[수학대왕] 미적분 개념강의 : 적분법 - 치환적분법(부정적분)

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 학습할 내용은 치환적분법입니다 취향적분의 부정적분 우리가 배워보도록 할 거예요 자 일단은 교대를 좀 읽어 볼 건데 우리가 치환적분이란 거는 언제 쓰냐면 부정적분을 직접 구하기 어려울 때 사용합니다 자 구하기 어려울 때 사용하고요 비접분함수의 전체 또는 일부를 새로운 변수로 바꾸어 새로운 변수로 바꾸어 적분하는 방법을 치환적분법이라고 하는 거예요 자 그래서 인테그랄 FX dx가 있을 때요 만약에 이게 적분이 어렵다면 우리는 치환을 하는 거예요 x는 x는 새로운 gt라는 t가 들어간 식으로 치환을 해줍니다 자 그러면요 우리가 이거를 어떻게 해줄 거냐 t에 관해서 미분을 해주면요 bx dt죠dxdt는 g프라임 t입니다 자 이때요 우리가이 dx랑 dt랑 각각 의미하는게 있습니다 dx는 무한히 0으로 가까워지는 x를 의미하고요 무한히 한없이 영어로 가까워지는 영어로 가까워지는 x를 기호로 나타낸 거예요 가까워지는 X 자 dt는 그러면 무한히 0으로 가까워지는 t를 의미하는 거죠 그래서 우리가 이거를 문자처럼 계산을 할 수가 있습니다 그래서 bx는요 g 프라임 t에 bt로 이렇게식이 정리가 되죠 우리가요 정도만 알고 있으면 돼요 더 깊게 들어가지는 않습니다 우리가 고등학교 수학에서는요 정도 내용만 알고 있으면 적분을 하는데 문제가 없어요 자 그래서 인테그랄 fxdx가 이제 어떻게 바뀌냐면요 인테그랄 f의 x를 지금 gt로 바꿨죠gt로 바꿨고 dx가 여기 있는 dx가 지금 x로 적분하는 건데 바꿔야죠 우리가 문자가 t로 갔으니까 얘도 g 프라임 t 그리고 dt로 바꿔야 되는 겁니다 그래서 이렇게 써 있는 덕분을 이렇게 바꿔 주고요 우리가이 식을 이렇게 써 있는 식을 이렇게 바꾸기도 합니다 자 사실 이렇게 10만 보면 우리가 어떻게 써야 되는지 전혀 와닿지가 않아요 그래서 제가이 치안 적분을 제일 많이 쓰는 두 가지 케이 대해서 설명을 좀 해 볼게요 자 케이스 1번은요 우리가 계산하기 좀 어려운 부분이 있을 때 계산하기 어려운 부분을 치환합니다 계산하기 어려운 부분 어려운 부분 치환하기 이렇게 이름을 달게요 부분을 지원하기 자 예를 들어 우리가 인테그랄 사인x dx를 계산하면- 코사인 x + 적분 상수 C 이렇게 계산이 된다고 배웠어요 그런데 인테그랄 싸인 EX dx를 계산한다고 해봅시다 지금 x 자리에 2x가 들어와서 우리가 공식을 활용을 못하는 거예요 그래서 이럴 때는 지원을 하는 겁니다 뭐를 치환하냐면 바로 ex를 새로운 문자 t로 치환을 하는 거예요 자 이렇게 치환을 하면요 우리가 어떻게 바뀌냐 인테그랄 싸인 티저 그런데 여기 있는 dx를 그냥 그대로 쓰면 안 되겠죠 얘도 어떤 t에 관한 식으로 바꿔 줘야 되는 겁니다 그래서 얘를 t에 관해서 미분을 해주면 이 DX dt는 1이 되는 거죠 자 요거 다시 해 볼게요 우리가 좌변에 ex가 어떻게 이렇게 됐냐면 우리가 ex는2 곱하기 x인데 t로 미분하려고 그러면 x가 미분이 안 되죠 우리가 요거를 지금 이렇게 뒤로 미분을 하고 싶은 건데 미분이 안 됩니다 자 후배는 미분해서 1이 됐어요 그러면 우리 이거 어떻게 해줘요 x로 미분할 수 있게 dx를 만들어 주죠 이렇게요 그러면 정리를 하면 dxdd 2는 1이 되는 겁니다 그래서 이거를 dx에 관해 정리를 해주면 dx는 