[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 함수의 그래프와 최대·최소

수학대왕 [음악] 자 오늘 학습할 내용은 함수의 그래프와 최대 최소입니다 자 일단은 우리가 가장 먼저 함수 그래프 그리는 방법을 좀 연습을 할 거예요 그런데 우리가 수학 2에서 다항 함수 그래프 그리는 방법을 배웠어요 그런데 우리가 오늘 그 다양한 소품만 아니라 삼각함수 지수함수 로그 함수 유리함수 무리함수까지 그래프 그리는 거를 연습을 할 겁니다 자 그러면 우리가 일어남수들의 그래프를 그리기 위해서는 따져 줘야 될 것들이 좀 많아요 신경 써야 될 것들이 좀 많은데 자 어떤 것들이 있냐면 우리가 정의역과 치욕도 따져 줘야 되고요 좌표축과의 교점 대칭성과 주기 그리고 함수의 증가 감소 극대극소 오목과 불로 변곡점 그리고 x가 무한대로 갈 때 극한값- 무한대로 갈 때 극한값 점근선까지 이렇게 따져야 우리가 그래프를 그릴 수가 있습니다 그런데요 우리가 항상 1번부터 6번까지 있는 내용들을 모두 따져 주는 건 아니에요 모두 따져 주는 건 아니고 우리가 그래프를 그리기 위해 어떤 과정을 밟을 거냐 자 4번과 5번을 무조건 일단은 구해요 우리가 증가 감소를 따질 거고요 그 증가 감소를 가지고 극대극수도 찾습니다 자 오목 블록을 알기 위해서 우리가 변곡 정도 따져 줘야 되고요 이렇게 4번 5번을 기본으로 우리가 그래프를 그려 나갈 건데 그래프를 그려 나가다가 필요하다면 어떤 추가적인 정보가 필요하다면 그때 1번 2번 3번 6번에 있는 거를 추가로 찾아주는 거예요 우리가 1 2 3 6번은 항상 찾는게 아닙니다 자 그래서 우리가 어떤 와 있는 fx가 주어져 있을 때 그래프를 그리기 위해서 한번 미분해서 f'x를 구하고요 한번 더 미분해서F 더블 프라이맥스의 합니다 자 얘네들의 부호를 따져서요 f프라임 맥스와 F 더블 프라임 x의 부호를 따져서 우리는 fx의 그래프 그리는 연습을 한번 해보도록 할게요 자 가장 먼저 우리가 개념미즈 첫 번째 문제 볼 건데요 y는 x의 - x 제곱에 그래프의 개형을 그리라고 했어요 자 그러면 가장 먼저 y 프라임을 구해주면요 우리 고베 미분을 활용해서 1 곱하기 2n -x + x 곱하기 자 en-x² 미분하면 뭐 나와요 -2m-x² 나오죠 자 따라서 2의 마이너스 x제곱으로 묶어주면 1-x의 -x²입니다 자 일단은 우리가이 와이프라임이 0이 되는 x값을 찾아주면 1에서 0이네요 자 이번엔 y 더블 프라임을 구할 건데요 y 더블 프라임을요거를 미분하는 거죠 요거를 미분하는 겁니다 자 저거를 미분을 해주면 우리가 곱의 미분을 활용해서 1-x를 미분한 -1 곱하기 2n - x + 1 - X 그대로 써주고 2n-x² 미분하면 -2에 -x²이죠 자 이거를 2의 마이너스 x 제곱으로 묶어두면 뭐가 남아요 x-2가 묶입니다 자 따라서 요것도 마찬가지로 0이 되는 x값을 찾아주면 x는 2 하나밖에 없네요 자 그런데 우리가 일단 증가 감소를 따지기 위해서는요이 와이프라임의 부호가 궁금합니다 와이프라임에 부호가 궁금한데 자이 마이너스 x 제곱이라는 애는요 항상 양수죠 항상 양수기 때문에이 y 프라임의 부호는 결국 1-x의 부와 완전히 똑같은 거예요 얘가 어차피 양수기 때문에 이거의부와 이거의 부호가 일치하는 겁니다 자 그래서 1-x 그래프만 그려주면 우리가 이렇게 직선의 방정식으로 생겼어요 이렇게 생겼죠 즉 x는 1을 기준으로 