[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 함수의 극대와 극소

자 이번 시간엔 함수의 극대화 극소를 배워보도록 하겠습니다 여기 내용도 마찬가지로 우리가 수학 2에서 한번씩은 봤던 내용인데 복습할 겸 한번 쭉 보도록 할게요

자 우리가 일단은 어떤 함수의 fx가 어떤 구간에 속하는 의미에도 수 X1 x2에 대해서 우리가 일단 증가 감소를 정리할 거예요 증가하는 무엇이고 감소는 무엇인지 정의를 한다는 겁니다 자 증가는 1번에 정의되어 있어요 x1이 x보다 작을 때 자 x값이 x1에서 x2로 가면서 커지는 겁니다 이렇게 된 거예요 자 그래프가 x1이 여기 있고 x2가 여기 있습니다 자 x 값이 커지면 그때fx1이 fx2보다 작아요 즉 함수값이 여기는 여기 있고 어 x2를 넣었을 때 더 커야 되니까 여기 좀 있다고 하겠습니다 자 이러면 함수가 증가한다라고 하는 거예요 함수가 2구간에서 증가한다이 구간 내에서 항상 그래야 되는 겁니다 그래서 그래프가 항상 올라만 가야겠죠 중간에 내려온게 있어요 이렇게 그러면 우리는 여기서부터 여기까지 증가한다고 할 수 있어요 우리는 이런 거는 증가한다고 하지 않습니다 우리가 이렇게 계속 커지기만 하는 그 구간 내에서 커지기만 할 때 그 구간에서 증가한다라고 할 수 있는 거예요

자 감소는 이번에 정의되어 있고요 우리가 반대로 가는 겁니다 x1이 x2보다 작을 때 fx1이 fx2보다 크죠 자 부등호 방향이 바뀌었습니다 이랬을 때 함수 fx는이 구간에서 감소한다라고 하는 거예요 자 그러면 우리가 이거를이 증가와 감소를 미분과 연관지어서 생각을 해볼건데 함수 fx가 어떤 열린 구간에서 미분 가능할 때이 구간에 속하는 모든 x에 대하여 자 어떤 열린 구간에 속하는 모든 x에 대해서예요 자 엘프 프라임 x가 0보다 크면 도함수가 0보다 크면 fx는이 구간에서 증가한다라고 하는 거고요 f'x가 0보다 작으면 fx는이 구간에서 감소한다라고 하는 거예요 자 f' 우리가 의미하는게 접선의 기울기죠 접선의 기울기입니다 접선의 기울기가 양수라는 말은 함수가 이렇게 될 수도 있고요 이렇게 생겨요 지금 접선 기울기가 양수죠 이렇게 될 수도 있고요 아니면 그냥 이렇게 직선일 수도 있습니다 어쨌든 접선의 기울기가 양수기만 하면 양수기만 하면 함수는 그 구간에서 증가한다라고 할 수 있는 거예요 자 반대로 f'x가 0보다작으면요 접선의 기울기가 0보다 작으면요 fx는이 구간에서 감소한다라고 할 수 있는 거고요 자이 구간에서 감소한다는 말은 이렇게 생겼거나 이렇게 생겼거나 아니면 직선으로 이렇게 생겼거나 어쨌든 세 가지 경우 모두 접선의 기울기는 음수인 거 우리가 확인을 할 수가 있습니다

