[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 접선의 방정식

자 오늘은 접선의 방정식을 배워 볼 건데요 우리가 오늘 배울 내용은 수학 2에서 배웠던 내용들이 많이 나옵니다 그래서 우리가 앞부분에서 조금 익숙한 내용들이 나와서 우리가 조금 쉽게 느껴질 수가 있어요 근데 쉽게 느껴진다고 대충 듣지 마시고 꼼꼼하게 우리 부족한 부분은 없는지 복습한다 생각하시고 들으면 되고 뒷부분에 이제 우리가 지난 시간에 배운 음함수의 미분하고 매개변수의 미분을 활용해서 적산의 방정식 구하는 것도 나오니까 거기까지 꼭 집중해서 들으시기 바랍니다

자 일단은요 우리가 접선의 방정식 구하는 것을 배워 볼 건데 함수의 fx가 x는 a에서 미분 가능할 때 y=fx 위의 점 a fa에서의 접선 구하는 방법을 배울 거예요 자 그러면 지금 x는 a라는 위치에서접선을 구하는 겁니다 그러면 함수 그래프가 이렇게 생겼을 때 x는 a에서 함수값을 구하면 fa겠죠 그래서 a fa라는 점을 일단 지나요 자 이때요 우리가 지금 구하는게이 접선인데 이 접선의 기울기는 뭐랑 같다고 배웠어요 우리는 바로 x는 a에서의 미분계수랑 접선 기울기랑 같다고 배웠어요 그래서 그 기울기를 f'로 구하는 거죠 자 그러면 기울기가 f'이고 우리가 A fa를 지나는 직선의 방정식을 세워주면 y는 f' a의 x-a + fa입니다 그래서 우리가요 식을 가지고 접선의 방정식을 구해 줄 거예요 자 여기서 중요한게 뭐예요 중요한 건 바로 x는 a에서의 접선의 방정식입니다이 Afa라는 점이 그럼 무슨 점인 거예요 우리가 접점이라고 하죠 접하는 점을 접점이라고 합니다이 접점에서 접선의 방정식을 구하는 시킨 겁니다

자 넘어갈게요 이번에 접선의 방정식을 구하는 3가지 유형에 대해 지금 설명이 되고 있는데 접점유자 좌표가 주어진 경우 기울기가 주어진 경우 그리고 곡선밖에 한 점에 잡혀가 주어진 경우 이렇게 세 가지가 있습니다 자 접점자표 주어진 경우는요 우리가 앞에서 그대로 이식을 쓰면요 직선의 방정식이 쉽게 나와요 그런데 우리가이 기울기가 주어진 경우하고 곡선 밖에 한 점 접점이 아닌 점입니다 접점이 아닌 점이 주어진 경우에는요 우리가 어떤 거를 꼭 해줘야 되냐면 접점의 좌표를 문자로 잡아 줘야 돼요 접점의 좌표를 문자로 잡고 우리가 직선의 방정식을 구해줘야 됩니다 자 기울기가 주어진 경우에는요 우리가 f'a가 m이라는기울기가 미분기에서와 같다는 인식을 통해서 접점에 좌표를 구해서 직선의 방정식을 찾아주면 되고요 곡선밖에 한 점이 주어진 경우는 우리가이 문자로 잡은 접점 좌표가 아니고 접선의 기울기가 f' a가 되는이 직선의 방정식을 쭉 문자로 세웁니다 그래놓고이 곡선밖에 한 점 X1 y1을 여기다가 대입을 해서 우리가 a 값을 찾아주는 거예요 그러면 다시 직선의 방정식도 찾아 줄 수가 있겠죠 자 그러면 우리가 개념 예제를 한번 보도록 할게요 자 y는 lnx 위에 점 2를 더해 접선의 방정식을 구하는 문제인데 자 항상 요거를 신경을 써야 돼요 자이라는 점이 접점인지 아닌지 자 여기서 지금 곡선 위의 점이라고 했으니까 얘가 바로 접점이 되는 거예요 접점이 되는 것이고 우리가 기울기를 구하기 위해서 미분을 해줘야 됩니다 와이프라임은 x분의 1이고요 x가 2일 때접선의 기울기가 2분의 1이라는 것을 우리가 여기다가 x분의 1에다가 대입을 해서 구할 수가 있습니다 그러면 y는 기울기는 1/2이고 점은 몇 콤마 몇을 지나요 2를 지나죠 x - 2 + 1입니다 따라서 2분의 1 x -1 + 1이니까 2분의 1 x라는 그런 결론이 나옵니다

