[수학대왕] 미적분 개념강의 : 적분법 - 치환적분법(정적분)

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 학습할 내용은 치안적분법의 정적분입니다 자 우리가 정적분이라는 것을 수학 2에서 배웠었어요 그리고 오늘 미덕분에서 다시 배우게 되는데 정적분에 관한 기본 개념이 새롭지는 않습니다 우리가 어떤 정적분에 함수 즉 피적분함수가 조금 바뀌는 것 뿐이지 정적분에 관한 개념은 똑같이 유지되요 그래서 만약이 정적분에 관한 개념을 좀 까먹었다면 수학 2 과정에 있는 정적분 내용을 조금 학습하고 복습을 다시 하고이 강의를 들으시기 바랍니다 자 정적분이라는 것은요 우리가 어떻게 계산을 해줬어요 인테그랄 a부터 b까지 fxdx면 우리가 한 부정적분을 구하고요이 라디에프엑스의 b를 대입하고 a를 대입해서 빼주죠 이게 바로 우리가 정적분 값을 구하는 방법입니다자 정적분의 성질도요 우리가 부정적분과 마찬가지로 성립을 하는데 이렇게 인테그랄 a에서 b까지 kfxdx면 이렇게 k를 바깥으로 빼서 계산을 할 수가 있습니다 자 인테그랄 a에서 b까지 FX + GX dx는요 인테그랄을 나눠서 이렇게 인테그랄 fxdx+ 인테그랄 gxtx로 계산을 할 수 있고요 4도 마찬가지로 이렇게 인테그랄 a부터 b까지 fxdx-∫ [음악]자 개념 예제 볼 거구요 우리가이 정적분 값을 계산하는 문제가 있는데 앞에서 배운 그 여러 가지 함수의 부정적분 내용을 가지고 우리가 먼저 부정적분을 구해준 다음에 값만 대입해주면 됩니다 그렇기 때문에 우리가 좀 하나씩 해보도록 할게요 자 인테그랄 1에서 9까지 루트 xdx고요 루트 x는요 x의 2분의 1 제곱이죠 자 그러면 이거의 부정적분을 구해주면 1+1/2 제곱의 1을 더해주죠 자 그러면 요거를 부정적분을 좀 정리를 해주면 3분의 2의 x의 2분의 3제곱이고요 1에서 9까지입니다 자 9를 대입해주면 3분의 2의 9의 2분의 3제곱 그리고 1을 대입해주면 3분의 2에 1의 2분의 3제곱이에요 자 그러면 9는 3의 제곱이니까 우리가 3의제곱에서이 제곱과이 2를 없애 줄 수가 있죠 그러면 3분의 2 곱하기 27이구요 - 3분의 2니까 우리가요 값을 3분의 2 곱하기 26으로 계산을 할 수 있어서 3분의 52라고 계산이 됩니다 자 여기 3분의 2로 묶어준 거예요 우리가요 과정이 조금 헷갈렸을 수 있는데 3분의 2로 묶어주면 27 -1이니까 이렇게 되는 겁니다 자 여기까지 됐죠 자 이번엔 2번 문제 풀어보도록 할게요 자 2번은 지금 0부터 2분의 파이까지 뭘 적분해요 사인 x + 코사인 x를 적분하죠 그럼 sin과 코사인을 각각 적분을 해 줄 거고요 사이닉스 적분하면 - 코사인 x고요 코사인 x 적분하면 sin x입니다 자 먼저 2분의 파이를 대입을 해주면 코사인 2분의 파이는 0이죠 그리고 sin/2는 1입니다 자 -0 대입해주면 코사인은 1이고 싸인은 0이 됩니다 따라서이 값은 2로 계산이 되네요 자 마지막 3번 볼 거고요 자 인테그랄 0에서 1까지 4의 x제곱 마이너스 2의 x 제곱 dx예요 그러면 자 4x² 적분하면 부정적분 구하면 뭐가 된다 그랬어요 우리가 4x가 그대로 있긴 있는데 에덴사를 나눠 줘야 되죠 자 2x제곱은 ln/2의 x 제곱으로 우리가 적분이 되고요 자 1 대입하면요 ln/4 - lm/2구역 0 대입하면 ln/4의 0 제곱은 1입니다 자 우리가 ln4를요이 ln2로 계산을 할 수가 있고요 