[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 방정식과 부등식에의 활용

수학대왕 [음악] 자 오늘 학습할 단어는 방정식과 부등식의 활용입니다 우리가 수학 2에서도 똑같은 제목으로 배웠던 내용이에요 그래도 우리가 한번 보고 가도록 할게요 자 방정식 fx는 0의 실근은요 자 이거의 실근은 지금 뭐라고 써 있냐면 y는 fx와 x축의 교점의 x좌표다라고 적혀 있어요 자 fx는 0이라고 써 있는 걸 조금 다르게 볼 건데 좌변을 하나의 함수로 보고요 우변에 있는 영도 새로운 하나의 함수로 보는 겁니다 그러면 fx는 0이라는 건요 y = fx와 y는 0을 연립해서 얻어낸 시기에요 자 그러면 연립을 한다는 건 얘도 만족하고 얘도 만족하는 근을 찾는 건데 자 두 개를 동시에만족하는 것을 우리가 뭐라 그래요 교점이라고 할 수 있죠 그래서 우리는 fx는 0의 실근을 y = fx와 y는 0의 교점 좌표다 교점의 x좌표다라고 할 수 있는 겁니다 그래서 우리가 y는 0이란 걸 조금 쉽게 표현하면 x축이죠 그래서 fx는 0이다 요거의 실근을 찾으려 그러면 우리는 그래프로 나타냈을 때 와인 fx와 y는 0의 교점 좌표를 찾아라라는 말과 똑같은 말인 겁니다 자 여기 이런 말이 써 있어요 서로 다른 실근 개수는 우리가 그래프와 y = fx의 그래프와 x축의 교점 개수와 같다라고 적혀 있어요 자 우리가 서로 다른 실근의 개수입니다 서로 다른 실근의 개수는 교점 개수와 같다 방금까지 설명한 내용이죠 자 2번 보면요 이번에 fx는 gx의 실근이에요 자 우리가 같은 방법으로 조금 보면좌변도 하나의 함수로 보고 우변도 하나의 함수로 보면 y는 fx와 y는 gx를 연립해서 나온 시기구요 요거를 연립한다는 건 두 개를 동시에 만족하는 거니까 얘와 얘의 교점에 기사표다라고 할 수 있는 겁니다 그래서 FX 요게 3위가 타지는 실근 개수를 구하라 그랬어요 그러면 우리는 실근 개수를 교점 개수로 구할 거고요 좌변에 있는 2의 x²-x를 I 함수 fx라고 놓고 우변에 있는 3을 gx라는 함수로 놓겠습니다 그러면 F 프라임 x는얘 x 제곱 마이너스 1이죠 그러면 요게 0이 되는 x값을 찾아주면 x값은 뭐예요 x 값은 0이죠 자 그러면이 그래프를 간단하게 그려보면요 우리가이 x² 그래프를요 그래프를 y축으로 -1만큼 평행이동시킨 그래프예요 그리고 x는 0에서의 기숙과 만나니까 이렇게 생겼겠네요 자 여기서 음수 여기서 양수입니다 그러면 이제 FX 그래프를 그릴 건데 자 fx는 x는 0에서 x는 0에서 지금 음수에서 양수로 바뀌었어요 그때 극소 중에 뭘 가져요 극소를 갖습니다 극소값이 되는 거고요 x는 0에서 극소값을 가질까요 x는 0을 fx에다가 대입을 해주면 f0은 1이네요 따라서 1이라는 극소값을 가집니다 그리고 x가 1 0보다 작을 때는 0보다 작을 때는 그래프가 감소하고요0보다 클 때는 그래프가 증가하니까 이렇게 그려지겠네요 자 우리는 요게 지금 y=3이라는 gx는 3이라는 그래프와 만나는 교점 개수를 찾는 거고요 여기가 1이니까 3은 여기쯤 있어서 우리가 교점 개수를 몇 개라고 찾을 수 있어요 여기 하나 여기 하나 답은 몇 개예요 두 개입니다 여기까지 됐나요 자 2번 볼게요 자 이번엔 xlnx가 k와 만나는 실근 개수가 자 이거의 실근 개수가 한계래요 실근 한 개라 그러니까 우리는 요거를 함수로 보고요 얘를 fx라고 놓고 우리가 요거를 gx라고 놨을 때 우리가 서로 다른 서로 다른 교점 교점 개수가 한계가 되도록 하는 K 값의 범위를 한번 찾아보도록 하겠습니다 자 그러면 일단은 FX 그래프를 그릴 건데요 자 fx가 지금 xlnx입니다 미분을해주면 F 프라임 x는 1 곱하기 lnx + x 곱하기 x분의 1이니까 lnx + 1이라고 우리가 계산을 할 수가 있고요 자 lnx+1의 그래프를 그리기 위해서는요 일단은 우리가요 함수의 정의역이 x가 양수여야겠죠 그래서 양수 범위에서만 그래프를 그릴 건데 lnx의 그래프를 y축으로 1만큼 평행 이동시킨 겁니다 그러면 이렇게 되겠네요 자 여기는 뭘까요 여기는 우리가 lnx+1이 0이 되는 x값이니까 x 값을 찾아주면 2분의 1입니다 자 그러면 거기보다 작을 때는 음수 거기보다 그때는 양수죠 그러면 이거 가지고 우리가 FX 그래프를 그려 줄 건데요 자 일단은 x축 y축을 좀 그려 보겠습니다 x축하고 y축을 그리고 우리가 x는 1/2에서 x는 2분의 1에서음수에서 양수로 가니까 극소죠 극소값입니다 x가 2분의 1일 때 극소값 갖는 거를 우리가 찾아낸 거예요 그러면 x가 2분의 1일 때 우리가 직접 계산을 해주면 자 f/2은 몇이에요 2분의 1 