 기울기입니다 접선의 기울기 그러면 우리가 지금 x² + y 제곱은 4라는 거는 원의 방정식인데 이렇게 생긴 원의 방정식인데 만약에 x는 1에서 x는 1에서 우리가이 원의 방정식 위에 점은 두 개가 있어요 자 한번 점을 구해볼게요 x에다가 1을 x 제곱 플러스 y 제곱은 4에다가 대입을 해주면 우리가 1 + y 제곱은 4고 y 제곱은 3이니까 y 값이 플러스 마이너스 루트 3이나와요 그래서 위에 있는 점은 위에 있는 점은 1루트 3이고 밑에 있는 점은 1 - 루트 3입니다 자 그러면 이때 두 점에서 각각 접하는 접선이 있을 거예요 1번 접선이 하나가 있고 이렇게 생긴 2번 접선이 있습니다 그러면이 접선의 기울기를 이제 우리가 구할 수 있는 거예요 어떻게 구해요 자 1번 접선 기울기 어떻게 구할까요 점의 좌표가 1루트 3인데 지금 우리가 DY dx를 계산할 때 - y 분의 x다라고 계산을 한다 그랬어요 그러면 1 루트 3을 대입하면 - 루트 3분의 1이죠 그래서 기울기는 - 3분의 루트 3인 겁니다 우리가 지금까지는 dydx를 구하면 x에 관한 식만 이렇게 있었죠 그런데 지금 우변의 y가 들어갔으면 그때의 y 값을 그 x값일 때의 y 값을 x가 1일 때 y가 루트3이니까이 y 값 루트 3을 여기다가 넣어서 계산을 해주면 되는 거예요 자 2번 접선 기울기도 동일한 방법으로 우리가 계산을 할 수가 있고요 x가 1일 때에 y가 - 루트 3이니까 우리는 DY dx를 계산을 해주면 - 루트 3분의 1이고요 루트 3분의 1이니까 접선 기울기를 3분의 루트 3이다라고 계산을 할 수가 있습니다 자 2번 문제 한번 해 볼게요 지금 사이넥스 플러스 코사인 y는 1이고요 요거를 x에 관해서 미분을 할 겁니다 ddx를 해 줄 거고 사인 x를 미분하면 그대로 코사인 X 자 코사인 y에요 y에 관한 식입니다 y에 관한 식을 미분할 때는 우리가 어떻게 해야 된다고요 y 프라임을 하나 만들어주고 즉 DY dx를 하나 만들어주고 아이로 미분할 수 있다 그랬어요 자코사인 y를 y로 미분하면 - 싸인 y입니다 우리 1을 x로 미분하면 0이죠 이렇게 되고요 우리가 DY dx에 관해서 정리를 해주면 sin y 분의 코사인 x입니다 자 여기까지 됐죠 넘어가겠습니다 자 역함수의 미분법인데요 우리 미분 가능한 함수 fx의 역함수가 존재하고요 미분 가능하면요 와인은 F 인버스 x의 도함수는 우리가 요렇게 구할 수 있다고 써 있어요 DY dx는 자 이때 우리는이 와인은 F2 인버스x 가지고 요거 가지고 식을 한번 유도를 해 볼게요 우리가 합성함수를 할 겁니다 f와 F 인버스를 합성하면 어떤 함수가 된다고 배웠어요 항등 함수인 x가 나온다고 외웠습니다 그러면 우리가 F 안에다가 F 인버스 x를 넣었을 때 x가 나오는 거고요 이거를 미분할 거예요 합성함수의 미분으로 우리가 이거를 미분을 할 건데 자 미분을 해주면 f'f 인버스 x 그리고이 FX 안에 있던 F 인버스 x를 미분해서 곱해줍니다 미분을 해주면 F 인버스 프라임 X 가 자 우변에 있는 x를 미분하는 거니까 결국은 1만 남겠네요 자 이때요 우리가 여기에 있는 F 인버스 x를 y라고 놨죠 처음에요거를 y라고 놨으니까 이런 관계가 나오는 거예요 f프라임 y 곱하기 F 인버스 프라이맥스는 F 인버스 프라이맥스는 1이다라고 나오는 거고요 F 인버스 프라이맥스에 관해서 정리를 해주면 F 프라임 y 분의 1이다라고 정리가 되네요 자 그러면 