[수학대왕] 미적분 개념강의 : 적분법 - 도형의 넓이와 부피

수학대왕 [음악] 자 오늘 아스팔 내용은 도형의 넓이와 부피입니다 우리가 도형의 넓이와 부피 구하는 방법을 배워 볼 건데요 일단은 우리가 곡선과 좌표축 사이의 넓이인데 자 여기서 위에 나오는 곡선 y는 fx와 x축 그리고 두 직선 x는 a x는 b로 둘러싸인 도형의 넓이 구하는 거는 우리가 수학 2에서도 학습을 했던 내용입니다 똑같은 내용이에요 자 보면 x는 a면 요렇게 된 직선이고 x는 b면 이렇게 생긴 직선이에요 그리고이 곡선과 x축으로 둘러싸인 부분은이 부분입니다이 부분하고이 부분에 넓이를 구할 건데 우리가 주의해야 될 점이 하나가 있어요 우리가 지금 fx가 위에 있는 부분은 즉 양수인 부분은 그냥 그대로적분을 해주면 넓이가 나오는데 fx가 음수인 부분을 우리가 정적분으로 값을 구하면 음수가 나옵니다 그래서 우리가 넓이를 구할 때는 항상이 와인은 fx의 절대값을 씌워서 이렇게 절댓값 FX dx의 값을 구해줘야 되는 거예요 자 그러면 만약에 여기 좌표가 여기 좌표가 c예요 그러면 우리가 요거를 구할 때 이렇게 인테그랄을 나눠주죠 a부터 c까지는 fx가 양수니까 그냥 FX dx라고 해주고요 그리고 c에서 b까지는 c에서 b까지는 음수니까 - afx dx라고 이렇게 계산을 하면 넓이를 구할 수가 있습니다 자 우리가 이제 밑에 있는 내용은 새로 배우는 내용인데 자 함수 gy에요 GY 이게 뭐냐면 x에 관해서 정리된 식입니다 x에 관해서 정리된 함수고 얘는어떤 x값을 집어넣으면 x값을 집어넣으면 y가 나오는 함수죠 얘는 y 값을 집어넣으면 x값이 나오는 함수인 거예요 자 얘가요 마찬가지로 다친 구간 C 콤마 뒤에서 연속이고 곡선 x는 gy와 y축 그리고 y는 C y는 d로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하려고 그러면 자 어디를 구하는지를 좀 먼저 볼게요 자 얘는 y=c랑 y는 d니까 이렇게 x축의 평행한 직선입니다 이렇게 되고요 여기는 y는 D 여기는 c 자 그리고 곡선이 이렇게 생겼고 y축으로 둘러싸인이 부분 넓이를 구하는 거예요이 부분하고이 부분하고 자 구하는 방식은 크게 다르지 않아요 우리가 인테그랄을 이용해서 구해주는데 얘는 y에 관해서 적분을 해주는 겁니다 y에 관해서 접근을 해주는 거니까 y 값의범위 즉 적분 구간이 c에서 d까지인 거예요 g에서 d까지고 우리가 GY 즉 y에 관한 식을 이렇게 비접분함수로 넣어주면 됩니다 그런데 얘도 마찬가지로이 x값이이 x 값이 양수일 수도 있고 음수일 수도 있어요 그래서 절대값을 이렇게 씌워서 우리가 항상 양수가 나오도록 접근을 해줘야 정확하게 넓이가 나옵니다 요것만 조금 주의하면 될 거 같고요 개념 예제 한번 풀어보도록 할게요 그래프와 x축 그리고 x는 6분의 파이 x는 2분의 3 파이로 둘러싸인 도역이 넓이를 구하는 문제고요 우리가 일단은 y는 sinx의 그래프를 0부터 2파이까지만 그래프를 이렇게 그리겠습니다 그리고 x는 6분의 파이면 어디예요 여기쯤이 있겠네요 6분의 파이 그리고 x가 2분의 3 파이면요렇게 생긴 부분이죠 2분의 3파이 그랬을 때이 곡선과 x축으로 둘러싸인 부분은요 부분입니다 그러면이 넓이를 구하는 건데 지금 