[수학대왕] 미적분 개념강의 : 적분법 - 부분적분법

수학대왕 [음악] 자 오늘 아스팔 내용은 부분적분법입니다 우리가 지난 시간에 치환적분법이라는 적분 방법을 배웠어요 근데 우리가 지안적분 말고도 새로운 접근 방법 중에 하나가 부분적분법입니다 자 우리가이 부정적분에서의 부분 적분법을 배울 건데 자 언제 쓰냐 피적분함수가 두 함수의 곱으로 되어 있고 그 치안 접근법을 사용할 수 없을 때 우리가 주로 사용을 합니다 그러면 여기서 말하는 두 함수의 곱으로 이루어져 있다는게 무슨 말인지 한번 생각을 해보면 예를 들어 다항함수와 삼각함수를 곱해놨을 수도 있고요 다음 함수와 로그 함수를 곱해놨을 수도 있고 삼각함수랑 지수 함수를 곱해 놨을 수도 있습니다 요거를 적분하는 방법은 바로 부분적 분법이에요자 우리가 부분적분법이 뭔지 보기 전에 자 FX 곱하기 FX 곱하기 gx를 미분을 하면요 미분을 하면 f' FX * g 프라임 x죠 그러면 우리가 여기다가 부정적분을 구하기 위해 인테그라를 취해주면 인테그랄 FX 곱하기 gx의 프라임 dx는 인테그랄 F 프라임 맥스 GX + FX 지프라임 X bx입니다 그러면 요거를 인테그랄을 쪼개서 쓸 수가 있고요 F 프라이맥스 GX DX + 인테그랄FX g 프라임 xdx 자 이때요 우리가 좌변에 있는이 FX gx의 프라임을 다시 적분을 하면 결국은 FX 곱하기 gx가 나올 거예요 자 여기서 우리가 적분 상수 c가 원래는 나와야 되지만 지금 여기 아직 계산하지 않은 부정적분이 있기 때문에 여기서 적분 상수가 나오니까 지금은 쓰지 않겠습니다 자 요거를요이 인테그랄 FX g 프라임 xdx에 관해 정리를 해주면 인테그랄 FX g 프라이맥스 dx는 dx는 FX 곱하기 GX - 인테그랄 F 프라이맥스 GX dx가 되는 거예요 자 그래서 우리가요식이 부분 적분을 하는 식입니다복잡하죠 우리한테 주어진 건 인테그랄 fxg 프라임 xdx고요 이거를 FX gx-∫ 우리가 이거는 우선순위가 있어요 자 이렇게 지수함수 삼각함수 다음 함수 로그 함수 순으로 우리는 g프라임 x를 정해줍니다 자 지수함수가 있다 그러면 지수함수가 g프라임 x가 되는 거고요 만약에 지수함수랑 다항 함수가 있어요그러면 누가 지프라임이에요 얘가 지프라임이죠 그러면 만약에 삼각함수랑 로그 함수가 있어요 그러면 누가 지프라임이 되는 거예요 삼각함수가 grime이 됩니다 이렇게 우리가 순서가 있습니다 지수함수 삼각함수 항암수 로그 함수 우리가 이걸 앞글자를 따서 g345라고 우리 가족은 기억을 해놓기도 합니다 이렇게 해서 기억을 하고 우리가 부분 적분을 해보도록 할게요 자 지수 함수 삼각함수 항암수 로그 함수 순으로 우리가 g 프라임 x를 정해 준다고 했고요 우리가 부분 적분식은 조금 헷갈리니까 제가 좀 써 놓을게요 FX g 프라이맥스 dx는 자 그러면 1번 문제 먼저 볼 건데 자x2의 x제곱 dx예요 그러면 지금 x는 다항 함수죠 얘는 다항 함수예요 2x²은 지수함수입니다 그러면 누구를 g 프라임 x로 잡아요 얘를 g프라임 x로 생각을 하고요 얘를 fx라고 생각을 합니다 그러면 먼저 뭐가 와야 돼요 맨 앞에 fx와 gx를 써야 됩니다 자 fx는 그대로 써서 x고요 2의 x 제곱을 적분하면 뭐가 나와요 그대로 ex제곱이 나오죠 