x가 1보다 작을 때는 양수고 x가 1보다 클 때는 음수죠 근데이 부호랑 뭐랑 완전히 똑같다고요이 부호랑이 와이프라임의 부호랑 똑같다고요 자 그러면 이번엔 y 더블 프라임의 부호를 따져 줄 건데 자 얘도 마찬가지로 em-x제곱은 항상 양수기 때문에 우리는 x-2의 부호만 따져주면 돼요 왜죠 이거의 부호는 y 더블 프라임의 부와 완전히 일치하기 때문에 자 x-2의 그래프를 간단하게 그려주면 이렇게 그릴 수가 있습니다 x가 2보다 작을 때는 음수고 x가 2보다 클 때는 양수고 자 그래서 우리가 증감표를작성을 해 줄 건데 자 y 프라임이 0이 되는 x는 1과 y 프라임 y 더블 프라임이 0이 되는 x는 2를 기준으로 우리가 증감표를 작성을 해 줄 거예요 이거를 기준으로 진단표를 작성을 한번 해 볼게요 우리가 이렇게 표를 쓸 때 1하고이 값만 있는게 아니라이 좌우에서 부호를 따져 주는 거기 때문에 그 사이사이에 빈칸을 만들어 줘야 되죠 자 그리고 y 프라임 y 더블 프라임의 부를 한번 조사를 해 볼게요 자 그러면 y 프라임은 지금 x는 1에서 0이 돼요 x는 1에서 0이 되는데 1보다 작을 때는 양수에요 음수예요 양수입니다 여기는 모두 음수죠 자 x는 2에서는 y 더블 프라임이 0이 되고요 나머지 여기서는 음수 여기서는 양수입니다 자 그러면 제가 요가 파고자 융합하고요 값을 한번 찾아볼게요 자 x에다가 1을 대입하면 x에다가 1을 대입하면 y 값은 1 곱하기 2n - 1 제곱이니까 2분의 1이죠 여기는 1/2이고요 x에다가 2를 대입하면 y는 2 곱하기 2n - 2제곱이니까 2의 제곱 분의 2죠 자 2의 제곱 분의 2입니다 자이 1/2이라는 값은요 무슨 값이에요 우리가 지금 와이프라임이 0이 되는 지점인데 양수에서 음수로 바뀌었습니다 그러면 극대값이죠 1/2이라는 것은 극대값입니다 자 2제곱 분의 2라는 값은요 지금 y 더블 프라임이 0이에요 그런데 부호가 음수에서 양수로 바뀌었네요 그럼 얘는 뭐예요 변곡점이죠 경복점입니다 자 그래프 개형을 좀 간단하게 그려줄 건데 자 우리가예전에는 우리 y 프라임의 부호만 보고 증가냐 감소냐를 따졌어요 그런데 우리가 이번에는이 y 더블 프라임의 부호까지 고려해서 y의 계형을 간단하게 표시를 해 줄 겁니다 자 y 프라임이 양수면요 증가해요 근데 증가가 이렇게 증가할 수도 있고요 이렇게 위로 볼록한 형태로 증가할 수도 있고 아래로 볼록한 형태로 증가할 수도 있는 겁니다 그런데 지금 y 더블 프라임의 부호가 음수니까 y 더블 프라임이 보어가 음수니까 이렇게 증가하겠네요 이렇게 증가합니다 자 여기서는 지금 감소인데요 감소인데 마찬가지로 y 더블 프라임이 음수라서 위로 볼록한 걸 유지하면서 감소하는 이런 그래프 개용이고요 자 여기서는 감소인데 이번에는 변곡점이 변곡점을 지나서 전국점을 지나서그래프가 이제 아래로 볼록해요 이렇게 그래프 개형이 생깁니다 자 이거 가지고 그래프를 좀 그려 줄 건데요 자 x축을 쭉 그리고 y축을 이렇게 그렸을 때 x는 1에서 극대값을 가지니까 그때의 함숫값 2분의 1이에요 이렇게요 점을 지납니다 그리고 x값이 2일 때 2제곱 분의 2고요 여기쯤 있다고 하겠습니다 이렇게 2제곱 분의 2 자 그러면 1하고 2 사이에서는 1하고이 사이에서는 그래프가 이렇게 생겼죠 이렇게 그려줍니다 자 그리고 2를 넘어가면 그래프가 이렇게 생겼어요 자 그런데 우리가 여기서 주의를 해야 될게 있습니다 그래프가 이렇게 될지 이렇게 