[수학대왕] 미적분 개념강의 : 적분법 - 정적분과 급수

수학대왕 [음악] 자 오늘 배울 내용은 정적분과 급수입니다 우리가 어떤 정적분과 급수 사이의 관계에 대해서 좀 배워 볼 건데요 자 이런 도형의 넓이를 구하려고 해요 구하려고 하는데 이거를 모눈종이 위에 올려놨다고 해볼게요 그러면이 모든 종이에서 이렇게 도형 안쪽에 있는 정사각형들을 다 합하면이 정사각형들을 다 합하면 우리가 구하고 싶은 도형의 넓이랑 꽤 비슷하게 구할 수 있겠죠 자 근데 조금 작게 나올 거예요 실제 도형의 넓이보다는 작게 나올 겁니다 자 그런데 만약에 이렇게 바깥쪽에 걸친 정사각형들을 모두 합해서 이두영의 넓이를 구하면 마찬가지로 비슷한데 이번에는 좀 크게 나오겠죠도형의 넓이보단 크게 나올 겁니다 그러면 우리가 이거를 좀 더 도형의 넓이와 가깝게 구하기 위해서이 모든 종 의 칸을 더 나눕니다 더 나눠서 여기도 색칠하고요 이렇게요 부분까지 모두 구해주는 거예요 그러면 우리가 처음에 구하고자 하는이 도형의 넓이와 좀 더 비슷해지겠죠 자 얘도 조금 이제 그러면 뭐 덜 칠할 겁니다 덜 칠할 거예요 어쨌든 우리가 구하고 싶은 도형 넓이와 조금 더 비슷해져요 자 그러면 우리가이 모든 종이의 칸을 n개라고 해봅시다 n개라고 할 건데 우리가이 모든 종인 칸을 더 세세하게 나누면 나눌수록 우리가 구하고 싶은 도형의 넓이와 비슷해지겠죠 그럼 만약에 n을 무한대로 보내면 무한대로 무한히 쪼개면 어떻게 될까요 우리가 도형의 넓이를 구할 수가 있는 겁니다 자이 방법을 우리가 어떤 방법이라 하냐 바로 구분 구적법이라고 합니다우리가 이렇게 도형을 쪼개서 다 합하는이 방법을 구분구적법이라고 해요 자 주어진 도형을 n개의 기본 도형으로 분할한다라고 적혀 있어요 자 기본 도형이라는 것은 우리가 구할 수 있는 도형입니다 뭐 예를 들어 삼각형이 될 수도 있고요 사각형이 될 수도 있겠죠 자 n개의 기본 도형의 넓이 또는 부피의 합을 구한다고 적혀 있어요 넓이 또는 부피합을 곱해서 구해서 우리가이 n을 무한대로 보내 버리는 겁니다 그때 나오는 값으로 우리가이 도형의 넓이를 구할 수가 있어요 자 그러면 우리가요 내용은 이렇게 봤을 때는 실제로 직접 계산을 하지는 못해요 이도형을 그래서 한번 우리가 계산할 수 있는 거 가지고 구분구적법을 사용해 보도록 할게요 자 y는 x제곱과 x축 및 x x는 1로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라고 했고요 y = x 제곱이라는 도형은 이렇게 생겼을 겁니다 이렇게 생겼어요자 x는 1은요 여기에 있다고 합시다 여기에 이렇게 x는 1이라는 직선이 있어요 자 우리가 구하고 싶은 넓이는 요건데요 우리가이 넓이를 일단 직접 구하지는 못해요 지금 직접 구하지 못하니까 이거를 어떻게 하냐 우리가 쪼개는 겁니다 제가 이거랑 유사한 넓이를 구하기 위해 얘를 한 5등분 해 볼게요 이렇게 이렇게 5등분을 해서이 직사각형들의 넓이의 합을 구해 보도록 하겠습니다 자 그러면 우리가 5등분을 했으니까 여기 한 칸에 가로 길이는 뭐예요 한 칸에 가로 길이는 각각 5분의 1이죠 자 그러면 우리가 첫 번째 직사각형요 직사각형의 넓이를 구하면 저 직사각형의 넓이는 5분의 1 곱하기 우리가 요거를 fx라고 했을 때요 f에다가5분의 1을 집어넣은 거랑 똑같죠 왜냐 f에다가 5분의 1을 집어넣은게 바로 여기 함숫값 즉 직사각형의 높이니까 자 두 번째 직사각형 넓이를 구할 건데요 마찬가지로 가로 길이는 1/5입니다 세로 길이는 뭐예요 세로 길이는 