이렇게 됐을 때이 ln/2 +ln/2입니다 그러면 이렇게 약분되고 요거는 없어지네요 그러면 우리가 지금 남는게 요거를 2로 바꿔주면이 LM 2분의 1만 남아요 그래서 요렇게가 답입니다 자 우리가 1 2 3번 모두 마무리 했고요 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 치환적분법의 정적분인데요 우리가 지난 시간에 부정적분에서의 치환적분법을 배웠어요 그리고 치환적분법을 사용하기 좋은 두 가지 케이스에 대해서도 설명을 했습니다 하나는 계산하기 어려운 부분이 있을 때구요 두 번째는 미분안계 곱해져 있을 때 치환적분법을 쓴다 그랬어요 자 우리가 경적분에서도 똑같은데요 우리가 여기 지금 주어진 식을 보면 우리가 부정적분에서의 치유한 적분법을 배웠을 때와 비슷한시기 써 있습니다 다른 것은 딱 하나밖에 없죠 우리가 정적분이라서 이렇게 적분 구간이 추가된 거 밖에 없습니다 자 그런데우리가 요식은요 지금이 a부터 b까지 적분을 한다는 것은 구간a 콤마 b인데이 안에 있는 x에 관해서 적분을 하는 거예요 즉 x가 a b 안에 있는 거죠 자 그런데 우리가 오른쪽 우변에 있는 식에서는요 적분 변수가 t구요 t에 관해 적분을 하는 거고요 적분 구간이 지금 알파부터 베타라고 써 있는데 즉 t가 알파와 베타 사이에 있는 요런 경우를 말합니다 자 그러면 우리가 여기서 어떤 생각을 해줘야 되냐 자 좌변에 있는 x는 구간이 a 콤마 b였고요 우변에 있는 t는 적분 구간이 알파에서 베타예요 즉 구간이 바뀝니다 우리가 치환을 하면서 적분 구간도 같이 바뀌는 거예요 그래서 우리가요 바꾸는 작업까지 해줘야 정적분에서 치환적분법을 쓸 수가 있는 겁니다 자 그러면 그 바꾸는 작업을 어떻게 하느냐 자 예시로 한번 풀어 볼게요자 인테그를 0에서 1까지 3x + 1의 7 제곱 dx를 계산할 거고요 우리 요거를 직접 전개할 수 없기 때문에 3x+1을 t로 치환을 할 겁니다 그러면 우리가 여기 있는 적분 변수 dx를 dt로 바꿔 줘야 되고요 그거를 하기 위해서 요거를 뒤로 미분을 해주면 우리가 곱하기 3은 우리가 1이다라고 계산이 되고요 여기서 dx는 bx는 3분의 1 dt니까 이렇게 쓸 수가 있어요요 dx를 이렇게 바꿔줬습니다 자 그리고이 피적분함수가 이제 t의 7제곱으로 바뀌고요 적분 구간도 바뀌어야 되는 거예요 자이 0부터 1까지인데이 0은 x가 0일 때죠 그러면 우리는 x가 0일 때 t값을 구해줘야 되고요 그때t값은 여기다가 대입해서 1이라고 구해주면 되는 겁니다 즉 적분 구간이 1이 되고요 이번엔 x에다가 1을 대입을 해주면요 x에다가 1을 대입을 해주면 t 값이 4가 나오죠 그러면 적분 구간이 이제 1에서 4라고 나오는 겁니다 그러면 3분의 1 인테그랄 1에서 4까지 t의 7제곱 dt구요 그러면 우리가 이제 계산할 수 있는 정적분이 되었죠 자 8분의 1 t에 8 제곱이고 1에서 4까지니까 3분의 1의 1/8 곱하기 우리가 4의 8제곱 마이너스 8분의 1로 계산을 할 수가 있고요 자 요거를요 우리가 2의 16제곱이고 얘가 2의 3제곱이니까 3분의 1의 2의 13 제곱 마이너스 8분의 1로 계산을 할 수가 있습니다 우리가 끝까지 뭐 숫자로 계산하진 않을게요 이대로 놔두겠습니다 자 이런 식으로 우리가 적분 구간까지적분 구간까지 변형을 해야 올바르게 정적분에서의 치한 적분법을 사용할 수 있다이 내용입니다 자 이때요 우리가 치환을 할 때는 일대일 