1/2 dt가 됩니다 그래서 우리가 dx를 dx를 뭘로 바꿔주는 거예요 1/2 dt로 바꿔주는 겁니다 그러면 우리가 이거를 이렇게 계산을 할 수가 있어요 1/2 인티그라할 사인티 DT 그러면 이제 얘는 이제 적분을 할 수가 있습니다 sint는 - 코사인 뛰고요 원래 적분 상수 c를 이렇게 써줘야죠 그러면 -2분의 1 코사인 t + 1/2c인데요 적분당수 c는 어차피 우리가 새로 정해주는 문짝이기 때문에 굳이 1/2c로 쓰지 않고요 그냥 마지막에 c를 이렇게 써주면 됩니다 자 그런데 우리가 여기서 끝나면 안 돼요 우리는 어떤 x에 관한 식을 적분을 하는 거였으니까 다시 X 로 돌려놔야 됩니다 t를 ex로 바꿔주면 - 1/2 코사인 EX + c로 해야 우리가 올바르게 적분이 끝난 겁니다 자 조금 복잡하죠 복잡합니다 자 두 번째 유형 볼게요 케이스 2번인데요 케이스 2번은 미분 한 개 곱해서 있을 때에요 미분한게 곱해져 있을 때 곱해져 있을 때 자 예를 들어서요 우리 인테그랄 x 제곱 플러스 3의 x² + 3의 3제곱 곱하기 2xdx를 적분한다고 합시다 자 이거 적분할라 그러면은 전기에서 계산하기는 가능은 하지만 복잡하는게 복잡한게 우리가 조금 예상이 돼요 그러면 지금 x 제곱 플러스 3을 만약에 이거를 새로운 문자로 치환을 해주면요 이거를 t로 치환하면 자 c로 미분을 합니다 t로 미분을 하는데 이렇게 ddte x 제곱 플러스 3은 1이죠 그런데 x² + 3은 t로 미분이 안 되니까 DX dt로 바꿔주고 뒤로 미분을 하면 2x입니다 그러면 우리가 DX 그리고 ex는 dt라고 정리가 되죠 자 그러면 지금 2x dx가 dt예요 x 제곱 플러스 3을 미분한게 2x거든요 근데 그게 지금 여기 곱해져 있죠 피적분함수 안에 들어 있습니다 그러면 이렇게EX dx를 우리가 dt로 바꿔줄 수가 있는 거예요 즉 인테그랄 t의 3제곱 하고 2x dx가요 부분이 통째로 dt가 되는 겁니다 그래서 계산을 해주면 4분의 1 t^4 + c구요 4분의 1에 d를 원래대로 돌려주면 x 제곱 플러스 3의 4제곱 플러스 c입니다 자 이렇게 이런 경우이 크게 두 가지 경우에 치환적분을 많이 쓰니까 우리가 이런 경우에 치안 적분을 쓰는구나 일단 보면 되고요 우리가 개념 예제에 보면서 좀 더 간편하게 하고 연습을 하도록 하겠습니다 자 첫 번째 예제인데 부정적분을 구하라고 했어요 자 요거를 계산을 해 줄 건데 나눠서 계산을 하겠습니다 2에 4x제곱 DX + 인테그랄 EX dx로 나눠서 계산을 할 거예요자 그러면 인테그랄 2의 4x² dx를 계산하려고 할 때요 4x를 지원을 하는 거죠 4x²을 자 지수에 들어가 있는 4x를 d로 치환을 하는 겁니다 자 그러면요 아까 어떻게 하자고 배웠냐면 p로 미분을 하는데 t로 미분을 하는데 좌변이 지금 x에 관한 식이라 미분이 안 돼요 그래서 이렇게 dx를 만들어 주고요 ddx 4x 그러면 4x를 미분하니까 4의 DX dt는 1이 돼서 우리가 이거를 활용하기 위해 4dx는 d로 바꿔주고 dx는 4분의 1 d로 바꿔줍니다 자 그런데 우리가이 과정이 조금 복잡하고요 우리가 앞으로 많이 하게 될 거니까 제가 조금 간편하게 하는 방법을 알려드릴게요 우리가 요거를요 지금 좌변의 x에 관한식이고 우변이 t에 관한 시기예요 그러면 좌변은 그냥 좌변대로 x에 관해 미분을 합니다 x에 관해 미분을 하면 뭐예요 4적 그런데 x에 관해 미분을 한 식에는 dx를 달아 줘요 그리고 우변에 티가 