자 - 인테그랄 자 dx인데 여기 안에 피적분함수가 뭐가 들어와야 되는 거예요 여기에는 엘프 프라임 맥스 곱하기 gx가 와야 됩니다 즉 x를 미분한 1이 와야 되고요 gx인 ex제곱이 그대로 오죠 자 그러면 x2의 x 제곱 마이너스 인테그랄2의 x 제곱 dx고요 x2x 되고 -2x² + 적분 상수 c까지 써주면 우리가 적분을 구한 겁니다 자 헷갈리죠 우리가이 f와 g를 가지고 적분을 하는게 조금 헷갈려요 그래서 우리가 요거를 어떤게 크고 어떤게 진지 어떤게 지프라임이고 어떤게 F 프라임인지 이거를 좀 구분 지으면서 연습을 해 줘야 됩니다 자 2번은 인테그랄 lnx dx인데 자 제가 보면 앞에서 부분적분은 부함수의 곱으로 이루어져 있을 때 하는 방법이라 그랬어요 그런데 여기는 지금 lnx 밖에 없습니다 자 그럼 얘는 왜 부분적분 단원에 나왔을까요 우리는 여기서 앞에 1이 있다고 생각하고 부분적분을 해줍니다 자 1이라는 다항함수가 있다고 생각하고 부분 적분을 적용시키는 거예요 자 2번은요 우리가이 인테그랄 안에 lnx가 들어갔을 때는 적분 과정에서 이렇게 1이 있다고생각을 해 줘야 되기 때문에 다른 적분하고 조금 달라요 하지만 우리가 lnx라는 함수 자체가 복잡하지 않기 때문에 자주 나오니까 우리가 2번은 따로 꼭 기억을 좀 해주시기 바래요 자 일단은 적분을 해 보겠습니다 우리가 다항함수랑 로그 함수가 있어요 다항함수가 있고 여기 로그 함수가 있으니까 요거를 우리가 좀 제가 순서를 바꿀게요 인테그랄 lnx 곱하기 1 dx고 자 다음 함수가 Z 프라임 x입니다 다항함수가 g 프라임 x고 lnx가 fx죠 자 그랬을 때 우리가 가장 먼저 gx와 fx의 곱을 씁니다 FX * gx를 써줘야 돼요 그러면 뭐가 와요 lnx * 자 1을 적분하면 x죠 이렇게 나오고요 - 인테그랄 자 x는 그대로 5구역 자x는 그대로고 f'x 즉 lnx를 미분한 얘를 미분한 x분의 1을 이렇게 곱해줘야죠 왜냐 여기가 F 프라임 x고 여기가 gx니까 자 그러면 xln x-∫ [음악] 접근 상수 c까지 나와야죠 자 이거왜 그렇게 된 거예요 인테그랄 사이넥스 dx는 - 코사인 x입니다 그런데 앞에 지금 -가 있었으니까 - 해서 이렇게 플러스가 나온 거예요 자 우리 개념에 대해 세계 다 풀어 봤구요 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 우리가 정적분에서의 부분적분법을 보도록 할 건데요 우리가 부정적분에서의 부분적분법과 달라지지 않습니다 똑같아요 똑같은데 우리가 단지 정적분에서 마지막에 대입을 해서 계산을 해주잖아요 그것만 과정이 추가되는 겁니다 과정이 똑같구요 f와 g를 선정하는 방법도 똑같아요 자 그러면 우리가 그대로 한번 직접 계산을 해 보도록 할게요 자 1번 문제 보면은 지금 1부터 2까지 x 제곱 분의 lnx dx예요 x²인데 저는 요거를 이렇게 쓰겠습니다 인테그랄 1에서 2까지 x의 - 2제곱x의 -2 제곱 곱하기 lnx dx로요 자 그러면 여기서 지금 뭐를 지프라임으로 잡아야 돼요 xm-2 제곱을 g 프라임 맥스로 답습니다 얘를 fx로 잡고요 그러면 가장 먼저 와야 되는 건 우리가 gx와 fx의 곱이죠 gx와 fx의 곱이 일단 맨 앞에 옵니다 그러면 우리가 이렇게 