여기는 여기는 양수에요 그래프가 양수기 때문에 그냥 자 s1으로 구할 거고요 여기 음수인 부분은 제가 s2라고 구할 건데 자 s1과 구해보겠습니다 s1은요 적분 구간이 6분의 파이부터 어디까지예요 자 여기까지인데 여기는 지금 우리가 파이라는 거를 알고 있습니다 그래서 6분의 파이부터 파이까지 sinx DX 적분하면 - 코사인 x가 나오고요 자 6분의 파이부터 파이까지니까 파일을 대입하면 - 코사인 파이 마이너스 마이너스 코사인 6분의 파이입니다 그러면 우리가 코사인 파이는 -1이니까 + 1이고요코사인 6분의 파이는 2분의 루트 3인데 여기가 이렇게 플러스로 바뀌어서 우리가 플러스 2분의 루트 3이라고 계산을 할 수가 있습니다 자 이번엔 s2를 구할 거고요 s2는 b부터 2분의 3파이까지 우리가 sinx가 아니라 마이너스 사인 x를 적분하는 거죠 그래프가 음수기 때문에 그러면 자 - sinx는 적분했을 때의 코사인 x가 나오고요 자 파이부터 2분의 3파이니까 2분의 3 파이를 대입하면 코사인 2분의 3파이 그리고 파일을 대입하면 코사인 파이 자 그러면 코사인 1/2의 값은 우리가 0인 거 알고 있고요 코사인 파이는 +1입니다 따라서의 넓이는 1이에요 그래서 우리가 구하고 싶은 전체 넓이를 s라고 하면요 s1과 s2를 더한 거고 두 개를 더하면이 플러스 2분의 루트 3이라고 우리가구할 수가 있습니다 자 2번 문제 한번 볼게요 [음악] 1부터 2까지입니다 여기서부터 여기까지 여기서부터 여기까지 1부터2까지 lny DY 이렇게 적분을 하면 우리가 구하는 넓이를 찾을 수가 있습니다 자 lny를 적분하면 우리가 요거는 부분 적분으로 계산을 해줘야 되고요 앞에 1이 있다고 생각을 해주고 자 1이 지금 미분된 거니까 적분을 해주면 ylny - 인테그랄 1부터 2까지 y 그대로 있고요 lni 미분하면 y입니다 그러면 여기가 1이니까 우리가 이거는 ylny - y 이렇게 계산을 할 수가 있겠네요 자 2를 먼저 대입을 하면요이 ln이구요 1을 대입하면 1ln1입니다 -2를 대입하면 2이를 대입하면 1 빼 줘야 되겠죠 우리 lne가 지금 1이니까 우리가 요거를 계산을 해주면 요거는 0이구요 남는 거는 플러스 1 하나밖에 없습니다따라서 구하는 넓이는 1입니다 자 넘어가겠습니다 이번엔 두 곡선 사이의 넓이인데요 자 함수 fx와 gx가 친구가 a에서 b까지 a23 B 이하에서 연속일 때 두 곡선 y는 fx와 y는 GX 그리고 x는 a x는 b로 둘러싸인 도형의 넓이 구하는 방법을 우리가 요것도 수학2에서 배웠습니다 자 y는 fx라는 그래프가 이렇게 생겼고요 FX 그래프가 이렇게 생겼고 GX 그래프가 y는 GX 그래프가 이렇게 생겼습니다 그리고 x는 a가 요렇게 있고요 x는 b가 이렇게 있는데 우리가 여기 넓이가 구하고 싶어요 넓이를 구하고 싶은데 자 우리가 넓이를 구할 때는요 함수에서 함수를 뺀 거를 적분해 주면 됩니다 그런데 중요한게 뭐예요 항상 큰 거 해서작은 거를 빼 줘야 돼요 근거해서 작은 거를 빼 줘야 되고 지금 fx가 더 큰 구간은 상관이 없는데 gx가 더 큰 구간에서는 gx-fx를 해줘야 되니까 양수가 나와야 되는 거고요 양수가 나오기 위해서 우리가 이렇게 절대값을 씌워서 적분을 해주면 넓이를 구할 수가 있습니다 