자 마지막 세 번째인데요 함수의 fx가 어떤 열린 구간에서 미분 가능하고 자 어떤 열린 구간에서 미분 가능하고 그 구간에서 만약에 fx가 증가해요 그러면 f프라임 x가 모든 x에 대해서 0보다 크거나 같습니다 fx가 감소면 모든 x에 대해서 f'x가 0보다 작거나 같아요 그러면 우리가 여기서 한 가지 의문점이 생길 수 있어요 여기는 등호가 없어요 그런데 여기는 지금 등호가 들어가 있죠 자이 차이가 외발생하는지 좀 생각을 해 볼 거예요이 차이가 왜 발생하는지 생각을 해 볼 건데 만약에함수가 이렇게 생겼다고 합니다 이렇게 생겼어요 자요 점에서요이 점에서만이 점에서만 접선 기울기가 0입니다 자 그러면 지금 우리이 함수가 증가하나요이 함수가 지금 증가합니다 x값이 여기서 여기까지 올 때도 함숫값이 커졌고요 여기서 여기까지 잡아도 함숫값 커진 거고 어 여기서 여기까지 잡아도 커지고 우리가 어떤 구간을 잡든 항상 x값이 증가할 때 y 값도 커지고 있어요 그런데 함수가 증가하고 있는데 기울기가 0이 되는 순간이 있죠 기울기가 0이 되는 순간이 있어도 우리는 계속 증가할 수 있는 겁니다 즉 함수가 증가하면 f'x가 0보다 크거나 같다라고 해줘야 되는 거예요 그러면 얘는 왜 성립 안 하는가라고 생각할 수 있어요 f'x가 0보다 크거나 같을 때 함수는 왜 증가하지 않는가 증가인가라고 생각했을 때 얘는증가하지 않습니다 왜냐하면 f프라임 x가 0보다 크거나 같다는 것은 F 프라임 x가 계속 0일 수도 있는 거예요 그래서 F 프라임 x가 계속 0일 수도 있으면 그래프가 이렇게 생길 수도 있죠 그러면 여기 사이에서 구간을 잡아버리면 여기를 x1이라고 잡고 여기 x2라고 잡으면 함수가 지금 증가했나요 아 여기는 증가하지 않았습니다 여기는 증가하지 않았어요 그래서 F 프라임 x가 0보다 크거나 같다 그래서 우리가 항상 증가하지는 않는다요 말은 틀린 말이다라는 것을 구분 지울 수 있어야 되고요 우리가 이렇게 그래프를 그려가면서 실제로 확인하면서 체크해주면 얘도 할 수 있을 겁니다

자 넘어가 보도록 할게요 자 함수 y는 x-lnx의 증가와 감소를 조사하라 그랬어요 자 증가와 감소를 조사하라 그랬는데 우리가 이거를 찾기 위해서는 뭐를 확인해야 돼요 바로 도함수의 부호를 체크해 줘야 됩니다도함수의 부호 즉 포함수가 양수인지 음수인지 따져 줘야 된단 말이에요 자 근데 지금 lnx가 있으니까 일단은 우리 x가 양수여야겠죠 우리 정의역을 x가 양수다라고 해놓고 문제를 풀어야 됩니다 자 그랬을 때 저는이 도함수를 먼저 구할 거예요 와이프라임을 구하면 1 - x분의 1이죠 자 그럼 도함수의 부호를 확인하기 위해서 저는요 그래프를 그릴 거예요 자 그릴 건데 어떻게 그려요 자 얘는 바로 y는 -x이라는 그래프를 y 축으로 1만큼 평행 이동시킨 그래프에서 y축으로 1만큼 평행 이동시킨 그래프입니다 그래서 그래프를 이렇게 점근선을 그어 놓고 이렇게 그어주면 되겠네요 왜냐하면x값이 0보다 크고 1보다 작은데서 지금 도함수가 0보다 작지만 우리가 감소하는 구간을 찾을 때는 0보다 크고 1보다 작거나 같다라고 할 수 있는 거예요 이거에서 감소라고 해줘야 됩니다 왜냐 우리가 지금요 점을 도함수가 0인 지점인데 도함수가 0인 지점인데 우리가 요그래프를 그럼 간단하게 그리면 감소하다가 기울기가 0이 됐다가 증가하는 그래프가 되겠죠 그러면 요 점까지요 점까지 구간을 잡아도요 점까지 구간을 잡아도 우리가 함수가 항상 감소하고 있는 거예요 여기서 여기까지 잡아도 감소하고 있고 그래서 도함수가 0이 되는 지점은 우리가 항상 따로 좀 고려를 해줘야 됩니다 여기 같은 경우에는 우리가 0보다 크고 1보다 작거나 같다 해서 감소한다라고 해줄 수 있는 거죠 자 1보다 크고 쭉 가면 x가 1보다 크기만 하면우리가 F 프라임 x는 항상 양수죠 그 말은 fx가 증가한다는 얘기고 그 말은 우리가 어떻게 표현할 수 있는 거예요 요거는 1보다 크거나 같은 범위에서 증가한다 마찬가지로 x는 1을 포함해도 우리가 증가하는 거를 확인을 할 수가 있습니다 여기서부터 구간을 잡아도 여기서부터 구간을 이렇게 잡아도 함수가 증가하겠죠