ln2분의 1이니까 - 1/2입니다 그래서 -2분의 1이 되는요 지점에서 극소값을 가지는 거예요 자 요거까지 됐는데 우리가 2분의 1을 기준으로 1/2보다 클 때 증가하는 것을 알고 있어요 그러면 한번 계산을 해 볼게요 x가 무한대로 가면 어디까지 증가하나 한번 확인을 해주면 xlnx인데 자 x가 무한대로 가면 x도 무한대고 lnx도 무한대니까 그냥 양의 무한대로 발산합니다 그 다음에 그래프를 그냥 쭉 올려주면 되겠네요 자 그러면 지금 정의역이 x가 0보다 크다인데x가 0보다 크다인데 x가 0에 가까워지면 0의 오른쪽에다가 아까워지면이 xlnx가 어떤 값으로 가까워지는지 한번 계산을 해 볼 거예요 자 일단요 lnx를 t라고 치환을 해 줄 겁니다 왜냐면 x가 0의 오른쪽에서 가까워지는 건 얘는 0이고 lnx는 - 무한대니까 우리가 지금 계산을 이대로는 할 수가 없어요 그래서 lnx를 t라고 치환하면 x가 0의 오른쪽으로 가까워질 때는 d가 - 무한대로 가까워집니다 그렇게 되고 x는 2의 t^2 lnx는 t죠 자 이번엔 t를 -k라고 실환을 할 거예요 그러면 t가 - 무한대로 가니까 k는 + 무한대로 가고요 여기는 2에 - k 제곱 마이너스 k죠 그러면 얘는k가 무한대로 가는 리미트에서 2의 k 제곱 분의 -k니까 어떻게 돼요 0이 되는 거죠 따라서 이렇게 됩니다 이렇게 0에 가까워지고 감소하다가 여기 각도 값이 되는 거예요 그러면 지금 요게 지금 교점이 한 개여야 돼요 한기여야 되니까이 gx는 k라는 상수 함수가 요렇게 있으면 한 점에서 만나죠 위에 있으면 모두 한 점에서 만납니다 그런데 여기 있으면 두 점에서 만나요 안 됩니다 그리고 여기 끝에서 만나는 건 되죠 그래서 되는 애들만 다시 그려주면 여기랑 여기랑 여기 위에 있는 애들은 다 됩니다 그래서 가능한 K 값은 j가 -2분의 1일 때 되고요 k가 0보다 크거나 같을 때 모두 됩니다 요거를 답으로 써주면 되겠죠 자 넘어가겠습니다이번엔 부등식의 활용인데요 우리가 어떤 구간에서 함수 fx가 최소값을 가질 때 그 최소값이 만약에 0보다 크거나 같다면 요게 성립하겠죠 우리 fx가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 해가 0이라면 그럼 fx가 갖는 모든 값들은 항상 0보다 크거나 같은 거예요 그래서 우리는이 최소값을 계산해서 부등식이 항상 참임을 보일 수 있는 겁니다 자 꼭 0이 아니어도요 똑같이 활용을 할 수가 있습니다 fx가 gx보다 크거나 같은 걸 성립하는 걸 보려면 우리는 이렇게 gx를 좌변으로 넘겨서이 hx라는 값이 FX - gx를 치환한 hx라는 함수의 값 중 가장 작은 채소값이 hx의 최솟값이 0보다 크거나 같은 걸 보이면 요거 이거를 우리가 알 수가 있겠죠 자 그러면 우리가이 내용을 가지고 개념 예제를 볼 건데요 우리가 지금 em-x² + x가 1보다 크거나같은 걸 증명하라 그랬어요 자 그러면 이렇게 좀 바꿔줍시다 그냥 1을 좌변으로 넘겨서 2m -x² + x - 1이 0보다 크거나 같다라고 써놓고 저는 여기 써 있는 2의 마이너스 x 제곱 플러스 x - 1을 fx라는 함수로 지원을 할 거예요 그러면 이렇게 치환을 했을 때 FX 그래프를 그릴 거고요 f'고 + 1입니다 자 얘가 0되는 x값을 찾아주면요 x값이 0이고요 우리가요 그래프를 간단하게 그리기 위해서 얘는 2의 x제곱을 원점 대칭시킨 겁니다 그러면 그래프가 어떻게 생겼어요 이렇게 y축이 있을 때 이렇게 생겼죠 그리고 그거를 y축으로 1만큼 평행 이동시켰으니까 이렇게 생겼겠네요 이렇게 생겼는데 지금 여기 x는 0에서 만나야겠죠 자 그러면0보다 작을 때는 음수고 0보다 클 때는 양수입니다 이거 가지고 우리가 FX 그래프를 그릴 거고요 x가 0일 때는 f0을 계산을 해주면 1 + 0 -1이니까 0이네요 그러면 이렇게 0을 지나고 0보다 작을 때 감소하고 0보다 클 때는 증가하는 요런 개형이 될 거예요 정확하게 그린 건 아닙니다 변곡점을 우리가 고려하지 않았기 때문에 증가 감소만 따져서 개형만 파악을 한 거예요 자 어쨌든이 그래프의 가장 작은 값은 여기죠 최소값이 0입니다 최소값이 0이니까 우리는 fx가 항상 0보다 크거나 같다는 걸 알 수 있고요 따라서 2의 -x² + x가 1보다 크거나 같은 걸 우리가 알 수가 있습니다 자 여기까지 해서 우리가 방정식과 부등식에서의 활용을 배워 봤습니다 수학 2에서 배운 내용들하고 똑같은데 다른 점이 있다면 함수가 좀어려워졌죠 그래서 문제 좀 풀면서 연습하면 금방 익숙해지실 겁니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]