대응이고 미분 가능해야 하고요 치안 접근법을 이용하여 정적분 계산할 때는이 적분 구간 변하는 것을 주의해야 된다 자이 내용까지 모두 마쳤습니다 개념 예제 한번 풀어볼 거구요 다음 정적분 값을 구하라고 했어요 자 그러면 1번부터 하나씩 할 건데요 자 1번 인테그라 1에서 2까지 2x x제곱 마이너스 1의 3제곱 dx입니다 그러면 뭘로 치환해야 될까요 우리가 취한 적분법에서 뭘로 치환해야 되는지가 제일 중요합니다 자 여기 ex가 곱해져 있는데 여기 있는이 x 제곱 마이너스 1을 t로 치환을 했을 때 x² - 1을 t로 지원을 했을 때 x²-1을 미분하면 2x가 나오죠 그래서 요거를 지원을 해주면 됩니다 자 요거를 t로 미분을 해주면요t로 미분을 해주면 우리가 DX DT 곱하기 2X = 1이 되고요 EX dx는 dt입니다 따라서 EX dx가 dt구요 휘적분함수는 우리가 t의 3제곱만 남게 되는 거죠 자 적분 구간 1부터 2까지였는데 우리가 t에다가 C 값이 뭐가 나오는지 계산을 해줘야 돼요 x에다가 1을 대입하면 d는 0이 나오고요 x에다가 2를 대입하면 b는 3이 나옵니다 자 따라서 우리가 0부터 3까지 인테그랄 t의 3제곱 dt구요 요거를 4분의 1 t에 네제곱으로 부정적분을 구할 수가 있고 3을 대입해서 계산해 주면 4분의 81이라고 나옵니다 자 2번 문제 풀어 볼게요 인테그랄0부터 2분의 파이까지 1+ 코사인 X sinx dx고요 자 뭘 치환해야 될까요 요것은 바로 분모에 있는 1+ 코사인 x를 t로 치환할 겁니다 자 1+ 코사인 x를 t로 치환을 하면요 요거를 d로 치환을 하면 자 미분을 했을 때 DX dt-sinx는 1이 되고요 우리가 - sinx dx는 dt니까 sinx dx는 - dt네요 따라서요 부분이 - dt가 되는 거고요 인테그랄 자 우리가 휘적분함수가 그러면 t분의 1밖에 없죠 지금 b적분 함수가 1/2밖에 없고 적분 구간이 0부터 2분의 파이까지였는데 d가 x가 0일 때x가 0일 때 t 값 구해주면 d는 여기다가 대입해서 2라고 구할 수 있고요 x에다가 2분의 파이를 대입을 해주면 우리가 t값을 1이라고 계산을 할 수가 있습니다 따라서 2부터 1까지가 되고 이거를 이렇게 바꾸겠습니다 여기 지금 마이너스가 이렇게 달려 있는데 조금 구간을 1부터 2로 바꿔주고 2분의 1 dt라고 바꿀게요 그러면 lnt 1부터 2까지니까 ln2로 계산이 됩니다 자 마지막으로 3번 볼 거고요 인테그랄 0에서 1까지 2x+1의 3제곱 dx고요 자 이런 경우에 ex+1을 t로 지원을 해 줄 겁니다 자 요거를 t에 관해서 미분을 해주면 우리가 DX DT 그리고 2구역 여기는 1이죠 그러면 dx는 1/2 dt입니다 자 따라서 우리가 요거를인테그랄 d의 3 제곱 2분의 1 dt로 바꿀 수 있고요 자 적분 구간도 바꿔줘야겠죠 x가 0일 때 t값 계산해주면 1 나오고요 x가 1일 때 t 값 계산해주면 3 나옵니다 즉 적분 구간은 1부터 3까지예요 자 그러면 1/2t3 제곱이니까 요거를 적분해 주면 1/8t 네제곱이고요 우리가 8분의 3의 4제곱 마이너스 1의 4제곱으로 계산을 해서 8분의 80으로 계산이 됩니다 따라서 10이 나오네요 자 여기까지 해서 우리가 세 가지 개념 예제 모두 풀어봤습니다 자 이번엔 삼각 치환법인데요 삼각 치안법은요 쉽게 말해서 우리가 어떤 적분 변수를 삼각 함수로 치환을 하는 거예요 그런데 그거를 언제 쓰느냐 우리가 두 가지 꼴이 있어요 루트 