자 넘어가겠습니다 이번엔 함수의 극대화 극소인데요 자 함수 fx에서 x는 a를 포함하는 어떤 열린 구간 자이 열린 구간은 우리가 임의로 잡는 겁니다 꼭 길이가 뭐 얼마나 돼야 되고 구간에 뭐 3부터 5까지 무조건 가야 되고 이런 건 없어요 우리가 잡고 싶은 대로 열린 구간을 잡아주면 되고요 그 구간에 속하는 모든 x에 대해서 구간을 잡았는데 그 구간 내에 있는 모든 x에 대해서 FX 값이 fa보다 항상작거나 같아요 즉 구간 내에선 FA 값이 가장 큰 겁니다 얘가 가장 큰 거예요 구간 내에서 그러면 우리는 x는 a에서 극대라고 하고요 fa를 극대값이라고 하죠 수학 2에서도 똑같이 했던 내용입니다 자 극소는요 fx가 fa보다 모두 크거나 같은 거고 fa가 그러면 그 구간 내에서 가장 작은 값이에요 구간 내에서 가장 작은 값 그러면 x는 a에서 극소라고 하고 fa를 우리가 극도값이라고 합니다 자 극대값과 극소값을 합해서 우리가 극값이라고 하죠 두 개를 합쳐서 극값이라고 하고요 자 미분 가능한 함수가 함수 fx가 x는 a에서 극값을 가지면 f'a가 0입니다 자 극값을 갖는다는 말은 극값을 갖는다는 말은 우리가 뭐 극대거나 극소거나라는 건데 그때든 극소든 우리가 어떤 성질이 있어요 극대 1라면 어떻게 해야 돼요함수가 증가하다가 감소해야 우리가 이런 어떤 구간에서 가장 큰 값이 나오죠 자 극도는 뭐예요 감소하다가 증가해야 감소하다가 증가해야 그 구간에서 가장 작은 값이 나옵니다 그러면 우리가 이렇게 됐을 때 지금 증가하는 구간은 F 프라임 x가 양수고 감소하는 구간은이 지점에서 보여야겠어요 바로 0이어야겠죠 그래서 f'a가 0이어야 되는 겁니다 자 극소인 경우도 마찬가지로요 우리가 증가하는 구간에서 F 프라임 x가 음수고 감소하는 구간에서 f'x가 양수니까 우리가요 지점에서는요 지점에서는 f프라임 x가 0이어야 된다 즉 f'a가 0이어야 된다라고 하는 겁니다

자 그러면 요걸 하나 볼게요 F 프라임 a가 0이면그 값일까요 자 우리가 수2에서 배운 4차 함수 그래프를 하나 그려 볼게요 자 이런 그래프가 있다고 합시다 요 점에서 5점에서 접선 기울기가 0이에요 여기에서 접선 기울기가 0입니다 자 그런데 극값 같나요 안 같죠 그래서 도함수가 0이 된다고 항상 그 값을 갖는 건 아닙니다 우리가 요것도 신경 써서 한번 봤으면 좋겠습니다 자 넘어갈게요 자 도함수를 이용한 극대화 극소의 판정인데 미분 가능한 함수 fx에 대해서 F 프라임 a가 0이고요 x는 a의 좌우에서 f'x의 부호가 양수에서 음수로 바뀌면 양수에서 음수로 바뀌면 fx는 x는 a에서 극대이고 극대값 fa를 갖는다라고 써 있어요 자 F 프라이맥스의 부가 양수에서 음수로 바뀐다고 했는데 요게 f' 부호가 양수면 접선 기울기가 양수고요함수가 증가하는 거죠 함수가 증가하는 겁니다 그러다가 f'x가 음수면 이렇게 감소하겠죠 그러면서 지금이 a라는 위치에서 a라는 위치에서 이렇게 접선 기울기가 0이면 우리가이 점을 뭐라고 불러요 극대인 점이다 극대다라고 하죠 그래서 그 값을 x는 a를 넣었을 때 나오는이 FA 값을 뭐라고 불러요 극대값이다라고 합니다 극대값 자 극소도 우리가 비슷하죠 우리가 F 프라임 x의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 fx는 x는 a에서 급속이고요 극소값의 플레이를 갖습니다 자 if 프라임 x가 음수면요 함수가 감소하고요 접선 기울기가 음수입니다 접선 기울기가 음수고 이렇게 감소하다가 어떤 a라는 점에서 만약에 f'm a가 0이에요 그러면 접선 기울기가 0이죠 만약에 그랬다가 오른쪽에서 f'4가 양수로 바뀌었어요음수에서 양수로 바뀌었어요 그러면 함수가 다시 올라가겠죠 감소했었는데 이제 올라가는 겁니다 그러면이 접선 기울기가 0 되는 요지점이 뭐라고요 바로 극소라고요 극소 그러면 x는 a를 f에다 넣었을 때 나오는 FA 값이 뭐예요 극대값이죠 극댓값 자 우리가 요것도 수2에서 다 했던 내용입니다 자 그래서 우리가 미분 가능한 함수 fx가 극값을 갖는 x의 값은요 일단 도함수가 0이 돼야 돼요 도함수가 0인 애들이 있는데 그중에서 또 뭐하러 한번 찾아야 돼요 도함수의 부호가 바뀐 걸 찾아야 됩니다 도함수가 부호가 바뀌면서 도함수가 0이 되는 그 x는 a라는 지점에서 극대 또는 극소인 거니까 우리가 요것만으로는 그때 극소를 찾을 수 없어요 이거면서 우리가 부호가 바뀌어야 극값인 겁니다 부호가 바뀌어야 함 이렇게 적어 놓을게요 바뀌어야 함

