[수학대왕] 미적분 개념강의 : 적분법 - 여러가지 함수의 부정적분

수학대왕 [음악] 자 오늘 아스파일 단어는 여러가지 함수의 부정적분입니다 우리가 적분을 부정적분을 조금 복습을 한번 다시 해봅시다 우리가 어떤 fx라는 함수를 2분에서 나왔다고 할 거예요 어떤 새로운 함수를 미분해서 fx가 나온 겁니다 그러면 우리는이 fx를 가지고 요거를 찾는 과정을 요거를 찾는 과정을 우리는 적분이라고 해요 자 그래놓고 우리가 이거를 원함수라고 했을 때 예를 무슨 함수라 하죠 원시 함수라고 하죠 자 원시 함수라고 하는데 우리가이 원시 함수를 주로 대문자 f를 써서 라지 fx라고 많이 씁니다 자 이때요 우리가 미분해서 fx가 나와야 되는데 여기 뒤에 1이 달려있어도 미분하면 fx가 나오고 12달러 있어도 미분하면 fx가 나오고 100이 달려 있어도 fx가 나오죠 우리가 상수항은 미분하면 사라지기 때문에 그래서 우리가이 상수항은 정확히 모른다 정확히 모른다는 의미로 이렇게 c를 이용해서 적분상수라고 하죠 적분 상수를 하나 달아줍니다 자 이거를 기호를 써서나 나타내면요 인테그랄 fxdx는 라지 FX + c라고 씁니다 자 일단요 우리가 오늘 처음 배울 내용은 y=x의 r²의 부정적분이에요 우리가 지금까지 y는 x의 n제곱을 y = x의 n제곱을 부정적분 구하면 xn+1의 x의 n + 1 + c라고 배웠어요 자 그런데 이거는 n이 자연수일 때만 된다고 배웠던 겁니다 그런데 우리는굳이 자연수가 아니고 실수요도 똑같은 공식을 적용을 할 수가 있습니다 왜냐 유도 과정이 똑같기 때문에 결과가 똑같이 나오는 거예요 자 그런데 -1이 아닐 때만 똑같은 공식을 쓸 수가 있어요 마이너스 1을 집어넣으면 우리가 지금 여기 분모가 0이 되기 때문에 우리가 뭔가 문제가 생기는 걸 확인할 수 있죠 그리고 우리가 y는 ln의 절댓값 x를 미분하면 뭐가 나온다고 배웠어요 y 프라임은 x분의 1이 나온다고 외웠습니다 즉 요거는 xm-1² 이구요 이거를 적분을 하면 ln 절댓값 x가 나와야 되는 거예요 그래서 지수의 마이너스 1이 들어간 경우는 따로 따로 다른 공식을 사용을 해서 우리가 이렇게 접근을 해줍니다 자 인테그랄 엑셀 -1 제곱 dx는 인테그랄 x분의 1 dx고요 요거를 적분하면 ln 절대값 x+c로 적분이 됩니다 자 여기까지 됐죠넘어가겠습니다 자 부정적분을 구하라고 했고요 첫 번째 인테그랄 x의 몇 제곱이에요 3분의 1 제곱이죠 3분의 1제곱 dx고 1 + 3분의 1분의 1 곱하기 x에 3분의 1 + 1입니다 그리고 적분상수 C 달아줘야 돼요 계산해주면 4분의 3 x의 3분의 4제곱 플러스 c구요 우리가 요렇게도 쓸 수 있죠 4분의 3의 x의 제곱근 X + c라고요 자 2번 볼게요 인테그랄 x분의 자 분자에는 자 루트 x^3이에요 그러면 x의 2분의 3 제곱이죠 + x의 요기는 4분의 5제곱 dx입니다 자 분수를 좀 각각 쪼개주면 우리가 x의 2분의 1 제곱 플러스 x의 4분의 1 제곱 dx로 계산을할 수가 있고요 얘를 적분을 해줍니다 1+1/2 + 1/2 + 1 + 4분의 1분의 1의 x의 1 + 1/4 + 적분 상수 c까지 자 그러면 3분의 2x에 2분의 3제곱이고 여기는 5분에서 x의 4분의 5 제곱 플러스 c입니다 우리가 거듭제곱근을 활용해서 3분의 2의 x 루트 x + 1/5 x의 4제곱근 x + c라고 쓸 수도 있겠네요 자 3번 풀게요 [음악]이번엔 지수 함수의 부정적분이에요 우리가 미분을 미분 배웠던 것을 생각을 해보면 2의 x²을 미분해둬요 2의 x 제곱이죠 a의 x 제곱을 미분하면 뭐예요 ax²의 lna가 하나 붙죠 자 그러면 거꾸로 가는 겁니다 덕분은 2x²을 적분하면 그대로이 x제곱이 나오고요 ax²의 lna를 적분하면 ax가 나와요 근데 우리가 요거 자체를 적분하는 것보다는 뭐를 적분할 일이 생기겠어요 a의 x제곱을 적분하는 일이 생기겠죠 a의 x제곱을 적분하면 그럼 뭐가 나오겠어요 우리가 lna 분의 1 곱하기 a의 x 제곱이 나오는 겁니다 자 따라서 인테그랄 ax 제곱 dx는 lna 분의 ax² + c로 우리가 적분을 할 수가 있고요 