[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 곡선의 오목과 볼록

수학대왕 [음악] 자 오늘 학습할 내용은 곡선의 오복과 볼록입니다 우리가 곡선의 오목과 볼록이 뭔지 한번 먼저 보도록 할게요 자 어떤 구간에서 곡선 와인은 fx의 위에 있는 이미의 서로 다른 도전 pq에 대하여 자 두 점 pq 사이에 있는 BQ 사이에 있는 곡선의 부분이 즉 B2 사이에 있는이 부분을 말하는 겁니다요 부분을 말하는 건데이 부분이 bq보다 전분 pq보다 항상 아래쪽에 있으면 자 이렇게 비추 아래쪽에 있죠 그래프가 자 이런 경우에는 우리가 아래로 볼록하다라고 표현을 합니다 아래로 볼록하다 자 실제로 우리가 아래로 볼록하게 생겼죠 자 그리고 아래로 블록이라고 표현할 수도 있고 위로 오목하다라고도 표현을 할 수가 있습니다 자 이와반대로 자 BQ 사이에 있는 곡선의 부분이이 부분을 말하는 건데이 부분이 선분 pq보다 전분 pq보다 항상 위쪽에 있으면 제가 이렇게 위쪽에 있죠 이렇게 위쪽에 있으면 우리는 위로 볼록하다라고 표현을 할 수가 있습니다 위로 볼록하다 자 마찬가지로 위로 볼록뿐만 아니라 아래로 오목하다라고도 표현을 할 수가 있어요 자 우리가 여기서 하나 특징을 알아야 되는데 지금이 아래로 볼록한 경우에요 요점에서 접선의 기울기를 이렇게 그릴 수 있어요 자 그랬다가 기울기가 지금 점점 어떻게 되고 있어요 점점 작아져서 0이 되죠 그랬다가 다시 점점 양수가 돼서 커집니다 즉 음수에서 0이 됐다 양수로 가게 되는데 계속 기울기가 어떻게 되고 있어요 기울기가 점점 커지고 있습니다 즉기울기가 증가하고 있는 거예요 자 위로 볼록하면요 위로 볼록하면 접선 기울기가 어떻게 되고 있어요 점점 작아지면서 기울기가 감소하고 있습니다 기울기 감소 우리가 이렇게 기울기가 증가하고 감소하는 특징도 확인을 할 수가 있어요 자 넘어가서 볼게요 이번에 곡선의 오목과 볼록의 판정인데요 자이기도 함수를 갖는 fx가 이게 더 함수를 갖는 fx가 어떤 구간에서 자 애플 더블 프라임 x가 0보다 크대요 자 엘프 더블 프라이맥스가 0보다 크면 어떻게 되냐 지금이 구간에서 아래로 볼록하다라고 하고 있어요 자 아래로 볼록하다 그랬는데 이게 왜 그런지 한번 볼게요 자 엘프 더블 프라임 x가 0보다 큰데요 이때 애프터블 프라임엑스라는 거는 우리가 F 프라이맥스를 미분한 거죠 즉F 프라임 x의 도함수입니다 그런데 그 도함수가 지금 0보다 큰 거예요 자 도함수가 0보다 크면 우리는 F 프라이맥스가 뭐 하다는 걸 알 수 있어요 요게 증가하고 있다는 걸 알 수 있어요 즉 F 프라임 x가 의미하는 접선 기울기가 fx의 접선 기울기가 증가하고 있는 겁니다 그러면 우리가 이거는 앞에서 뭐라 그랬어요 아래로 볼록하다 아래로 볼록하다라 그랬습니다 자 이와 반대로요 우리 F 더블 프라임 x가 F 더블 프라이맥스가 0보다 작으면 우리는 f'x의 도함수가 F 프라임 x의 도함수가 0보다 작으니까 F 프라이맥스가 감소하고 있는 거고요 자 F 프라임 x는 접선 기울기니까접종 기울기가 감소하고 있는 건 뭐예요 접선 기울기가 감소하는 건 위로 볼록한 겁니다 그래서 우리가 이렇게 이게 더 함수의 부호를 가지고 F 더블 프라이맥스의 부호를 가지고 우리가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지를 판단을 할 수가 있는 거예요 자 넘어가서 볼게요 자 국선 y는 xex곱의 오복과 볼록을 조사하라고 했는데요 자 우리가 오목 블록을 조사하기 위해서는 뭐를 따져 줘야 된다고요 y 더블 프라임의 부호를 따져 줘야 된다고요 도를 따서 줘야 되는데 자 그러면 미분을 해보겠습니다 와이프라임은 우리 고베 미분을 활용해서 1 곱하기 2x² + x2의 x고요 우리가 x+1의 2의 x²으로 계산이 됩니다 자 한번 더 미분합시다 y 더블 프라임은 