그래서 우리가 실질적으로 계산을 할 때는 이렇게 도그래프가 만나는 교점의 x좌표를 찾고요 저는 그 좌표를 c라고 할게요 그 좌표를 찾아서 인테그랄을 쪼개서 a부터 c까지 해서는 fx가 위에 있으니까 FX - GX dx로 계산을 해주면 되고요 자 c부터 b까지는요 c부터 b까지는 누가 크니까 gx가 크니까 GX - FX dx라고 계산을 해주는 거예요 자 뭘 찾아야 된다고요 구글의 대소관계가 바뀌는 x좌표를 찾아야 된다고요 자 밑에 것도 똑같은데요 두함수 fi와 gy가 다 친구가 c상 di에서 연속일 때 x는 f y x는 gy라고 함수가 주어져 있고요 y=cy = d로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 거예요 자 그러면 제가 fy는 파란색으로 표시를 할 거고요 gy는 빨간색으로 표시를 하겠습니다 이렇게 생겼어요 자 이렇게 표시되어 있을 때 제가 두 그래프가 만나는이 교점의 y 좌표를 2라고 하면요 자 y가 C 이상이 이하일 때는요 f랑 g중에 누가 더 커요 f랑 g 중에 gy가 더 큽니다 gy가 더 크고요 자이 이상 dei 때는요 누가 더 커요 fy가 더 큽니다 그래서 우리가이 넓이를 구하기 위해서는 인테그랄을 이렇게 쪼개는 거예요 c에서 2까지 해서는 큰 거에서 작은 걸 빼야 되니까gy-af y DY 플러스 2부터 d까지의 선은 2부터 d까지 해서는 afy-gy by 이렇게 넓이를 구해줄 수가 있어요 넘어가서 한번 개념 예제 풀어보도록 하겠습니다 자 두함수 y는 sinx와 코사인 x의 그래프가 두 직선 x는 0과 x는 1/2로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제고요 제가 0부터 2분의 파이까지만 sinx랑 코사인 x 그래프 그릴게요 자 사인 x 그래프는 이렇게 생겼죠 y는 sinx 자 코사인 x 그래프는요 이렇게 생겼습니다 y는 코사인 X 자 그랬을 때 두 그래프가 만나는이 교점의 x좌표 뭐예요 여기는 우리가 4분의 파일 때 sin 값과 코사인 값이 같죠 그래서 교점의 기사표는 4분의 파이고요 자도형의 넓이를 구해 줄 건데 지금요 부분을 말하는 겁니다 x는 0은 이렇게 생겼고 x는 2분의 파이는 이렇게 생겼으니까 우리가 구하는 넓이는 여기랑 여기고요 제가이 넓이를 s1이라고 할 거고이 넓이를 s2라고 하겠습니다 그러면 s1을 구할 때는 자 적분은 0부터 4분의 파이까지 할 건데 싸인에서 코사인을 빼요 코사인에서 사인을 빼요 코사인이 더 크니까 코사인 x-sinx를 적분하는 겁니다 자 코사인 x-sinx 접근할 거고요 코사인 적분하면 sinx - sinx 적분하면 - 코사인 x고요 플러스 플러스가 됩니다 0부터 4분의 파이까지고요 4분의 파이를 대입하면 1/2 + 2분의 루트 이고요 0을 대입하면 0 그리고 플러스 1이어서요 이거를 정리하면루트 2 - 1이라고 구할 수 있습니다 자 S1 구했구요 이번엔 s29 해보겠습니다 적분 구간은 4분의 파이부터 4분의 파이부터 2분의 파이까지고요 우리가 지금 둘 중에 누가 커요 사인이 크죠 사인이 크니까 사인 x - 코사인 x를 적분할 거예요 자 sinx 적분하면 뭐 나와요 sinix 적분하면 - 코사인 x 나오고요 - 코사인 x 적분하면 