대괄호를 치고요 xm-2 제곱 적분하면 - x의 제곱 나옵니다 곱하기 lnx 그리고 1부터 2까지죠 -∫ - xm-1 제곱은 그대로고요 lnx를 미분한 걸 써줘야죠 lnx 미분한 x분의 1을 곱해줍니다 그리고 뒤에 dx까지 달아주면 되겠죠 자 범위는 1부터 2까지입니다 자 그러면 제가 요것만 좀 계산을 해 볼 건데자 인테그랄 1에서 2까지 인테그라 1에서 2까지 자 - x의 -2 제곱 dx예요 그러면 우리가 요거를 이렇게 쓸 수 있죠 플러스 x의 - 1 제곱이라고 적분을 계산을 할 수가 있습니다 자 그러면 우리가 여기까지 계산한게 지금 뭐가 나와요 자 - 자 x - 1 제곱은 x분의 1이라고 쓰겠습니다 x분의 1 lnx 1에서 2까지구요 + - 이렇게 X 1부터 2까지 자 2를 대입하면요 -2분의 1 lm이 마이너스 1을 대입한 -1 ln이 그리고 - 여기는 1일 대입한 1/2 + 1을 대입한 분의 1입니다 자 그러면 지금 lne은 0이기 때문에 우리가가지고 있는 것만 쭉 계산을 해주면 얘는 ln2는 1이니까 그럼 - 1/2이 되고요 요거는 -1/2 얘는 플러스 따라서 계산하면 1 - 2분의 2입니다 자 여기까지 됐죠 자 그럼 2번 문제 한번 볼게요 자 이번엔 흰색을 할 0부터 6분의 파이까지 2x * 코사인 3x dx를 적분을 할 거예요 자 어떤 걸 g 프라임으로 잡아요 자 코사인 3x를 g프라임 x라고 잡습니다 예를 fx라고 잡고요 그러면 자 2x는 그대로고요 코사인 3x 적분하면 뭐 나와요 3분의 1 사인 3x죠 우리가 요거는 지안 덕분법에서도 했던 적분입니다 0부터 6분의 파이까지 자 - 인테그랄 0부터 6분의 파이까지인데 2x를 미분하면 뭐가 나와요 2가 나오죠 그리고 3분의 1 사인 3x가 그대로 옵니다자 그러면요 우리가 요거는 이렇게 좀 정리를 할 수 있겠네요 3분의 2x 사인 3X 그리고 0부터 6분의 파이까지 자 마이너스 지금 인테그랄 0부터 6분의 파이까지 3분의 2 사인 3X dx인데 자 3분의 사인 3x dx를 적분하는 거는 어렵지 않죠 적분하면 뭐가 나와요 사인 3x 일단 요거 똑같이 써주고요 마이너스 자 3분의 2가 원래 있었고 사인 3x 적분하면 -3분의 1 코사인 3x죠 하고 0부터 6분의 파이까지 그러면은 저는 여기 있는 마이너스를 이렇게 플러스로 바꿔 주겠습니다 자 그러면 우리가 6분의 파일을 여기다가 먼저 대입을 해주면 3분의 2 곱하기 6분의 파이 곱하기 sin 2분의 파이고요- 0 넣으면 0이네요 + 우리가 요거는 9분의 2 코사인 2분의 파이 마이너스 9분의 2 코사인 0입니다 자 코사인 2분의 파이 0이고요 우리 여기도 0 있고 남은 것만 좀 써주면 사인 2분의 파이는 뭐예요 1이죠 따라서 9분의 파이 자 코사인 0은 그냥 1입니다 따라서 남는 건 -9밖에 없어요 자 여기까지 해서요 우리가 부분적분법을 정적분해도 적용시키는 연습을 했습니다 자 우리가 오늘 배운 부분적분법은요 활용하는게 정말 중요합니다 언제 어떤 거를 사용해야 되는지 알아야 우리가이 부분 접근법을 정확하게 활용을 할 수가 있고요 자 그리고 지프라임 맥스를 어떤 걸로 잡아줄지 그거를 꼭 기억해 두시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]