x+1을 미분하면1이구요 뒤에 있는 ex제곱 플러스 x + 그대로 쓰고 2x² 미분한 ex제곱 자 그러면 2의 x 제곱으로 묶으면 x+2의 2x²이죠 자 그러면 우리가 이거의 부호를 지금 따져 줘야 되는데 2의 x 제곱이라는 애는 항상 양수죠 얘는 항상 양수입니다 그래서 우리는 얘만 부호를 따서 주면 되는 거예요 X + 2만 자 이거의 부호를 따지기 위해서 우리가 x는 -2에서 0 되는 걸 알 수 있죠 그래서 -2를 기준으로 x가 -2보다 작을 때 x가 -2보다 클 때로 나눕니다 자 그러면 x가 -2보다 작을 때는요 지금 y 더블 프라임이 양수에요 음수예요 음수죠 그러면 y 더블 프라임이 음수면 위로 볼록해요 아래로 볼록해요 y 더블 프라임이 음수면 우리는 위로볼록한 걸 알 수가 있습니다 자 x가 -2보다 크면요 y 더블 프라임이 양수고요 자 y 더블 프라임이 양수면 아래로 볼록하죠 아래로 볼록합니다 자 그러면 우리가 이제 답을 쓸 건데 자 x가 -2보다 작을 때 위로 볼록하다 그리고 x가 -2보다 클 때 아래로 볼록하다고 쓰는 것보다는 우리가 어떤 표현이 더 맞냐면 자 위로 볼록 하니까 그래프가 이렇게 생겼을 거고요 아래로 볼록하니까 이렇게 생겼을 겁니다이 마이너스 2라는 점을 우리가 포함을 시켜도 우리가 위로 볼록하고 아래로 볼록할 수 있는 거예요 요점부터 요동까지 이렇게 잡아도 그래프가 항상 위에 있죠 이렇게 위로 볼록합니다 자 마찬가지로 이전부터요 점까지 이렇게 잡아도 그래프가 아래로 볼록해요 그래서 답을쓸 때는 x가 -2보다 작거나 같은 범위에서 요거에서 위로 볼록하다라고 쓰고요 x가 -2보다 크거나 같은 범위에서 아래로 볼록하다라고 쓰는게 정답입니다 자 여기까지 되셨나요 넘어가 보도록 할게요 자 변곡점인데요 우리가 곡선 y는 FX 위에 점 어떤 x는 a라는 점이니까 a fa가 되겠네요 이거에 대하여 x는 a의 좌우에서 곡선의 모양이 아래로 볼록해서 위로 볼록으로 변하거나 위로 블록에서 아래로 블록으로 변할 때 우리는 그거를 변곡점이라고 합니다 자 블록이 변하는 거예요 위로 볼록해서 아래로 볼록으로 변하거나 아래로 블록에서 위로 블록으로 변하거나 이렇게 블록이 변하는 건데 그 점을 우리가 변곡점이다라고 하는 거예요 자 여기서 지금 이렇게 위로 볼록했어요 여기는지금 아래로 불러 가죠 자 위로 불러가면 뭐예요 F 더블 프라이맥스가 0보다 작다 아래로 보려고 하면 애프터블 프라이맥스가 0보다 크다 근데 그 사이에 있는 점에서이 위로 볼록해서 아래로 볼록으로 바뀌는 거고요이 지점을 뭐라고 한다고요 변곡점입니다라고 하는 겁니다 자 얘도 마찬가지예요 아래로 블록에서 위로 블록으로 바뀐 거고요 아래로 볼록한 건 F 더블 프라이맥스가 양수일 때고 더블 프라이맥스가 음수일 때는 이렇게 위로 볼록합니다 그때 이렇게 바뀌는이 지점을 뭐라고 한다고요 변곡점이다라고 하는 겁니다 변곡점 자 넘어갈게요 그래서이 변곡점을 어떻게 찾느냐 자 변곡점이라는 점은 이렇게 위로 볼록해서 아래로 볼록으로 바뀌는 지점이나 아래로 블록에서 위로 볼록으로 바뀌는 지점인데 자요 점을 기준으로요 여기서는 F 더블 프라이맥스가 어떻게 돼요양수에요 음수예요 음수죠 자 여기는 F 더블 프라임 x가 양수입니다 자 그러면요 지점에서 어떻게 해야 될까요 지점에선 바로 F 더블 프라이맥스가 0이 돼야 되는 겁니다 자 여기도 마찬가지로요 애플 더블 프라이맥스가 왼쪽에서는 양수고 F 더블 프라임 x가 여기서는 음수예요 자 그랬을 때요 점은 뭐가 되겠어요 그러면 양수에서 음수로 바뀌었으니까 F 더블 프라이맥스가 0이 되는 지점인 겁니다 그래서 우리가 변곡점을 따져 줄 때는요 두 개를 따져 주는 겁니다 일단은 F 더블 프라임 a가 0이어야 돼요 자 이렇게 이게 더 함수가 0이 돼야 되고 그리고 x는 a의 좌우에서 f 더블 프라이맥스의 부호가 바뀌어야 됩니다 이렇게 두 개를 따져서 우리가 