sinx 나옵니다 자 4분의 파이부터 2분의 파이까지구요 2분의 파이를 대입하면 2분의 파일을 대입하면 -0 -1이고 - 자 -4분의 파이를 대입하면 우리가 코사인 4분의 파이니까 코사인 4분의 파이라서 2분의 루트 마이너스 사인 4분의 파이라서 2분의 루트 2가 돼요 그러면 -1하고 +루트 2가 돼서요 최종적으로 루트 2 - 1이라고 정리가 됩니다 따라서 우리가 구하는 넓이를 s라고 하면요 s1과 s2의 합을 구하고 싶은 거고요 우리가 루트 2 -1 + 루트 2 -1이기 때문에이 루트 2 - 2라고 구할 수가 있습니다 자 2번 문제 풀어볼게요 자 y는 2의 X 제곱과 Y = 2의 -x² 그래프와 y는 2로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제인데 자 y는 2의 x 제곱 이렇게 그릴 수 있고요 자 y는 2의 마이너스 x 제곱 그래프는 그래프를 이렇게 그릴 수가 있습니다 자 구글의 무슨 관계에요 일단 y축 대칭입니다 y축 대칭이고요 지금 우리가이 두 그래프와 y는 2로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라는 건 요만큼 구하라는 거예요 요만큼함수는 우리가 큰 거에서 작은 걸 빼 줘야 되니까 lny - lny dy입니다 그러면 인테그랄 1에서 2까지 2lny dy고요 우리가 요거는 마찬가지로 부분 접근을 통해서 계산을 해야 됩니다 우리가 여기 앞에 2를 이렇게 밖으로 빼주고요 1이 곱해져 있다고 생각을 하는 거예요 그러면 이렇게 쓸 수가 있죠 y lny 이래서 2까지 마이너스 인테그랄 1에서 2까지 y 곱하기 y DY 자 그러면 2 곱하기 자 2를 대입해주면 2ln이고요이를 대입하면 0입니다 - 자 얘를 계산하면 1이고요 우리가 이렇게 y고 1부터 2까지 대입을 해줘야겠네요그러면 계산을 했을 때 2 그리고 -2 + 1이 돼서요 남는 건 2밖에 없습니다 그래서 답은 답은 우리가 2라고 즉 넓이가 2라고 구할 수가 있는 거예요 우리가 여기서 하나 더 알고 가야 되는 점이 있다면 얘가 지금 y축 대칭이기 때문에 우리가 꼭 이렇게 함수에서 함수를 빼지 않고요 이렇게이 부분 이 부분에 넓이를 구해서이 부분에 넓이를 구해서 2배를 해줘도 똑같이 답이 나옵니다 자 요거는 한번 강의가 끝나고 직접 해보시기 바랍니다 넘어가겠습니다 자 이태도형의 부피인데요 자 우리가 x축이 있고 fx가 이렇게 생겼을 때 여기서부터 여기까지 넓이를 구하기 위해서 여기서부터 여기까지 넓이를 구하기 위해서 어떻게 계산을 해줬어요 여기가 a고 여기고 b라 그러면 우리는 인택을 할a부터 b까지 fxdx를 통해서 넓이를 구했습니다 우리가 급수에서 급소에서 넓이를 어떻게 표현했어요 이거를 여러 개의 직사각형으로 쪼개서 여러 개의 직사각형으로 쪼개서 우리가이 나눠진 직사각형의 개수를 무한대로 보내서 넓이를 구할 수 있다 그랬죠 그게 바로 이거라 그랬어요 넓이가 자 부피도 똑같은 방식으로 우리가 구할 건데 우리가이 도형을 잘게 쪼개줍니다 이렇게 여러 개의 원판으로 쪼개요 그러면이 원판을 모두 더하면이 원판을 모두 더하면 우리가이 도형의 부피가 나오겠죠 자 원판이라는 거는 사실 원기둥이고요 원기둥이고이 원기둥에 개수를 무한히 늘리면 우리가이 