될지 모르죠 자 그래서 요거를 계산해 보는 겁니다 x가 무한대로 갈 때 리미트x2의 마이너스 x를 계산해 보는 거예요 자 x가 무한대로 가면 어떻게 돼요 얘는 x가 무한대로 가는 리미트에서 2의 x² 분의 x니까 얘는 0이 됩니다 따라서 그래프가 어떻게 생겨요 0에 가까워지는 거죠 즉 x축이 점등선입니다 x축이 점근선이에요 자 이번엔 x가 - 무한대로 갈 건데요 자 x가 - 무한대로 가는 리미트에서 우리가 x2m-x 값을 xem-x 값을 계산을 해 줄 건데 얘는요 지금 요게 - 무한대죠 자 얘가 - 무한되면 -x 제곱은 + 무한대에요 그러면 2의 무한대 제곱이니까 결국에는 무한대네요 자 - 무한대와 무한대의 곱고리니까 결국 음의 무한대로 발산합니다 따라서 그래프가 자 이번에도 음의 무한대로 발산하는 건 알았는데이렇게 그려질지 이렇게 그려질지 모르죠 즉 y축과의 교점이 궁금한 겁니다 그러면 x에다가 0을 집어넣어서 y 값을 계산해주면 0이네요 그러면 그래프가 이렇게 생겼겠네요 이렇게 우리가 위로 볼록 해야 되니까 이렇게 그리도록 하겠습니다 이렇게 그려주면 되는 거예요 자 그러면 우리가 함수 그래프 개혁만 남겨주면 이렇게 생긴 그래프가 나오는 겁니다 조금 일치하지 않지만 제가 처음에 그렸던 거라 조금 빗나가 있지만 크게 중요하진 않아요 그래프 이렇게 그려주면 우리가 그래프를 모두 그린 겁니다 자 다음으로 넘어갈게요 자 이번엔 함수 y는 x² + 1분의 2x에 그래프의 계형을 그려 볼 건데요 자 마찬가지로 우리가 y 프라임을 먼저 구해 보도록 할게요 자 분모 x 제곱 플러스 1의 제곱 분의 자분자 미분한 2 곱하기 x² + 1 - 2x 곱하기 x² + 1 미분하면 2x죠 자 요거를 좀 정리를 해주면 x 제곱 플러스 1의 제곱 분의 분자는 2x 제곱 플러스 2 - 4x제곱이고요 이렇게 이렇게 하면 -2x제곱이네요 따라서 x 제곱 플러스 1의 제곱 분의 2 - 2x제곱입니다 그러면 2의 1 - X 제곱이죠 자 그러면 우리는 요거의 부호를 따서 줘야 되는데 지금 x² + 1의 제곱은요 항상 양수죠 항상 양수에요 그러면 우리가 부를 따질 때이 y 프라임의 부호는 결국 뭐랑 같은 거예요 1-x제곱의 부라고 완전히 똑같은 겁니다 그래서이 1-x²의 그래프만 그려주면 이렇게 생겼죠-1하고 1에서 0이 되고요 음수 양수 음수입니다 그럼이 부호랑 뭐랑 같다고요이 y 프라임이랑 같다고요 자 일단 이거는 여기까지 써 놓고 우리가 한 번 더 미분할게요 y 더블 프라임을 구해 줄 거고요 자 요거를 미분할 건데 자 x 제곱 플러스 1의 제곱을 한번 또 제곱하면 어떻게 돼요 x² + 1의 네제곱 분의 자 분자를 미분하면 2의 -2x죠 곱하기 x² + 1의 제곱을 일단 그대로 써줍니다 마이너스 자 분자 그대로 써주고요 그리고 분모를 미분한 2의 x 제곱 플러스 1 곱하기 2x까지 써 줘야 됩니다 자 그러면 x 제곱 플러스 1의 4제곱 분의 제가 머루 묶어 줄 거냐면 2랑x² + 1로 묶어 줄 거예요 2의 x 제곱 플러스 1로 묶어 줄 겁니다 요렇게 그러면 남은 애들을 쭉 써 줄 건데요 -2x에 x 제곱 플러스 1 자 2 하나 묶었고 얘도 묶었어요 그래서 마이너스 4x에 1 - X 제곱이죠 자 안에만 좀 전개를 해 볼게요 요거만 좀 계산을 해주면 -2x3 제곱 마이너스 2x - 4x + 4x 3제곱이고 자 얘는 2x의 3제곱 마이너스 6x죠 따라서 ex로 묶어내면 x 되고 -3입니다 