있었죠 시에 관해 미분을 하면 1입니다 근데 t에 관해 미분을 했으니까 dt를 달아줘요 그래서 우리가 요거를 가지고 dx는 4분의 1 tt를 얻어낼 수가 있습니다 우리가 앞으로 많이 하게 될 과정이니까 조금 이렇게 간편하게 가는 것도 좋으니까이 과정을 꼭 기억해서 활용하시기 바랍니다 자 그러면 인테그랄 2의 t^2 * dx가 4분의 1 dt였죠 따라서 인테그랄 앞에 4분의 1 써주고 2의 t^2 bt구요 적분을 해주면 우리 똑같으니까 2 t^2 그리고 적분 상수 c를 달아 줄 거예요 자 정확히 표현하면 우리가4분의 1 안에 원래 c가 들어가야겠죠 그런데 우리가 적분 상수가 그냥 새로 잡아주는 문장이니까 그냥 맨 마지막에 c만 달아줘도 무방합니다 자 여기까지 됐나요 자 그리고 여기서 끝나면 안 되죠 우리가 t를 다시 x로 바꿔줘야 돼요 4분의 1 2에 4x제곱 플러스 C 하면 인테그랄 4xbx 계산이 끝난 거예요 자 이번엔 인테그랄 싸인 ex를 계산을 해 줄 건데요 sinex dx를 자 이번에는 뭐를 지원할까요 사인 안에 있는 ex를 d라고 지원을 하죠 그러면 ex는 x로 미분해서 2 그리고 DX 우변은 t로 미분해서 그냥 dt만 남겠네요 따라서 gx는 1/2 gt구요 우리가 요거를 이렇게 쓸 수 있어요 1/2 인테그랄 싸인 tdt 따라서sint를 적분하면 1/2에 - 코사인 t + 적분상수 c 프라임이라고 쓸게요 요거랑 구분하기 위해서 자 c프라임이구요 우리가 - 1/2 코사인 t + 그냥 C 프라임이라고 쓰겠습니다 자 이때요 우리가 여기 들어가 있는 t에다가 여기 들어가 있는 뒤에다가 다시 x를 집어 넣어서 최종적으로 -2분의 1의 코사인 우리가 여기다가 지금 ex를 집어넣어서 EX + C 프라임이 되겠네요 자 그러면 우리가 요거를 계산을 해주면 4분의 1 2의 4x 되고 플러스 C + -1/2 코사인 2x + C 프라임입니다 그런데 접근 상수는 뭐라고요 그냥 우리가 새로 잡아주는 문자니까 하나만 써주면 된다고요 그래서 그냥 합쳐서 c라고 쓰겠습니다 자 여기까지 됐나요우리가 이렇게 해서 적분을 맞췄는데 우리가 앞으로 많이 하게 될 치료한 적분이 하나가 있어요 자 인테그랄 fx가 아니라 fax를 적분한다고 합시다 자 우리가 만약에 인테그랄 fxdx를 덕분에서 라디에프엑스 플러스 c가 나오는 걸 알고 있어요 그러면 예를 적분했을 때 뭐가 나오는지 한번 봅시다 ax를 t로 치환할 거구요 ax를 t로 치환을 하면 adx는 dt여서 dx는 a분의 1 tt죠 따라서 요거를 a분의 1 인테그랄 ft DT 이렇게 쓸 수 있습니다 그러면 a분의 1의 라지 f t + 적분 상수 C 이렇게 쓸 수 있고요 a분의 1 라지 f에 ax + a분의 c니까 그냥 적분상수 c라고 쓸게요 자 이렇게 되었을 때 지금 라지에프 안에 들어있는 ax 자 원래 fax 적분하니까 그냥 라지 fax 나왔어요 근데 뭐가 생겼어요 앞에 계수 a분의 1이 생겼습니다 그럼 우리가 여기 예제에서 풀었던 걸 한번 볼게요 우리는 2의 x제곱을 적분하면 2의 x²이 되는 걸 알고 있습니다 근데 2의 4x²을 적분했더니 x 자리에 4x 넣은 걸 덕분에 어떻게 됐어요 4분의 1이 생겼죠 4분의 1 2에 4x가 됐습니다 마찬가지로 sinex를 적분할 건데요 우리가 사인 x를 적분하면 - 코사인 x가 되는 걸 알고 있어요 그런데 ex를 집어넣습니다 그랬더니 어떻게 됐어요 2분의 1이 생기고 - 코사인 ex가 생겼죠 자 그러면 