우리가 앞으로는 결국은 역함수의 도함수는 f' 우리 역함수의 도함수는 F 인버스 프라임 x 이렇게 좌변에 써 있는 거죠 이거 구할 때는 어떻게 구한다고요 f' 와이 분의 1로 계산을 한다고요 자 f프라임 와이번의 일은 어떻게 나오는 거예요 fx를 미분을 하면 f'x고요 그 자리에다가 y를 집어넣으면 f'y고요 이거의 역수를 취하면 f' 마이분의 1이 나옵니다이 과정을 통해서 우리는역함수의 도함수를 구해줄 거예요 자 그러면이 과정에서 우리가 역함수를 구했나요 역함수를 구하지 않았어요 역함수를 구하지 않고 원래 있는 FX 가지고 미분하고 y 집어넣고 역수치하고 역함수를 구하지 않았는데 역함수의 도함수를 구할 수가 있는 겁니다 그 내용이 바로이 내용이에요 역함수의 미분법을 이용하면 방금 배운 요식을 이용하면 역함수를 직접 구하지 않고도 역함수를 직접 구하지 않고도 역함수의 도함수를 구할 수 있다이 말입니다 자 그래서 우리가 요거를 이제 식을 활용을 해서 역함수 도함수를 구할 거예요 자 지금 오른쪽에 써 있는요 내용들은요 분모가 0이면 안 되기 때문에 분모가 0이면 안되기 때문에 추가된 조건이고요 여기에 있는 거 지금 분모 여기고요 분모가 0이면 안 되기 때문에이 조건들어가는 겁니다 자 1번 내용 있는데요요 내용요 내용을 한번 조금 보도록 할게요 자 우리가 요거는 어떤 값을 구할 때 우리가 사실 똑같은 내용이에요요 시각하고 똑같은 내용인데 우리가 값을 구할 때 조금 헷갈릴까봐 한번 짚고 넘어간다고 생각하면 돼요 자 우리는 y는 fx라는 함수에서 x가 a일 때 y가 b인 즉 b는 fa를 만족한다고 합시다 그러면 역함수 F 인버스는요 어떤 식을 만들게요 a는 f 인버스비죠 x와 y 값을 바꿔준 a는 F 인버스 b가 성립을 합니다 그러면요 우리가 아까 뭐에서 전개를 했어요 y는 F 인버스 x에서 전개를 쭉 했죠 자 y는 F 인버스 x를 전개해서 우리가 이거를유도한시기 F 인버스 프라임 x는 F 프라임 y 분의 1이라는 식이었습니다 자 a에다가 뭘 집어넣었어요 y에다가 a를 집어넣죠 y에다가 a를 집어넣고 x에다가 b를 집어넣을 겁니다 그러면 우리가 어떤 식으로 얻어낼 수 있는 거예요 F 인버스 프라임 b는 F 프라임 a분의 1이다요식이 나오는 거예요 우리가 조금 헷갈릴 수 있는게 지금 여기는 x좌표가 a죠 여기는 x좌표가 a인데 여기는 지금 x 자리에 a가 아니라 b가 들어갔어요 이게 왜 그러냐면 우리가이 b는 fa라고 잡아 놓은 건 fx에서 잡아 놓은 거고 여기 있는 x y는 F 인버스에서 잡아 놓은 겁니다 근데 그래서 조금 차이가 발생을 하는데 같은시기 때문에 우리가 이렇게 비교를 해주면 똑같이결과가 나오는 거 볼 수가 있어요 자 그래서이 식을 활용은 어떻게 하냐 우리가 만약에 어떤 역함수 도함수에서 값을 구하라고 했어요 역함수 도함수의 값을 구하라고 했으면 자요 값을 구하라고 했으면 우리는이 F 프라임 a분의 1을 구해야 되고요 그러기 위해서 우리가 뭘 찾아야 되냐 바로이 a값을 찾아 줘야 되는 겁니다 이 비와 a의 관계 어디서 찾아요 y는 fx에다가 대입을 해서 b는 fa를 가지고 a 값 B 값을 찾아주는 겁니다 자 우리요 내용도 뒤에 개념유지에 가서 다시 한번 해보도록 할게요 자 일단은 넘어가겠습니다 자 역함수의 미분법을 이용해서 다음에서 dydx를 구하라고 했는데요 우리가 앞에서 개념 예제에서 배우기로 한 내용이 하나가 있죠 그게 뭐예요 