변곡점인지 아닌지를 나도 줘야 되는 거예요 자F 더블 프라임 a가 fway가 0이라 그래서 항상 변곡점인 건 아닙니다 왜요 부호가 안 바뀔 수도 있으니까 보호가 안 바뀔 수도 있어서 항상 변곡점인 것은 아닙니다 자 넘어갈게요 이번에 개념이 이제 볼 건데 변곡점을 구하라 그랬어요 그러면 우리가 변곡점을 구하기 위해서는 y 더블 프라임이 필요한 겁니다 자 그래서 y 프라임 먼저 계산을 해 줄 거고요 x 제곱 플러스 1의 제곱 분의 자 요거 몫의 미분법이니까 1 곱하기 x² + 1 - x 곱하기 x² + 1 미분하면 2x입니다 자 분자를 정리해주면 우리가 x 제곱 플러스 1 - 2x제곱이니까 요거를 계산해 주면 뭐만 남아요 1 - x제곱만 남습니다 자 한번 더 미분해야죠y 더블 프라임은 분모를 먼저 제곱을 하고요 x² + 1에 4제곱 분의 자 분자 미분한 -2x 분모에 있던 거 그대로 써 주고요 - 자 분자 있던 거 그대로 써주고 분모를 미분할 건데 자 x² + 1의 제곱을 미분하는 거예요 그러면 합성함수의 미분을 활용해서 2의 x 제곱 플러스 1의 1제곱 곱하기 안에 있는 x² + 1을 미분해서 2x를 곱해주면 되겠죠 자 그러면 우리가 분자를 분자를 x 제곱 플러스 1로 묶어 줄 거예요 x² + 1로 묶어주면 자 남은 애들은 -2x에 x² + 1 - 1 - x 제곱 곱하기 4x입니다 자요 부분만 좀 계산을 해 볼게요이 부분만 계산을 할 건데 마이너스2x^3 - 2x - 4x + 4x^3이고요 우리가 2x^3 - 6x니까 2x에 x 제곱 마이너스 3이라고 계산을 할 수가 있습니다 자 이때요 우리가 좀 볼게 있는데요 부분이요 우리가 지금 y 더블 프라임의 부호를 판단해야 되는데 x 제곱 플러스 1의 네제곱이라는 거는 우리가 짝수 제곱이기 때문에 항상 양수입니다 자 x² + 1도요 제곱에다가 1을 더해서 마찬가지로 항상 양수입니다 그러면 우리가 부호를 따질 때는 이 부분은 항상 양수기 때문에 신경을 쓸 필요가 없는 거예요 그러면 우리는 여기 오른쪽에 있는요 부분에 부호만 따져주면 되는 겁니다 자 일단요 변곡점이 되기 위해서는 얘가 0이 되는 x 값들에서 우리가변곡점을 찾아주는 거예요 자 ex의 x 제곱 마이너스 3이 0 되는 x값들은 0하고 플러스 마이너스 루트 3이죠 그래서 - 루트 3하고 0하고 루트 3에서 얘네들의 부호가 바뀌는지 확인을 할 건데 자요 부분에 그래프를 좀 그려주면요 이렇게 그릴 수 있어요 이렇게 여기는 - 루트 3 여기는 0 여기는 루트 3이죠 자 근데 아까 말했듯이 여기는 어차피 항상 양수니까 우리는요 그래프의 부호를 그대로 따르는 겁니다 y 더블 프라임이요 예보랑 얘보랑 얘부랑 완전히 똑같습니다 그래서 우리가 마이너스 루트 3 기준으로 -에서음 양수로 바뀌었네요 -에서 플러스로 바뀌었으니까 x는 - 루트 3에서 변곡점이라고 할 수 있고요 그때 y 값을 계산을 해주면 4 + 1- 루트 3이어서 - 4분의 루트 3 즉 - 루트 3 - 4분의 루트 3에서 일단 변곡점을 하나 갖고요 자 이번엔 x는 0에서 자 F 더블 프라임의 부호가 바뀌었나요 양수에서 음수로 바뀌었죠 그러면 편곡점이네요 그때 y 값을 계산해주면 0입니다 따라서 0 콤마 0에서도 변곡점이고요 마지막으로 엑스렐루트 3에서 음수에서 양수로 바뀌었기 때문에 x는 루트 3에서 y 값을 계산해주면 4 + 1 루트 3 즉 4분의 루트 3이고요 점 루트 3 콤마 4분의 루트 3에서도 전 국점입니다 자 따라서 변곡점은 이렇게 3개 이렇게 3개가 변곡점이에요 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 변곡점에 관한 내용까지 학습을 모두 마쳤습니다 자 오늘 배운 내용은 처음 배운 내용이니까 꼭 복습 꼼꼼하게하시기 바라겠고요 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]