우리가 요거를 이제 조금 쉽게 계산할 수 있는 거예요 인테그랄 만약에 2의 3xdx래요 계수가 3이네요 x의 계수가 3이니까3분의 1 2의 3X 적분상수 c 자 인테그랄 코사인 7x예요 코사인 7x면 이거 적분하면 어떻게 되는 거예요 7분의 1이 생기고 4인 7x입니다 그리고 적분 상수씨 자 이렇게 계산이 되는 거니까 우리가요 내용도 꼭 활용해서 연습하시기 바래요 우리가요 내용도 중요합니다 자 넘어가겠습니다 자 이번엔 두 번째 문제인데요 3x+1의 7제곱 dx예요 우리가 뭐를 지원하는게 좋겠어요 3x+1을 d로 지원을 하는게 좋겠어요 그러면 3 dx는 dt죠 400x로 미분해서 dx가 생겼고 우변은 d로 미분해서 dt가 생겼습니다 그러면 인테그랄 7제곱이고 얘는 dx가 3분의 1 dt니까 3분의 1 앞에 써주고 DT 써주면 되겠네요 자 계산을 해주면24분의 1의 t에 8제곱이고요 그리고 적분상수 c를 이렇게 달아 주겠습니다 자 t를 원래대로 돌려놓으면 24분의 1의 3x+1이 8제곱 + C 이렇게 계산을 해 주시면 됩니다 자 넘어갈게요 자 이번엔 마지막 세 번째 문제인데요 우리가 여기 보면 우리가 오늘 치안적분하는 두 가지 유형 중에 미분한게 곱해져 있으면 우리가 치환을 하는 거라 그랬어요 자 x 제곱을 x² + 1을 만약에 t라고 치환을 하잖아요 요구를 만약에 t로 지원하면 x 제곱 플러스 1은 p인데 미분을 하면 2X dx는 dt죠 자 그럼 어떻게 됐어요 여기 써 있는 ex랑 dt를 아 dx를 dx랑 dx를 한 번에 dt라고 쓰면 되는 겁니다 그러고 남은 인테그랄 이렇게 써주면 되겠죠따라서 6분의 1 뒤에 6제곱 + c구요 원래대로 돌려놓으면 여기가 x² + 1의 6 제곱 플러스 c다 이렇게 쓰면 끝납니다 자 우리 여기까지 개념뮤직 풀어봤어요 넘어가겠습니다 자 이번엔 FX 분의 f'x 골을 적분하는 방법인데요 우리가 ln 절댓값 fx를 미분하면요 우리가 fx분의 f'x로 계산이 돼요 그래서 우리는 요거를 적분하면 ln 절댓값 FX + 적분상수 c라고 하면 되겠죠 그래서 어떤 꿀이냐 분모의 어떤식이 있는데 분자는 분모를 미분한 꼴인 거예요 다시 말할게요 분자는 분모를 미분한 꼴이다 이때 이렇게 ln에 절댓값 fx로 적분이 된다 이거를 활용해서 개념 예제 풀어보도록 할게요 자 1번 보면요분모의 x² + 2x+3이에요 그러면 제가이 x 제곱 플러스 2x + 3을 만약에 새로운 문자 t로 치환을 하면요 자 미분하면 2x+2죠 이거에 dx가 tt입니다 그랬더니 어떻게 됐어요 미분한게 지금 분자에 있잖아요 그러면 얘랑 얘랑 합쳐서 뭐라고 써요 dt라고 쓰면 되죠 따라서 주어진 주어진 적분식은 인테그랄 1/2 dt라고 쓸 수 있고요 ln의 절대값 t + c라고 쓰면 됩니다 이때 에덴의 c는 x 제곱 플러스 2x + 3이죠 이렇게 쓰면 적분이 끝났습니다 우리가 이렇게 치환하지 않고도요 만약에 어 분모가 있는데 분자는 분모를 미분한 거네 그러면 그냥 ln에 분목 이렇게 절댓값 씌워서분모를 ln에 집어넣어서 적분을 할 수도 있어요 한번 그렇게 해 볼게요 지금 2번을 볼 건데요 자 분모가 2의 x+2의 마이너스 x제곱인데 이거를 미분하면 뭐가 나와요 2의 x 제곱 -2의 마이너스 x 제곱 나오죠 그게 어디에 들어있어요 얘가 분자에 들어 있잖아요 아 그러면 분모를 미분한게 분자니까 예를 그냥 적분을 하면 ln의 절댓값 2의 x² + 2의 마이너스 x 제곱 + c라고 쓸 수 있구나 해도 