[수학대왕] 미적분 개념강의 : 적분법 - 속도와 거리

수학대왕 [음악] 자 오늘 학습할 내용은 속도와 거리입니다 자 속도가 거리는 우리가 이제 미분해서도 마지막 단원에 배운 적이 있어요 배운 적이 있는데 우리가 어떤이 위치와 속도의 관련성에 대해 배웠어요 자 위치를 가지고 우리는 속도를 구할 수 있다고 배웠고 어떻게 구할 수 있죠 미분을 통해서 우리는 속도를 구할 수가 있었습니다 자 그러면 우리가 이제 속도를 가지고 위치를 구할 수 있겠네요 어떻게 구하죠 적분을 통해서 우리는 속도를 적분해서 위치를 얻어낼 수가 있습니다 자 그래서이 내용을 조금 정리를 할 건데 자 수직선 위를 움직이는 점 p에 시각 티에서의 속도가 vt구요 자 t는 a에서의 위치 x0을 알고있어요 액티는 a에서 위치가 x0라는 그걸 하나 알고 있는 겁니다 자 그럴 때 자 2번을 좀 먼저 보도록 할게요 a에서 d는 b까지 우리가 위치의 변화량은요 위치의 변화량은 자 얼마나 변했느냐고 이거는 그대로 인테그랄 a에서 b까지 속도 vt를 이렇게 적분해 주면 됩니다 자 t는 a에서 d는 b까지 이렇게 위치의 변화량을 우리가 속도를 적분을 해주는 거예요 자 그러면 시각 t에서 시각 t에서 위치 x가 만약에 궁금해요 자 그러면이 위치 x는 어떻게 구하냐 일단은 우리가 요렇게 시각 a에서 지각 a에서의 위치 a에서 위치 x0 에다가 더해주는 거예요 뭘 더 해줘요 a에서t까지 윗집 변화량을 더해주는 겁니다 우리가 알고 있는 위치 x0 에다가 그 후로 변한 양을 더해주는 겁니다 즉 인테그랄 a에서 t까지 vt dt를 더해서 우리가 위치 x를 얻어낼 수가 있습니다 자 그러면 제가 하나 예시를 좀 들어볼게요 자 t는 0에서 d는 0에서 위치가 0이에요 위치가 0이고 만약에 시각 t에서의 위치 x를 구하고 싶으면 x는 어떻게 구할 수 있어요 자 뒤에서 t가 0에서의 위치 0에다가 인테그랄 0부터 d까지 vt dt로 구할 수 있겠죠 그러면 0에서 d까지 vt dt가 됩니다 자 마지막 3번 볼 거고요 t는 a에서 d는 b까지 점 b가 움직인 거리 s를 구할 때는요 우리가인테그랄 a에서 b까지 절댓값 vt dt로 이동 거리를 구할 수가 있습니다 그럼 우리가 이동걸이랑 위치의 차이에 대해 분명히 알아야 되는데 만약에 점 p가 점 b가 이렇게 움직였다고 해봅시다 앞으로 5만큼 갔어요 앞으로 5만큼 갔는데 뒤로 3만큼 왔습니다 뒤로 3만큼 왔어요 그러면 우리가 위치는 얼마나 변했어요 위치는 플러스 이만큼 변했습니다 여기에서 여기까지 변한 거니까 +2만큼 변한 거예요 자 이렇게 움직이는 동안 자 5만큼 앞으로 가는 동안 우리가 속도는 양수구요 뒤로 선만큼 오는 동안 속도는 음수예요 그래서 우리가 위치를 구할 때는이 속도의 부호를 고려해야 되기 때문에 고려해야 되기 때문에 그냥 우리가 그냥 인테그랄vt dt로 구하고요 뭐 만약에 t는 a에서 t는 b까지면 요렇게 구하죠 a에서 b까지 vt dt로 자 근데 이동 거리를 구할 때는요 이동거리를 구할 때는 우리가 여기가 지금 속도가 양수고 음수고 상관없이 순수하게 움직임 거리 요렇게 이동한 거리를 계산하는 거기 때문에 우리는 이동거리를 구할 때는 다 양수로 바꿔서 이렇게 절대값 vt dt로 우리가 구해줘야 됩니다 자 우리가 이동거리와 위치 차이를 분명히 알아야 돼요 자 일단 넘어갈게요 넘어가서 우리가 관련된 개념 예제를 좀 하나 풀어보도록 할 건데요 자 원점에서 출발하여 원점에서 출발하여라는 말은 지금 무슨 말이냐 위치가 위치가 0이라는 소리입니다 자 그렇게 수직서위를 움직이는 점 피해 지각 t에서의 속도 vt가 2의 t^2 + 2p래요 자 1번 시각 t에서의 점피의 위치를 구하라고 했고요 우리가 