그러면 우리가 이거를 최종적으로 x 제곱 플러스인의 네제곱 분의 우리 2를 요거랑 곱해서 4라고 쓸게요 4x² + 1의 x의 x제곱 마이너스 3입니다자 우리가 이번에도이 y 더블 프라임의 부호가 궁금해요 이거의 부호가 궁금한데 자 x² + 1을네 제곱 어차피 양수죠 x² + 1도 어차피 양수에요 4 곱한 것도 어차피 상관없으니까 얘는 항상 양수입니다 따라서 우리는이 y 더블 프라임의 부호를 x의 x 제곱 마이너스 3하고만 비교해서 부호를 찾아 줄 거예요 그래서요 그래프를 그려주면 자 이렇게 생긴 3차 함수죠 여기 교점의 x좌표들은 - 루트 3 0 루트 3입니다 음수 양수 음수 양수로 바뀌고요 자 그러면 우리가이 와이프라임과 y 더블 프라임을 가지고 증가표를 한번 나타내 봅시다 자 우리가 따져 줘야 될 x값들이 좀 많아요 우리가 마이너스 루트 3도 있고요 -1도 있고 0도 있고 1도 있고 로또 3도 있습니다 자이 값들을기준으로 우리가 뭐를 따져 준다고요 y 프라임과 y 더블 프라임에 부를 따져 준다고요 자 이렇게 칸을 나눠 주고요 카넬 나눠주고 우리가 한번 따져보도록 할게요 자 다져야 될게 너무 많네요 그래도 우리가 해야 됩니다 자 가장 먼저 y 프라임을 우리가 봤을 때 여기에 0이 되는 x값들은 어디랑 어디였어요 -2라고 1이었죠 자 -1보다 작을 때는 음수고요 마이너스를 넘어가면 양수가 됐다가 다시 음수가 됩니다 자 이번엔 y 더블 프라임의 부호를 보도록 할게요 자 y 더블 프라임의 부분은 음수였다가요 마이너스로트 3에서 0 되고 여기서 다시 양수 됐다가 0에서 0 되고 여기서 음수 됐다가 루트 3에서 0 됐다가 다시 양수가 됩니다 자 그럼이 값들을 가지고 우리가y를 그릴 건데 자 우리가 일단은 극대 극소 먼저 한번 따져 줄게요 여기가 극대 극소가 될 수 있는 지점인데 자 여기 함숫값 그럼 계산해주면 x가 -1일 때 y 값이니까 x가 -1을 넣어서 대입을 해주면 y는 2분의 -2라선 -1이라고 계산이 되네요 자 여기는 그러면은 지금 극대에요 극소에요 음수에서 양수로 바뀌었네요 음수에서 양수로 바뀌면 극소적 극소입니다 자 이번엔 자 여기 x는 1에서 극대 극소를 따져 줄 거고 x에다가 1을 대입하면 우리가 y 값을 뭐라고 계산할 수 있어요 2분의 2니까 1이라고 계산할 수 있죠 자 얘는 극대인가요 극도인가요 지금 y 프라임의 부호가 양수에서 음수로 바뀌었으니까 극대입니다 자 우리가 이렇게 찾을 수 있고요 지금 변곡점들이 될 수 있는요 마이너스루트 3일 때 x가 0일 때 x가 루트 3일 때 각각 y값을 계산을 해 줄게요 자 x에다가 0 넣으면요 x에다가 0 넣으면 y 값은 뭐예요 0이죠 자 x에다가 루트 3 넣으면 y 값은 뭐예요 자 4분의 2√3이니까 2분의 루트 3이고요 x에다가 - 루트 3을 집어넣으면 y는 -4분의 2√3이고 -2분의 루트 3이 나옵니다 따라서 여기는 지금 -2분의 루트 3 여기는 2분의 루트 3 여기는 0 자 얘네들 모두 변곡점이에요 음수에서 양수로 바뀌었고 양수에서 음수로 바뀌었고 음수에서 양수를 받겠죠 자 그러면 우리가 여기는 지금 감소인데 감소인데 y 더블 프라임이 음수예요 자 y 더블 프라임의 음수면 위로 볼록이에요 아래로 블록이에요 얘는 지금 위로 볼록이죠 위로 볼록위로 볼록하면서 감소해야 되니까 그래프를 이렇게 그려줘야 됩니다 이렇게 자 이번엔 감소하는데 지금 바뀌었죠 아래로 블록이에요 그래서 이렇게 자 여기는 