a 제곱 마이너스 x²9라고 x² + a 제곱 분의 1꼴이있습니다 자 이런 꼴들이 있는데 이런 경우에는 우리가 각각 x는 a 사인 세타 얘는 x는 a 탄젠트 세타라고 지원을 해야 우리가 적분이 가능해져요 우리가 삼각지안법은 삼각함수로 지원하는 것인데 그거를 떠올리기가 힘들겠죠 그렇기 때문에 우리가이 꼴을 기억을 해 놨다가 이렇게 된 형태와 이렇게 된 형태를 기억해 놨다가 치환을 각각 이렇게 해주면 됩니다 자 셋탑 값의 범위가 모두 나와 있는데요 우리가 요것은 일대일 대응 함수여야 되기 때문에 치환하는요시기 일대일 대응 함수여야 되기 때문에 이런 구간으로 이런 구간으로 나오는 겁니다 자 추가로 우리가이 식도 항상 계산하며 사용해 줘야 되기 때문에 이제까지 사용해서 치안 적분을 한번 직접 해 보도록 할게요 자 먼저 1번 보면요 인테그랄 0에서 1까지 1+x제곱 분의 1 dx고요 여기 써 있는 1을 1의 제곱으로 보면 우리가 이런 경우에 x를 뭐로 치환을 해야 될까요x를 a탄젠트 세타로 치환을 해 줘야 됩니다 그런데 여기서 a 값이 1이죠 그래서 탄젠트 세타로 치환을 해주면 되고요 우리가 세타로 미분을 해주면 dxd 세타는 시컨트 제곱 세타입니다 따라서 이렇게 우리가 1 플러스 대입을 해서 탄젠트 제곱 세타 분의 1이 되고요 dx는 여기서 dx는 시컨트 재고 세타 D 세타니까 그거를 이렇게 넣어주면 되겠죠 이렇게 됩니다 자 우리가 여기 적분 구간도 변형을 해줘야 되고요 x가 0일 때에 탄젠트 세타는 0이기 때문에 세타는 0이고요 x가 1일 때 탄젠트 세타는 1이니까 세타는 4분의 파이입니다 즉 적분 구간이 0하고 4분의 파이까지가 되는 거예요 자 이때요 우리가이 1+ 탄젠트 제곱 세타가c컨트 제곱 세타죠 그러면 얘랑 얘랑 약분이 돼서요 남는게 1밖에 없습니다 0부터 4분의 파이까지 1d 센터 그러면 세타고요 3 코사인 세타 비셋합니다 자 그러면 인테그랄 여기다가 x에다가 우리가 치환한 요식을 대입을 해주는 거예요 9 - 9사인 제곱 세타고요 dx는 3 코사인 세타 D 세타입니다자 적분 구간 0부터 3이었던 것도 바꿔줘야 되고요 x가 0이면 3 sin 세타가 0이니까 세타는 0입니다 자 x가 3이면요 3사인 세타가 3이니까 사인 세타는 1이 되고요 θ는 2분의 파이네요 따라서 적분 구간이 0부터 2분의 파이가 돼요 자 그러면 우리가이 피적분함수를 조금 정리를 해 줄 건데 루트 9로 묶었을 때요 부분을 말하는 겁니다 1-sin²θ고요 얘는 3루트 1 -sin²θ인데 1 - 사인 제곱 세타는 코사인 제곱 세타죠 그러면 3 코사인 세타가 됩니다 자 원래는 절댓값이 나와야 되는데요 세타 범위가 지금 세타의 범위가 0부터 2분의 파이라서 그냥 양수인 3 코사인 세타가 나와야돼요 자 그래서 인테그랄 0부터 1/2까지 3 코사인 세타 분의 3 코사인 세타 D 세타고요 약분돼서 남는게 1밖에 없네요 자 그러면 1을 덕분으로 하면 θ구요 θ에 2분의 파이를 대입한 거에서 0 대입한 걸 빼주니까 1/2만 남는 겁니다 자 여기까지 해서 우리가 치환 적분법 모두 마쳤구요 우리가 부분적분법에서 치환적분을 하든 정적분해서 치료한 적분을 하든 언제 해야 되는지 그리고 우리가 이거를 뭘로 치환해야 되는지 이거를 연습하는게 제일 중요합니다 꼭 많은 문제 푸시면서 공부하시기 바랍니다 자 이번 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]