자 여기까지 됐죠 자 넘어가겠습니다 자 이번엔 y=x²의 2의 x 제곱에 극대값과 극소값을 도함수를 이용해서 구하라고 했는데 자 한번 미분해 볼게요 Y 프라임은 자 X7 미분하면 ex고요 2x 그대로 냅두고 x 되고 ex죠 그러면 2의 x제곱으로 묶었을 때 2x + X 제곱이에요 자 제가 x² + 2x라는 그래프만 이렇게 그리면 이렇게 생겼습니다 -2하고 0에서 0이 되는 요런 2차 함수죠 자 그런데 오른쪽에 있는 2의 x 제곱이라는 그래프를 그리면 그래프가 이렇게 생겼어요 우리가 2x² 그래프는 항상 양수라는 걸 알 수 있죠 그러면 얘가 0이 될 수 있나요 얘가 0이 될 수 없습니다 그래서이 y 프라임 도함수가 0이 되는 x값은얘가 0이 되는 지점에서만 생겨요 즉 x는 -2하고 0에서만 우리가 극값이 생기고요 지금 부호가 플러스 마이너스 플러스에요 그런데이 x 제곱이 어차피 +니까 2x + x 제곱의 부호랑 y 프라임의 부호도 똑같은 겁니다 그래서 x는 -2에서 지금 엘프 프라임 x가 양수에서 음수로 바뀌었죠 양수에서 음수로 바뀌었어요 그러면 그때의 극소에요 극대적 그러면 극대값 f-1을 계산을 해주면 4 곱하기 2n - 2제곱이고요 얘가 뭐라고요 극대값이라고요 자 x는 0에서는 f'x의 부호가 마찬가지로 변했는데 이번에는 음수에서 양수로 바뀌었어요 음수에서 양수로 바뀌었습니다그러면 얘는 극대의 극소에요 극소적 x는 0에서 극소입니다 그러면 f0의 값을 구해주면 0인데이 값이 뭐예요 극솟값이죠 우리가 이렇게 극대값 급소값을 찾을 수가 있습니다 자 이게 더 함수를 이용한 극대화 극소의 판정인데요 우리가 극대극소를 판정하는 방법으로 자 x는 a에서 만약에 극대래요 그러면 우리가 지금까지 배웠던 방법은 일단은 f프라임 a가 0이고 이거면서 F 프라임 x의 부호가 양수에서 음수로 바뀌면 우리는 x는 a에서 극대다라고 했었어요