바로 f의 5분의 2죠 자 5분의 2는 어디서 나왔어요 우리가 두 번째 칸이니까 x좌표가 5분의 2구요 그 5분의 1을 집어넣었을 때 나오는이 길이이 길이가 높이죠 자 세 번째 그러면 직사각형은 우리가 이렇게 쓸 수 있겠네요 5분의 1 곱하기 f의 5분의 3 자 5분의 1 곱하기 f의 5분의 4 + 1/5 곱하기 f의 5분의 5 이게 제가 빨간색으로 그려놓은 직사각형 넓이들의 합입니다 그러면 얘를 우리가 시그마를 이용해서 표현을 할 수가 있어요 k는 1부터5까지 5분의 1 곱하기 f의 5분의 k로 우리가 표현을 할 수가 있죠 자 그러면 우리가 이거를 5개로 나누는 거는 부족해요 n개로 나눴다고 해봅시다 자 n개로 나누면요 여기 한 칸 가로 길이가 뭐가 되겠어요 여기 한 칸 가로 길이가 1을 n개로 나눴으니까 n분의 1입니다 1/n이고 첫 번째 칸은 5분의 1/n이 될 거예요 자 그리고 두 번째 직사각형은 1/n x 가로 길이 n분의 1이고 세로 길이 f에 n분의 2겠죠 두 번째 칸이니까 자 쭉 가서 n분의 1 곱하기 f의 n분의 n이에요 이게 바로 n등분의 스테인 넓이 제가 sn이라고 할게요 sn입니다 자 이거는 시그마를 이용해서 표현을 해주면요 k는 1부터 n까지n분의 1 곱하기 f의 n 분의 k죠 자 그런데 우리가이 도형의 넓이를 정확하게 구하기 위해서는이 도형의 넓이를 정확하게 구하기 위해서는 어떻게 해야 된다고요 n등분했을 때이 n을 무한대로 보내야 되는 거예요 그래서 n을 무한대로 보낸 리미트 sn을 구해주면요 n이 무한대로 가는 리미트에서 시그마 k는 1부터 n까지 게이는 1부터 n까지 n분의 1 곱하기 f의 n분의 k구요 지금 f의 n분의 k가 fx는 x²이기 때문에 이렇게 계산을 할 수가 있죠 개인의 1부터 n까지 n분의 1 곱하기 n의 제곱 분의 k의 제곱이요 자 이때 우리가 시그마는 K 값이 변하는 거니까 이렇게 정리할 수 있어요 n의 3제곱 분의 1 곱하기 시그마k는 1부터 n까지 k 제곱 자 n³ 어디서 나온 거예요라고 n제곱 곱해서 밖으로 뺀 겁니다 자 그러면 시그마 k 제곱을 계산하면 뭐예요 6분의 1 n의 n + 1의 2n+1이죠 [음악] 자 우리가 이렇게 넓이를 우리가 넓이를구분구적법을 이용해서 리미트와 시그마를 이용해서 구할 수가 있었죠 그런데 우리가 도형의 넓이는요 도형의 넓이는 적분을 통해서도 구할 수 있다 그랬어요 그러면 우리가 지금 한이 구분구적법과 적분인과의 그 연관성이 있는 겁니다 자 그러면 그 연관성에 대해 좀 볼 건데 우리가 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 대해 볼 건데요 자 우리가 요렇게 생긴 fx와 이렇게 생긴 fx와 x는 a라는 직선과 x는 b라는 직선과 x축이 만들어내는 이도형의 넓이를 구한다고 해봅시다 그런데 구분구적법을 이용해서 구할 거예요 자 우리가이 직사각형을 n개로 쪼갠 거고요 n개로 쪼갠 거고 그러면 우리가 여기 직사각형 가로의 길이는 뭐가 되겠어요 우리가 여기서부터 여기까지의 길이는 B - a인데 n개로 쪼갰으니까n등분했으니까 직사각형 하나에 가로 길이는 b-a 나누기 n이 되는 겁니다 자 그러면 우리가 이번엔 새로 길이를 구할 건데 자 여기 있는 두 번째 직사각형의 세로 길이를 구한다고 해봅시다 그러면 우리 여기에 y 좌표와 같아요 y 좌표와 같고 여기에 x좌표를 구할 건데 a에서 가로 길이가 두 칸 앞으로 왔죠 그러면 제가 여기에 x좌표를 a + 자 n분의 b-a가 괄호 길이에요 그게 몇 칸 왔어요 두 