지금 아직 아래로 볼록한데 y 프라임 양수로 바뀌었어요 그러면 증가하는데 아래로 불러 자 여기는 증가하는데 지금 변곡점을 지나서 이번엔 위로 볼록이죠 위로 볼록인데 증가해야 되니까 이렇게 자 여기 와이프라임 음수라 감소하고요 우리 지금 변곡점은 아직 지나지 않았습니다 이렇게 되고요 요번에 마지막으로 지금 와이프라임이 감소하는데 전국점을 지났으니까 이렇게 아래로 볼록하게 그래프를 그려주면 되겠네요 자 그러면 이제 그래프를 그려 줄 건데 어 이걸 한번 일단 따져 줄게요 x가 지금 무한대로 가는 리미트에서 FX 값을 계산하면 뭐예요 우리가 여기 지금 다항 함수인데분모의 차수가 더 높으니까 우리가 양의 무한대로 아 0에 가까워지는 것을 알 수가 있습니다 지금 분모 차수가 더 크기 때문에 0에 가까워지고요 우리가 x가 - 무한대로 갈 때도 마찬가지로 분모 차수가 더 커서 0에 가까워집니다 자 그래서이 내용을 가지고 우리가 지금 그래프를 그려 줄 건데요 자 그래프를 이렇게 여기다가 한번 그려 보도록 할게요 x가 0일 때는 여기를 지나요 0을 지나고 x가 1일 때는 1을 지납니다이를 지나요 이렇게 이쯤에다 그리겠습니다 자 그리고 x달 루트 3을 집어넣으면 2분의 루트 3을 지나죠 여기쯤에 점을 찍어 줄게요 그리고 x가 무한대로 가면 어떻게 된다고요 0에 가까워진다고요 자 그런데 0에 가까워지는데 우리가 신경 써야 될게 뭐냐면 얘가 이렇게 가까워지는게 아닙니다 이러면 여기 극대극소나 어떤 변곡점이 더 많이 생겨야 돼요 그래서 그렇게 생기는게 아니라그래프가 이렇게 쭉 내려오는 겁니다 그러면 우리가 구해놨던이 그래프 계형들도 똑같이 표시가 되어 있죠 자 이번엔 x가 0보다 작을 때 그려줄 건데 x에다가 -1을 넣으면 지금 -1이니까 이렇게 찍히고요 우리가 이렇게 됐다가 지금 x에다가 마이너스 루트 3을 집어넣으면 -2분의 루트 3이니까 여기입니다 이렇게 됐다가 쭉 되는 거예요 그래서 그래프를 이렇게 그려주면 우리가 올바르게 그려준 겁니다 자 우리가 하나 더 확인을 할 수 있는데 얘가 지금 무슨 대칭이에요 원점 대칭이죠 우리가 처음에 원점대칭인 거를 알고 들어갔으면 처음에 요구를 보고 원점대칭인 걸 찾아냈으면 우리가 조금 더 쉽게 그래프를 찾아낼 수도 있습니다요 그래프를 그려놓고 대칭을 시켜주면 되겠죠 하지만 어쨌든 우리가 와이프라임을 구해야 되고y 더블 프라임을 구해서 볼 따져 줘야 되는 건 똑같습니다 그래서 대칭성을 이용하면 조금 더 빨리 그릴 수도 있지만 대칭성이 눈에 항상 보이는 건 아니기 때문에 보이면 대칭성 활용해서 그려주면 되고요 안 보인다면 그냥 이렇게 평수처럼 계산해 주시면 됩니다 자 넘어갈게요 자 이번엔 함수의 최댓값과 최소값인데 우리가 최대 최초 정리를 숙소에서 배운 적이 있습니다 최대 최소 정리가 뭐예요 다친 구간에서 연속이면 최대 최소 정리에 의해서 크구간 내에서 반드시 최대값과 최소값을 갖는게 최대 최소의 정리입니다 자 그러면요 우리가 최대 최소 정리에 의해서 최댓값 최소값이 존재하는 건 알겠는데 어디서 존재하냐 이거예요 자 어디서 존재할 수 있어요 우리가 극대 극소 또는 어디서 존재할 수 있어요 양 끝 정제 값이라 그러죠 x는 a에서 또는 x는 b에서 우리가 요렇게극대 극소와 경제 값을 따져서 우리가 최대 최소값을 찾아낼 수 있습니다 자 밑에 있는 내용은 그 내용을 적어 놓은 거예요 그때 극소값 구하고 다친 구간 양끝에서의 함숫값 구하고 그 