dydx를 어떻게 도구할 수 있다 dxdy 1로도 계산을 할 수가 있다우리가요 내용을 개념 예제에서 보기로 했어요 자 이거를 활용해서 DY dx를 구할 건데요 우리가 지금 XY 5제곱이라고 써 있으면 사실은 요거의 역함수를 구하면 y = x 5제곱이고요 우리가 요거를 그럼 미분을 할 수 있겠죠 요거를 미분을 해가지고 우리가 또 배운식을 가지고 다시 원래 함수의 도함수를 구할 수는 있어요 우리가 그렇게 구할 수는 있는데 복잡하죠 복잡해서 그렇게 하지 않고요 우리는 그냥 여기서 dxdy를 구해 버리는 겁니다 자 여기서 dxdy를 구할 거예요 그러면 뭘로 미분하는 거예요 y로 미분을 해주는 겁니다 자 y로 미분을 해주면 DY x는 자 Y 5제곱을 y로 미분하면 5y^4입니다 자 그런데 지금 좌변의 ddy x는 아직 미분이 안 됐어요자 x로 미분해야 되기 때문에 우리가 이렇게 바꿔 주면 되죠 그렇게 하고 자 그러면 x를 미분으로 하면 1이니까 우리가 dxdy의 값을 oi 네제곱이라고 계산을 할 수가 있는 겁니다 그러면 이걸 가지고 우리가 뭘 계산할 수 있다고요 DY dx를 계산을 할 수가 있다고요 GX DY 1과 같고요 얘는 5y네 제곱 분의 1로 계산이 됩니다 자 2번도 똑같이 할 건데 지금 범위가 하나 있어요 y가 0보다 크고 2분의 파이보다 작다 그랬죠 자요 조건이 왜 있는 걸까요 우리가 코사인 y의 그래프를 그렸을 때 이렇게 0부터 2분의 파이까지 그려야 그래프가 지금 이렇게 계속 감소하죠 감소하는 일대일 대응 함수이기 때문에 이런 경우에만 이런 경우에만 우리가 역함수가 존재합니다역함수가 존재하기 위해서 우리가 y 값의 범위를 준 거예요 자 여기서 우리도 마찬가지로 1번과 마찬가지로 y로 미분을 해 줄 거고요 자 x를 y로 미분하면 y가 미분이 안 되죠 x가 y로 미분이 안 돼요 그래서 요거를 어떻게 바꿔요 GX DY ddx x로 바꿉니다 그러면 dxdy 그리고 x를 미분하면 1이죠 자 그러면 우변은 코사인 와인들 코사인 y를 y로 미분하면 - 싸인 y입니다 우리가 이렇게 dxdy를 구할 수 있고요 이거를 가지고 DY dx를 계산을 해주면 - 싸인 y라고 계산이 됩니다 자 여기까지 됐나요 우리가 역함수의 미분법 첫 번째 개념인지 했고요 개념 예제 하나 더 볼 건데 자 함수 fx는 x3제곱의 역함수를 f 인버스 x라고 하는데 F 인버스 프라임 발의 값을 구하래요자 그러면 우리가 앞에서 배운 식을 좀 떠올려 볼게요 우리가 fa는 b를 만족하는이 a값 B 값에 대해서 F 인버스 프라임 b는요 F 프라임 a분의 1이라고 배웠어요 자요 식을 활용해 주는 거라 그랬어요 fa는 b를 만족하는 식에 대해서 이식을 활용을 해 줄 건데 자 근데 지금 F 인버스 프라임 발의 값을 구하는 거예요 즉요 B 값이 8입니다 자 얘가 8이에요 그러면 우리는 뭘 구해야 돼요 a값을 찾아 줘야 됩니다이 F 안에 들어있는 a값을 찾아 줘야 되는 거예요 즉 A3 제곱은 8을 만족하는 a 값을 찾아 줘야 되고 a값은 뭐예요 2죠 3 제곱해서 8 되는 건입니다 그래서 우리는 F 프라임이를계산해서 역수를 취해주면 돼요 자 f'2를 구하기 위해서 f'x를 구해주면요 3x제곱이고요 f'2를 구해주면 12점 따라서이 값은 뭐예요 12분의 1이 되는 겁니다 자 우리가 헷갈려요 헷갈리기 때문에 항상 헷갈리면이 식을 한번 써주고요 문제를 풀 때 처음에 헷갈리니까 식을 한번 써주고 a값 B 값을 찾아주는 찾아주는 연습을 해줘야 됩니다 지금 요거 B 값이 8인 경우이기 때문에 b에다가 8을 넣어서 a 값을 찾아 줘야 a값을 여기다 집어넣어서 이렇게 우리가 원하는 값을 찾아낼 수가 있는 거예요 자 넘어가겠습니다