칸 맞죠 그러면이 세로의 길이는 여기서부터 여기까지 세로의 길이는 어떻게 찾을 수 있는 거예요 세로 길이는 f의 a+nb-a * 2인 겁니다 그럼 만약에 t번째면 우리가 여기다가 k를 곱해주면 되겠죠 자 그러면 우리가 이거를 리미트와 시그마를 이용해서 나타내볼게요 자 그래서 도형의 넓이는 n이 무한대로 가는 리미트에서 자 도형 n개를 합할 거고요 k는 1부터 n까지 더할 겁니다 자 직사각형 세로 길이는 뭐라 그랬어요 f의 a+b-a / n 곱하기 K 자 그리고 직사각형 가로 길이 n분의 b-a입니다 자 우리가 그러면이 식을 계산을 하면 뭐가 나오는 거예요 바로이 도형의 넓이가 나오는 겁니다 얘는 무한대로 보냈으니까 이도형이 넓이가 나오는 거예요 자 그런데 우리가 여태 배운이 정적분에서 이두용의 넓이를 어떻게 구한다고 배웠어요 정적분 인테그랄 a에서 b까지 fx를 적분하면 우리가 넓이가 나온다 그랬죠 그래서 우리가 이렇게 급수로 구한 시카고 인테그랄을 써서 나타낸이 정적분식하고같아지는 겁니다 둘 다 넓이를 나타내는 거니까 그래서 우리가이 식을 기억을 해야 되고요 이 리미트 시그마를 이용해서 나타낸 급수식을 이렇게 인테그랄을 이용한 적분식으로 바꿀 수 있어야 됩니다 자 그러면 우리가 그 바꾸는 연습을 하기 전에 어떤 거를 봐야 되냐 첫 번째 우리가 fx를 찾아야 돼요 피적분함수를 찾아 줘야 됩니다 비석분 함수를 찾아 줘야 되고요 그리고 적분 구간을 찾아 줘야 돼요 자 적분 구간 어떻게 찾아요 우리가 요렇게 F 안에서 a+ a+에서 a 값을 찾을 수 있고요 n분의 b-a에서이 b-a 있죠 여기서 b-a 값을 가지고 두 개를 가서서 b를 구할 수가 있습니다 자 항상이 n분의 k와 n분의 k와 여기 있는 분모에 있는 애는 고정이에요 자 얘네는 고정입니다 자 그러면 예제의 몇 개 한번풀어볼게요 자 제가 예시를 몇 개 가져왔는데 시그마 애니 무한대로 가는 리미트에서 n이 무한대로 가는 리미트에서 시그마 k는 1부터 n까지 f에 2K 곱하기 n분의 2라고 하겠습니다 자 얘를 인테그랄로 바꿀 거예요 지금 a+가 여기 앞에 있어요 없어요 없죠 그러면 a는 0이고 요게 뭐라 그랬어요요 값이 b-1이라 그랬죠 b-a입니다 따라서 적분 구간은 0부터 2구역 fx를 그대로 써주면 됩니다 자 n이 무한대로 가는 리미트에서요 이번에 시그마케는 1부터 n까지 f의 1 + n 분의 ok예요 곱하기 n분의 5 그러면 지금 a가 뭐예요 a가 1이죠 그리고 b-a는 몇이에요와 5가 똑같이 들어가 있네요 b-a는 옵니다 그러면 우리가 적분 구간은 1부터 b는 뭐예요 6이죠 1부터 6까지 fxdx로 계산을 할 수가 있습니다 자 하나만 더 해볼게요 n이 무한대로 가는 리미트에서 시그마게 있는 1부터 n까지 f의 1 플러스 n분의 2K 곱하기 n분의 1이에요 자 그러면 여러분이 여기서 어 여기서 a가 1이고 b - a가 2니까 우리가 적분 구간에 1부터 3이라고 하면 되겠고 1부터 3까지 fxtx라고 쓰면 끝나겠구나'가 여기만 있는게 아니라 여기도 있죠 두 개가 똑같이 맞춰져야 됩니다 근데 얘는 지금 2라고 써 있는데 얘는 1이라고 써있죠 그러면 우리가 이걸 어떻게 해 줘야 돼요 2를써주고 2분의 1을 곱해야 되죠 그러면 똑같아졌네요 똑같아졌고 여기 새로 생긴 이분의 1을 앞에다가 이렇게 곱해주면 됩니다 자 그러면 우리가 개념인지 한번 보도록 할게요 자 이번엔 첫 번째 문제로 자인이 무한대로 가는 리미트에서 시그마 k는 1부터 n까지 자 n분의 k의 3 제곱 곱하기 n분의 1이라고 