자 예제를 제가 하나 더 가져왔는데 요거까지 풀어보도록 할게요 지금 똑같은 y는 lnx라는 곡선에서 기울기가 기울기가 2분의 1인 접선의 방정식을 구해 보도록 할 거예요 그러면 기울기가 1/2이니까 y는 lnx를 미분한 y 프라임은 x분의 1이이 기울기 2분의 1이랑 같아지는 x값을 찾아 줘야 되는 거예요 왜죠 제가이 와인은 lnx 위에 그 접점을기울기가 1/2이 되는 접점의 좌표를 a lna라고 놓으면요 지금 기울기가 1/2이니까 여기다가 a를 대입한 a분의 1/2이 되는 a분의 1이 2분의 1이 되는 a값으로 우리가 찾아주면 a가 2죠 그래서 우리가 이렇게 접점을 찾아 줄 수가 있는 겁니다 그러면 a가 2가 접점이니까 우리는이 접선의 방정식을 2분의 1의 x-2 + l은 2를 통해서 접선의 방정식을 구해 줄 수가 있습니다 그래서 1/2x-1 + lne가 우리가 잡고 싶은 접선의 방정식입니다 자 여기까지 되셨나요 넘어가 보도록 할게요 자 매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식인데 우리가 앞에서 배웠던 내용들은 이제 수학 2에서 조금씩은 봤던 내용들이에요 그런데 여기서 배운 내용은 우리가 오늘 처음 하는 거니까 한번 좀 집중해서 들어보도록 하세요 자 우리가 매개변수로 나타낸 곡선 매개변수로 나타낸 곡선 x는 ft와 y는 gt에 대해서요 우리가 지난번에 뭘 배웠어요 bydx 구하는 방법을 배웠습니다 dydx를 어떻게 구해요 ft는 t로 미분해서 f't를 구하고 gt는 GT 대로 t로 미분해서 g 브라임 t를 구합니다 그래서 by dx를 f'로 구할 수가 있다 그랬어요 그러면 이거를 가지고 우리가 접선의 기울기를 구하고요 요걸로 기울기를 구하고 fa와 ga를 각각 구하면 얘가 뭐예요 x좌표 얘가 Y 좌표 어떤 한 점을 구하는 겁니다 자 t는 a를 대입해서 구하는 거예요 우리가 어떤 t값에 따라 XY 값이 각각 정해지는데 그 t는 a라는 값에서 접선의 기울기 따로 구하고요 x좌표 따로 구하고Y 좌표 따로 구해서 우리가 접선의 방정식을 요렇게 세워주는 겁니다 얘가 기울기구요 x좌표 Y 좌표 자 한번 직접 구해 보도록 할게요

자 개념 예제 보면 매개변수 t로 나타낸 곡선 x는 2T 그리고 y는 t^2 + 1에 대하여 t는 1의 대응하는 점에서의 접선의 방정식을 구하라고 했어요 그러면 우리가 일단은 dydx를 구할 겁니다 그러면 dy를 구하기 위해 dydt를 구할 거고요 dx를 구하기 위해서 dxdt를 구할 거예요 자 dydt는요 이렇게 되어 있는 t^2 플러스 1을 t로 미분하는 거니까 2T 들어오는 dxdt는 x는 2t를 d로 미분하는 거니까 2가 되겠네요 따라서 DY dx는 t라고 우리가 구할 수 있어요 자 우리가 찾는 건 t가 1일 때 접선의 방정식이에요 그러면d가 1일 때 DY DX 값을 구해주면 몇이에요 1이고요 얘는 바로 기울기가 됩니다 자 x좌표를 찾기 위해서 우리가 x는 2t에다가 2를 대입하면 2구요 y는 t^2 + 1에다가 1을 대입하면 2예요 즉 t가 1일 때 대응되는 점은 바로 2라는 점인 거예요 그러면 우리는이 접선의 방정식을 y는 1 곱하기 x - 2 + 2라고 쓸 수 있고요 계산해서 정리해주면 y는 x라는 접선의 방정식이 나오네요 이렇게 우리가 매개변수로 나타내져 있어도 곡선의 접선의 방정식을 구할 수가 있습니다 자 넘어갈게요 이번엔 음함수로 나타낸 곡선의 접선을 방정식인데요 우리가 비슷하게 음암 수입 미분법을 이용해서 DY dx를 구하고 DY dx를 구한 다음에 우리는 점 피해자표 접점이죠 접점점 피해서의 접선의 방정식이니까 점 p는 접점인 거예요 자 그 접점에서 접점에서 기울기를 구해줍니다 그러면 기울기 알고 점 p에 좌표 한 점 아니까 우리는 접선의 방정식 세울 수 있겠네요 여러분이 여기서 어려움을 느낀다면 어디서 어려움을 느끼는 거예요 바로 음암 수입비분법에서 어려움을 느끼는 거예요 우리가 요거에 충분한 연습을 해줘야 됩니다 음함수의 미분법 꼭 연습하셔야 돼요

자 곡선 XY 제곱은 3 위에 점 3 콤마 1에서의 접선의 방정식을 구하는 문제구요 우리가 요거를 x에 관해서 일단 미분을 좀 해주겠습니다 x에 관해 미분으로 하면 1 곱하기 y 제곱이고요 그리고 우리가 이번에 y 제곱을 미분을 할 겁니다 근데 우리가 y 제곱은 x로 미분을 할 수가 없죠 미분을 할 수 없으니까 이렇게 변형을 해주죠 그러면 요거는 2y로 미분이 되고요 우리가요 식을 이렇게 쓸 수가 있습니다y² + 2xy의 DY DX 자 우변의 상수항 3이 미분하면 0이 되고요 우리가 이거를 DY dx에 관해서 정리를 해주면 -2x y라고 정리가 돼요 자 점 3 콤마 1에서의 접선의 방정식이니까 x에다가 3을 넣 넣어서 정리를 해주면요 우리가 DY dx의 값을 뭐라고 계산을 할 수 있어요 -6분의 1로 계산을 할 수가 있습니다 따라서 우리가 구하는 접선의 방정식 y는 -6분의 1의 x좌표는 3 y 좌표는 +1 따라서 -6분의 1 X + 1/2 + 1이어서 우리가 -6분의 1x + 2분의 3으로 계산을 할 수가 있습니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 배울 내용은 모두 마쳤고요 우리가 오늘 또 여러가지 내용 배웠으니까 수업 끝나자마자 꼭 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다