자 이번엔 이계도 함수인데요 y는 fx의 도함수 f'x가 미분 가능할 때 f'x의 도함수를 우리가 새로 정의를 하는 겁니다 자 우리가 fx를 가지고F 프라임 x를 구했었어요 어떻게 구했어요 델타 x가 0으로 가는 리미트에서 델타입스 분의 f의 x+ 델타 x - fx로 구했죠 도함수의 정의입니다 그런데 우리는 새로 f프라이맥스의 도함수를 구하는 거예요 한번 더 미분을 하는 겁니다 그래서 한번 더 미분한요 함수를요 이게 더 함수라고 하고요 이게도 함수라고 하고 이것을 기호로 요렇게 써요 뭐라고 읽냐면 F 더블 프라이맥스라고 했습니다 프라임이 두 개라서 FW 프라임이라고 있고요 얘는 y 더블 프라임이라고 읽어요 자 여기 이런 표현들이 있어요 자 표현이 조금 복잡한데 우리 요거는요 우리가 지금 y를 두 번 미분하는 거죠 우리가 ddx를 두 번 해주는 거예요 ddx를 두 번 해주는 거니까 이거를 기호로 표현을 할 건데기호로 어떻게 표현을 하냐면 지금 d가 2개죠 그래서 d^2이라고 쓰고요 분모에는 dx가 두 개죠 그래서 정확히 dx의 제곱인데 우리가 dx라는 거는 그냥 한 기호기 때문에 요거를 그냥 기호를 괄호를 떼고 DX 제곱이라고 이렇게 표현을 해줍니다 그래서 이렇게 표현하면 아 x로 두 번 미분했구나 x로 두 번 미분했구나 요렇게 이해하시면 됩니다 자 y자리에 fx를 집어넣을 수도 있겠죠 자 그래서 우리가 요거를 두 번 미분한 F 더블 프라이맥스는요 델타이익스가 0으로 가는 리미트에서 델타 x F 프라임 x + 델타 x - F 프라임 x로 구할 수가 있습니다 우리가 그냥 두 번 미분해 주는 겁니다 두 번 미분해 주는 거고 우리가 1번은 지금 요렇게 된 거는 y 더블 프라임이라고 읽는다라고써있고 자 dydx를 x에 대해 미분을 하면요 이렇게 되고요 제가 아까 설명드렸듯이 기호로 이렇게 나타낼 수 있다라고 했어요

자 넘어가겠습니다 자 다음 함수의이기도 함수를 구하시오라고 했는데요 우리가 1번 y=x^4 + 3x제곱의 이게 더 함수를 구하기 위해서는 일단 한번 미분을 해야 돼요 와이프라임은 4x^3 플러스 6x죠 자 또 미분합니다 y 더블 프라임은 12x² + 6이죠 그냥 한 번만 더 미분을 하면 되는 거기 때문에 우리가 요거 구하는 거는 어렵지 않습니다 우리가이기도 함수를 이제 뒤에 가서 활용 단원에서 좀 더 이게 어떤 의미가 있는지 배울 거고요 우리가 오늘은 이기에도 함수란 개의 어떻게 구해지는지 그것만 좀 연습을 해주면 됩니다 자 2번 볼게요 y는 xlnx고요 자 y = xl은 x고 y 프라임을 구해주면 곱의 미분을 활용을 해서lnx + x 곱하기 x분의 1이니까 lnx + 1이고요 y 더블 프라임을 구해주면 x분의 1 + 1은 미분해서 없어지죠 그래서 x분의 1만 남습니다 이렇게 2개도 함수를 구할 수가 있어요

자 오늘 강의는 여기까지입니다 오늘 강의가 길었죠 오늘 배운 내용이 아무래도 어렵다 보니까 조금 자세하게 설명하느라 강의가 길어졌는데 그래도 중요한 내용인만큼 꼭 복습 꼼꼼하게 하면서 내용 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 고생 많으셨습니다 감사합니다