되어 있어요 자 그러면 우리는 지금 fx가 뭔지도 찾아야 됩니다 fx가 뭐예요 fx를 x의 3제곱이라고 할게요 그러면 우리가 요거를 이렇게 쓸 수 있네요 n이 무한대로 가는 리미트에서 지금 k는 1부터 n까지 f의 n분의 k를 집어넣은 거고 자요 부분은 f의 n분의 키를 집어넣은 거예요 그리고 n분의 1은 그대로 있죠 자 그러면 얘를 정적분을 이용해서 구해 줄 건데 자 a값 뭐예요 F 안에 더해진게 없네요 그럼 0이고자 b-a 값이 몇이죠 b-a 값이 지금 1이네요 그래서 b값은 1입니다 이렇게 fxdx 해주면 되고요 인테그랄 0에서 1까지 x^3 dx고 저 분해를 해주면 4분의 1 x⁴에 0부터 1까지니까 4분의 1이라고 계산이 됩니다 자 이번에 2번 문제 볼 건데 어 지금 애니 무한대로 가는 리미트에서 시그마가 안 써 있어요 자 시그마가 안 써 있는데 코사인 분의 파이 코사인 1/n 이런 식으로 표현이 되어 있습니다 자 그러면 우리가 이거를 이렇게 표현을 할 수가 있어요 개인은 1부터 시그마 n까지 n분의 1 곱하기 코사인 n분의 K 파이라고 이렇게 쓸 수가 있습니다 자 그럼 fx를 뭘로 잡아줄까요 fx를 자 우리가 여기서 fx를잡기 나름이에요 fx를 코사인 x라고 잡으면요 코사인 x라고 잡으면 얘를 n이 무한대로 가는 리미트에서 시그마 k는 1부터 n까지 n분의 1 곱하기 f의 n분의 K 파이를 넣은 거죠 1/n을 넣은 겁니다 우리 코사인 x니까 x에다가 요거를 넣은 거예요 그러면 우리가 A 값은 뭐예요 일단 A 값은 0이고 B - a가 뭐가 돼야 돼요 지금 파이가 돼야 되죠 파이가 돼야 됩니다 그런데 여기 지금 파이가 똑같지 않으니까 파일을 곱해주고 파이분의 1도 곱해 줄 겁니다 그러면 우리가 요거를 적분 구간을 0부터 파이까지라고 a값 B 값을 구할 수가 있고요 바이 분의 1의 FX 즉 코사인 X dx입니다 자 그러면 π/2곱하기 코사인 x 적분하면 sin x고요 여기다 0부터 파이까지 사인 파이 마이너스 사인 파이 마이너스 사인 0이에요 그러면 0 - 0이니까 그냥 0이 나오겠네요 자 그런데 fx를 제가 좀 다르게 잡아 볼게요 fx를 코사인 파이 x로 한번 잡아 보겠습니다 코사인 파이 액수를 잡으면요 우리가 n이 무한대로 가는 리미트에서 시그마 k는 1부터 n까지 지금 n분의 1 곱하기 자 f의 뭐예요 f이 그냥 n분의 k죠 지금 n분의 파이 k니까 여기 들어오는게 1/n이니까 여기 파이가 있어서 x에다가는 n분의 k만 집어넣으면 되는 거예요 자 그러면 A 값은 뭐예요 a는 0이고 b-a는 1이네요 그러면 우리가 이렇게 쓸 수 있죠0부터 1까지 FX DX 그러면 우리가 fx는요 지금 코사인 파이 x니까 코사인 파이 x 적분하면 뭐 나와요 다 2분의 1 사인 파이 x 그리고 0부터 1까지 자 그럼 1/5 * sinπ - π/2 곱하기 sin 0이고요 마찬가지로 0이 나옵니다 자 최종적으로 계산하는 식도 우리가 똑같죠 음식도 똑같습니다 우리가 fx를 틀리지만 않게 잡아주면 다양하게 잡아줄 수가 있어요 꼭 어 이걸까 이거일까 고민하지 말고 일단 계산을 해 보면서 우리가 숙달을 하시기 바랍니다 자 오늘 배울 내용은 여기까지고요 우리가 오늘 배운 내용은 꽤 어렵습니다 우리가 그 정적분과 급수 사이에 관계를 나타내는시기 복잡하기 때문에 우리가 좀 많은 공부가 필요하고요 개념 복습하고 문제 풀면서 내용 꼭 정확하게 이해하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다감사합니다 [음악]