4개를 비교를 해서 그때 극소 fafb를 비교를 해서 가장 큰게 최대 가장 작은게 최소 이렇게 최대값 최소값 구해주면 됩니다 어렵지 않아요 자 그래서 우리가 그래프 계형을 좀 몇 개 예시를 적어 놓은 걸 한번 볼 수 있는데 그래프가 만약에 이렇게 생겼어요 그러면 어디서 최대해요 극대에서 최대고 극소에서 채소죠 자 그런데 만약에 경제 값이 이렇게 쭉 올라갔어요 그러면 어디서 최대해요 경계에서 최고 극소에서 최소공 자 얘는 어떻게 될까요 얘는 지금 여기서 최소공 여기서 최대고 자 만약에 이렇게 생기면요 우리가 꼭 극대극소가 아니라 최대 최소가경계에서 생길 수 있는 거를 확인할 수 있습니다 그래서 항상 그때 극소 그리고 양 끝 전개값까지 모두 따져서 최대값 최소값을 찾아 줘야 됩니다 자 넘어갈게요 우리가 이제 개념인지 볼 건데 다 친구가 0 이상 2파이 이하에서 fx는 코사인 x+x 사인 x의 최댓값과 최소값을 구하는 거예요 그러면 f'x를 먼저 일단 구해주면 - sinx + sinx + x 코사인 x고요 -sinx sinx 사라져서 남는 건 x 코사인 x 밖에 없습니다 그러면 극대의 극소가 되는 지점을 찾기 위해서 얘가 0이 되는 x값들을 찾아 줄 건데 자 요거가 0을 만족하는 x 값은 0 하나밖에 없죠 자 코사인 x가 0 되는 x 값은 구간 요기 안에서는 2분의 파이랑 2분의 3파입니다그러면 우리가 증감표를 한번 나타내 볼게요 우리가 x값이 지금 뭐를 기준으로 우리가 y 프라임의 보호를 조사할 거냐면 0과 2분의 파이와 2분의 3 파이를 기준으로 우리가 부를 조사할 겁니다 자 근데 우리가 0보다 작은 구간은 관심 없습니다 안 쓸 거예요 자 여기 0이고요 여기도 0이고 여기도 0입니다 자 코사인 x의 그래프를 그려주면 코사인 x 그래프가 이렇게 생겼죠 양수였다가 음수였다가 양수가 돼요 근데 우리가 지금 찾고 있는 0부터 2파이 0 이상 2파이 이하라는 구간에서는 자 x가 0일 때를 제외하고는 항상 양수죠 그래서 그냥 코사인 x의 부와 x 프라임 x의 부호가 일치하는 겁니다 따라서 양수 음수 양수입니다 그러면 이거를 가지고 우리가 y 값을계산을 해 볼 건데 자 x가 0 나면 우리가 f0은 뭐예요 1 + 0이니까 0이네요 아 1이네요 1이죠 1 + 0은 그래서 여기는 1이고요 이번에 2분의 파이를 집어넣으면 2분의 파이를 집어넣으면 0 + 2분의 파이네요 따라서 2분의 파이입니다 자 이번엔 f에다가 2분의 3 파이를 집어넣을 거고요 마찬가지로 코사인은 0이고 2분의 3파이에다가 사인 2분의 3파이는 -1이죠 따라서 -2가 나와요 자 우리이 파이 값도 한번 계산해 볼게요 2파이 값도 계산을 해주면 우리가 코사인 2파이는 1이고 0이니까 그냥 1 + 0이라 1이네요 따라서 이렇게 찾을 수가 있습니다 자이 중에 최댓값과 최소값을 찾아주면 되죠 가장 큰 건 뭐예요 2분의 파이죠 바이가 3.14 정도 되니까 2로 나누면1보다 커요 그래서 최댓값은 최대값은 1/2 최솟값은 뭐예요 최소값은 - 1/2 자 여기까지 해서요 우리가 풀어봤습니다 자 우리가 오늘 배운 내용 중 아무래도 그 그래프를 그리는 부분이 정말 어렵게 느껴지실 수 있어요 우리가 정말 많은 연습을 필요로 하고요 우리가 그렇다고 빼놓고 배울 수는 없는 내용이에요 어렵다고 해서 피하지 마시고 꼭 연습을 통해서 숙달 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]