미치니까 0보다 크고 1이면 안 된다는 조건도 달려 있는 겁니다 자 인테그랄 exdx는ex+c로 적분할 수 있고요 우리가 요거 개념인지 한번 풀어볼게요 자 1번 부정적분 구하라고 했어요 인테그랄 2의 x 제곱 dx인데 자 밑이 2니까 ln/2x²의 [음악] 적분 상수 C 달아주면 되겠네요 자 2번 보도록 할게요 인테그랄 ex² + 루트 xdx고요 자 각각 적분을 해 줄게요 2x² 적분하면 뭐 나와요 그대로 ex제곱 나오고요 루트 x 덕분 하면 뭐 나와요 우리가 루트 x는 x의 1/2 제곱이니까 플러스 1 + 1/2 곱하기 x의 1+1/2 제곱입니다 적분 상수 C p로 하고요 정리해주면 2의 x² + 3분의 2 x의 2분의 3 제곱 플러스 C입니다 자 여기까지 됐죠넘어가겠습니다 이번엔 삼각 함수의 부정적분이에요 우리가 삼각함수의 부정적분도 다 미분을 거꾸로 돌릴 겁니다 자 사인 x 미분하면 뭐 나왔어요 코사인 x 나왔죠 코사인 x 미분하면 뭐 나왔어요 - sinx 나왔죠 그러면 코사인을 적분하면 sinx 나오는 거고요 - sinx 적분하면 코사인 x 나오는 거예요 자 그러면 우리가 코사인 적분하면 사인 나오는 거는 그대로 써먹으면 돼요 인테그랄 코사인 xdx는 sin x + c 그런데 -sinx를 적분할 때 코사인 x가 나오니까 요거는 어떻게 활용을 해줘야겠어요 사인 x를 적분하면 - 코사인 x가 나온다 요거를 써먹는 겁니다 그래서 인테그랄 사인 xdx는 - 코사인 x + c로 계산을 할 수가 있어요 자 우리가 밑에 4가지 공식도 있긴 한데1번하고 2번 접근 공식을 많이 써요 제일 많이 쓰고 우리가 헷갈리는게 부호가 정말 헷갈립니다 우리가 미분을 할 때는 코사인을 미분할 때 마이너스가 생기는데 적분을 할 때는 사이넥스를 적분할 때 -가 생겨요 그래서 우리가이 부만 조금 신경 써서 공식을 외우고 적용시키는 연습을 하도록 하세요 자 3번 4번 5번 6번 마저 볼 건데요 우리가 탄젠트 x 미분하면 시컨트 제곱 나오죠 그래서 시컨트 제곱 적분하면 탄젠트 x 나오는 거고요 마이너스 코탄젠트 x를 미분하면 원래 코탄젠트 x를 미분하면 고탄젠트 x를 미분하면 - 코 시컨트 제곱 x가 나오는데 우리가 그러면 코시컨트 제곱 x를 적분하면 이렇게 마이너스 코탄젠트 x가 나오는 겁니다 자 시컨트랙스 미분하면 시컨트랙스 탄젠트 x인데 거꾸로 시컨트랙스 탄젠트 x 접근하면시컨트랙스 나오는 거고요 자 코치 커튼 원래 미분하면 - 자코 시컨트 x 미분하면 원래 마이너스 코 시컨트 x 고탄젠트 x 나오는데 거꾸로 - 코싱 커트 x 미분하면 플러스 코시컨택스 코탄젠트 x 나오는 겁니다 그래서 적분도 x 코탄젠트 xdx는 - 코씩 컨트랙스다 이렇게 나오는 겁니다 자 이거 활용해서 개념 예제 보도록 할게요 자 부정적분 구하라고 했고요 인테그랄 싸이닉스 플러스 코사인 xdx인데 자 사인 x 적분하면 뭐 나온다 그랬어요 부호 바뀐다 그랬어요 부 바뀌는 거 중요합니다 사인 적분하면 그러면 코스 마이너스 코사인 x 그리고 코사인 x 덕분에 적분 상수 C 달아주면 답 나오고요 자 인테그랄 시컨트 제곱 x입니다시컨트 제곱 x는 적분하면 뭐 나와요 탄젠트 x 나오죠 자 - 원래 마이너스 있었고요 여기 지금 코시컨트 제곱의 거예요 단젠트 x 플러스 코탄젠트 x + c가 나옵니다 자 마지막은요 우리가 이거 조금 변형이 필요해요 코사인 제곱의 사인 x인데 코사인 x분의 사인 x 곱하기 코사인 x분의 1 dx로 변형을 할 수가 있죠 그럼 얘는 탄젠트 x secont xdx죠 그럼 얘는 적분하면 뭐가 나와요 x + c가 나옵니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 몇 가지 접근하는 공식 더 배워봤습니다우리가이 미적분 단원에서는 다양함뿐만 아니라 여러가지 함수에 대해서 미적분을 공부하고 있기 때문에 오늘 배운 내용을 이제 다음 시간에 계속 활용을 해서 여러가지 배우게 되니까 오늘 배운 내용 그리고 공식들 꼭 숙지하고 넘어가시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]