자 그런데 우리는 이거를 이기도함수이 F 더블 프라임 a의 부호를 가지고 얘가 음수냐 양수를 가지고 극대극소를 판별하는 방법을 배워보도록 할 거예요 자 우리가 만약에F 더블 프라임 x가 음수예요 그러면 얘를 가지고 우리는 F 프라임 x가 뭐 하다는 것을 알 수 있어요 F 더블 프라임 x가 음수면 F 프라임 x는 감소하는 겁니다 우리가 F 더블 프라임 x는 F 프라임 x의 도함수죠 보함수가 음수니까 f'm x가 감소하다는 걸 알려주는 거예요 자 그런데 이렇게 봅시다 그러면 FW primay가 음수고 f'가 0이라고 해볼게요 자 그러면 F 프라임 a가 0이면요 이렇게 축이 있고요 x는 a라는 위치가 여기라고 할 때 자 함수 그래프가 어떻게 생겼는지 모르겠는데 F 프라임 x의 그래프를 그리면 지금 AF 더블 프라임 a가 음수니까 여기서 지금 증가하고 있는 거예요 감소하고 있는 거예요 감소하고 있는 거죠그러면 부호가 어떻게 바뀐 거예요 양수에서 음수로 바뀐 겁니다 그러면 F 프라임 x의 부호가 양수에서 음수로 바뀌었으니까 우리는 뭐라고 표현할 수 있는 거예요 x는 a에서 극대값을 갖는다 극대다 이렇게 표현을 할 수 있는 겁니다 자 그래서 우리가 지금까지는 f프라임 a가 0이고 F 프라임 x가 양수에서 음수로 바뀔 때 극대에다가 극대라고만 극대라고만 배웠는데 우리가 오늘은 이렇게도 확인을 할 수 있는 방법을 배울 겁니다

자 두 번째 방법은 뭐예요 0이고 F 더블 프라임 a가 음수다 그러면 뭐라고요 이거이면 x는 a에서 극대다라고 배운 거예요 자 반대로 F 프라임 a가 0이고 fway가양수에요 그러면 FW primay가 양수면 F 프라임 a는 증가한다는 얘기고요 증가하는데 F 프라임 a가 0이니까 어떻게 생겼어요 x는 a라는 위치에서 그래프가 이렇게 올라가는 겁니다 양수에서 음수로 따라서 우리는 뭐를 할 수 있어요 x는 a에서 극소다라고 할 수 있는 겁니다 자 여기까지 됐나요 그러면 우리가요 내용을 활용해서 우리는이 3차 함수의 극대 극소값을 이기도를 함수를 이용해서 구해 보도록 할게요 자 y는 x^3 - 3x 9x + 1인데 자 일단 y 프라임을 구합니다 3x 되고 -6x - 9고요 자 얘가 0 되는 x값을 찾아볼게요 x²-2x - 3이고 인수분해하면 x-3에 x + 1이니까요거를 fx라고 하면 제가 요걸 fx라고 할게요 F 프라이맥스가 0이 되는 x값들은 3하고 -1입니다 그러면 지금 3하고 마이너스 1에서 극단지 극소인지 아직 몰라요 모르는데 그거를 어떻게 확인을 하자고요 이게 더 함수를 구하는 겁니다 자 y 더블 프라임은 6x-6이고요 자 이거를 제가 F 더블 프라임 x라고 쓸게요 자 그러면 x는 3을 집어넣으면요 F 더블 프라임 3은 18 - 6이니까 12죠 양수네요 그럼 뭐예요 바로 극소입니다 극소 자 F 더블 프라임 마이너스 1은요 우리가 -6 -6이란 마이너스 12예요 음수네요 그러면 극대적 따라서 f3 값은 집어넣어서 계산을 해주면 27 - 27- 27 + 1이어서 -26인데 얘는 바로 극소값이고요 f에다가 -1을 집어넣은 -1 - 3 + 9 + 1의 값을 계산을 해주면 6인데 얘는 극대값인 겁니다 우리가 이렇게 2개도 함수를 이용해서 이게 더 함수를 이용해서 부호를 계산해서 극대인지 극손질을 파악을 할 수가 있는 거예요

자 오늘 배울 내용은 여기까지입니다 우리가 오늘 또 강의가 또 길었는데 우리가 그래도 앞에 배운 내용은 수학도에서 했던 내용이니까 많이 어렵지는 않았을 거예요 그래도 복습은 꼭 꼼꼼하게 하시고 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다.

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