무관한 겁니다 전혀 상관없어요 1번도 좋고 2번도 좋은데 우리가 아직 익숙치 않아서 계산이 좀 더 연습을 해야 계산을 좀 더 연습해야 되니까 1번 방식으로 연습하셔도 상관없습니다 자 일단 3번 마저 갈게요 자 인테그랄 탄젠트 xdx인데 자 탄젠트는 코사인 X sinx죠 자 코사인 미분하면 뭐나와요 마이너스 사인 x 나오죠 그런데 부호만 다르네요 그러면 부호로 우리가 이렇게 만들어 주면 되죠 그래서 -1엔 절댓값 코사인 x가 되는 거고요 접근 상수 C 달아주면 적분이 끝난 겁니다 자 넘어갈게요 이번엔 유리함수의 부정적 뿐인데 fx분의 F 프라임 x의 꼴이 아닌 유리함수의 부정적분은요 우리가 분자와 분모의 차수에 의해 의하여 다음과 같이 구한다라 그랬는데 우리가 분자와 분모 차수도 중요하지만 결국은 어떤 거를 활용하기 위한 거냐면 ln의 인테그랄에 인테그랄 x분의 1 dx를 계산하면 에렌의 절대값 x+c가 되는 식을 이용하기 위해서 우리가 요렇게 내용이 설명되는 거예요 자 그런데 요것도 할 수 있죠 만약에 인테그랄 x+kx예요어떤 d의 상수항 k가 하나 붙은 겁니다 그러면 적분하면 어떻게 되는지 볼게요 x+k를 새로운 문자 t로 치환을 하면요 gx는 dt구요 요거를 어떻게 변형할 수 있어요 인테그랄 1/2 d로 변형을 할 수가 있습니다 그러면 ln 절대값 t + c구요 우리가 이때 t를 원래대로 돌려 놓으면 ln 절댓값 x + k + c입니다 분모의 x+k가 있으면 그대로 이렇게 집어넣어서 적분해 주면 됩니다 자 이거를 활용을 할 거고요 자 한번 교재 읽어 볼게요 분자 차수가 더 크거나 같은 경우에는 인수분해가 될 때는 인수분해 하구요 인수분해가 되지 않으면 분다를 분모로 나누어 목과 나머지 꼴로 나타낸대요 자 결국 분자를 상수로 만들고 분모를 어떤 x에 관한 1차식으로바꿔주는 겁니다 자 1번 부정적분을 구하라고 했는데 지금 분자랑 분모랑 차수가 같아요 이거를 어떻게 할 거냐 x+1분의 우리가 유리함수 배울 때 많이 한 거죠 3의 x+1+2로 변형을 할 수가 있고요 얘를 인테그랄 3 + x+1 dx로 바꿀 수가 있습니다 자 그러면 3을 적분하면 3x고요 자 + 2를 지금 실수배니까 그냥 앞으로 빼주고 여기 분자 있는 일을 그냥 곱해준 거니까 여기다 곱해준 거예요 자 그러면 x+1을 적분하면 뭐가 나와요 x+1을 적분하면 뭐가 나와요 ln의절댓값 x + 1 + C 나와야 되죠 그래서 ln에 달아주면 되겠죠 자 1번 이렇게 계산 끝난 겁니다 어렵지 않아요 우리가이 꼴로만 바꿔 주면 됩니다 자 2번 볼게요 자 지금 x+1의 x+1/2이에요 얘는 어떻게 변형해 줄 거냐 바로 부분분수분해를 활용할 겁니다 요거 분의 x+1 - X + 2분의 1이고요 자 요거 계산해주면 인테그랄 x+1 - x + 2분의 1 dx예요 자 x+1을 적분해주면 ln의 절대값 x+1이고요 x + 1/2을 적분해주면 ln의 절댓값 x+2입니다 그래서 두 개를 뺀 이게 답이죠접근 상수 c까지 달아주면 다 나왔습니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 치환적분 하는 거 배웠습니다 치환적분 하는 거 상당히 어렵습니다 우리가 식도 복잡하고요 변형도 해줘야 되고 고려해야 될게 많아요 충분한 연습하고 우리가 뒤에 또 치환적분 배우는데 여기 확실하게 하고 뒤에 강이 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]