도형의 부피를 구할 수 있는 겁니다 즉 우리가 결국은이 각 단면의 넓이를 합하는 거니까 이렇게 구할 수 있는 거예요인테그랄 a에서 b까지 sxd였습니다 이때 휘적분함수로 들어가 있는이 sx는요 단면에 넓이를 나타내는 함수예요 단면의 넓이 그래서이 단면의 넓이를 적분을 하면 부피를 얻어낼 수 있다 우리가이 정도로만 알고 공식을 활용해 주면 돼요 자 그러면 개념 예제 볼 건데 자 높이가 6인 입체 도형이래요 그리고 밑면으로부터 거리가 x인 지점에서 밑면의 평행한 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 x인 정삼각형이래요 자 말이 너무 어려운데 제가 일단은 평면을 하나 좀 그릴게요 이렇게 생긴 평면이 있고요 지금이 평면에서 높이가 한 3인 지점에 밑면이 어떻게 생기는지 보겠습니다 자 높이가 3인 지점에 어떤 모양이에요 정삼각형이에요 정삼각형인데 밑면의 평행한 평면이고요밑면의 평행한 벽면이고 한 변 길이가 x라 그랬으니까 높이가 3이면 한 변 길이도 3이죠 그래서 이렇게 생긴 정삼각형이이 밑면인 겁니다 높이 3인 지점에서 높인 3인 지점에서의 단면인 거예요 밑면이 아니라 단면 한 변 길이가 3인 분변 길이가 3인 정사각형 그러면 높이가 만약에 오면 어떻게 되겠어요 높이가 만약에 5예요 그러면 더 큰 정삼각형이 생기겠죠 더 큰 정삼각형이 생길 겁니다 자 근데 높이가 최대 몇이에요 우리가 6인 입체 도형이니까 6까지 그릴 수가 있습니다 정삼각형은 자 그러면 도형을 대충 추정하면 우리가 이렇게 생긴 이렇게 생긴 장갑부를 뒤집어 놓은 형태의 도형이란 것을 우리가 알 수 있고요 우리가 앞에서 배운 공식을 활용해서 우리가 부피를 구해 줄 건데 a부터 b까지단면을 나타내는 함수 sx를 적분하는 겁니다 자 우리가 단면이요 단면이 지금 어떻게 표현되어 정삼각형으로 표현돼요 자이 정삼각형이 지금 높이가 x라고 하겠습니다 그러면이 정삼각형의 한 병 길이도 x죠 그러면이 면의 넓이는 뭐예요 4분의 루트 3x²입니다 우리가 정삼각형 한 변 길이가 x일 때 넓이는 1/4√3x²이죠 그러면 우리가 높이가 x일 때에 길이가 x고 넓이가 65인 거예요 즉 단면 넓이를 나타내는 sx는 4분의 루트 3x²인 겁니다 그래서 B 적분함수는 4분의 루트 3 x 제곱이고요 자 x가 어디서부터 어디까지 자 여기 끝에 x는 0이고요 가장 큰 정삼각형 우리가 x는 6입니다 그래서 적분 구간은 0부터 6까지예요 자 이거를 접근을해주면 3분의 1 곱하기 x^3이고요 우리가 4분의 루트 3 원래 있었죠 자 0부터 6까지니까 4분의 루트 3 곱하기 3분의 1 곱하기 우리가 6을 대입하면 216입니다 그래서 우리가 요거를 72로 약분이 되고요 바로도 약분을 해주면 따라서 답은 18 루트 3입니다 우리가 이렇게 붓기도 적분을 통해서 구할 수가 있어요 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 넓이와 부피 구하는 방법을 배워봤습니다 우리가 수학초에서 한번 배웠던 내용이지만 추가되는 내용도 많고요 함수 자체도 어려워졌기 때문에 복습하면서 높고 내용 꼼꼼하게 공부하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]