위치를 구할 때는 자 위치를 x라고 하면 자 원점에서 위치가 0이니까 0 + 0부터 d까지 vt dt로 구할 수가 있죠 우리가 0초에서의 위치가 0이니까 이렇게 되는 겁니다 자 그러면 인테그랄 0에서 t까지 vt는 2의 t^2 + 2t구요 우리가 요거를 계산을 해주면 t^2 + t^2 0부터 t까지 자 t를 대입하면 2의 t^2 + d^2이고 0을 대입하면 1입니다 그래서 이렇게 우리가 위치 x를 이렇게 식으로 구할 수가 있습니다 자 2번 시각 키는t는 0에서 t는 1까지 점 p가 움직인 거리를 구하래요 자 거리를 구할 때는 우리가 어떻게 한다고요 거리를 레스라고 하면 인테그랄 0에서 1까지 절대값 vt입니다 자 절대값 vt dt까지 자 그러면 우리가이 절댓값 안에 들어가 있는 2의 t^2 + 2t가 양수인지 음수인지를 고려해야 되는데 이에 t 제곱은 어차피 항상 양수고요 어차피 양수고 지금 적분구간 0에서 1까지일 때 2t도 항상 양수죠 이치도 항상 양수기 때문에 우리는 그냥 인테그랄 0에서 1까지 2의 D 되고 + 2T DT요 값을 계산해 주면 됩니다 자 이에 t^2 + d^2이고요 0에서 1까지고 이를 대입하면이 플러스 10을 대입하면 우리가 1이라고 구할 수 있네요 따라서 2라고 계산이 됩니다 자 개념 유지까지 했구요 넘어가 보도록 할게요 자 평면 위에 점이 움직인 거리인데요 좌표평면 위를 움직이는 점 p의 x y의 시각 t에서의 t에서의 위치가 이렇게 x좌표는 x좌표대로 y 좌표는 y 좌표대로 어떤 t에 관한 식으로 나타내어질 때 시각 c는 a에서 b는 b까지 점 p가 움직인 거리 s를 구해 볼 겁니다 자 우리가 그거를 좀 알아보기 전에 이렇게 이렇게 y 좌표가 이런 t에 관한 식으로 표현되어 있을 때 우리가 속력 구하는 법을 배웠어요 자 속력 구하는 방법을 배웠고 그 속력을 v라고 했을 때 자 v는 어떻게 구할 수 있어요 루트 dxdt의 제곱 dxdt의 제곱 플러스DY dt의 제곱 이거를 더해서 루트를 씌운게 속력이라고 우리가 미분해서 배웠습니다 미분 단원에서 마지막에요 내용을 배웠어요 자 그러면 우리가 이걸 가지고 이걸 가지고 이동 거리를 구할 수 있죠 자 움직인 거리 즉 이동거리는 s라고 했을 때 우리가이 s를 어떻게 구할 수 있어요 그대로 적분해 주면 되는 겁니다 어디부터 어디까지 t는 a부터 t는 b까지 루트 dxd의 제곱 플러스 by dt의 제곱 dt요 우리가 이렇게 속력을 구할 수 있으니까 이동 거리도 반대로 이렇게 적분을 통해서 구할 수가 있는 겁니다 자 우리가 여기 조금 헷갈릴 수가 있는데 속력 같은 경우는 우리가 지금 항상 양수로 나와요 양수로 나오기 때문에 앞에서 하는 다르게 굳이 될 때 값의 씌우지 않고 그냥 그대로적분해 두면 되는 겁니다 자 그거에 관한 표현이 이렇게 나와 있는 거고요 우리가 이거를 요렇게 f' 제곱이라고도 표현을 할 수가 있겠죠 똑같은 말이니까요 자 그러면 마지막요 내용을 좀 볼 건데 시각 t는 a에서 d는 b까지 점 p가 움직인 거리는요 자 점 p가 움직인 거리는 자 a 이상 B 이하에서 곡선 x는 fty는 길이와 같다라고 적혀 있어요 우리가 어떤 x는 ft y는 gt라고 표현된 어떤 곡선을 하나 그려낼 수가 있어요 상황에 따라 당연히 곡선은 다르겠죠 뭐 예를 들어 이런 곡선이 그려질 때 여기가 t는 a였고 요 점이 t는 b일 때에요 그러면이 점피가 이렇게 점피가 이렇게 움직인 거리는 이렇게 움직인 거리는결국이 곡선의 길이와 같죠 자 같은 얘기를 하고 있는 겁니다 움직인 거리나 곡선의 길이나 같다라고 하는 거예요 자 그러면 우리가 요번에는 이걸 가지고 일단 개념 예제를 풀어볼 건데 자 좌표평면 위를 움직이는 점 b의 x y의 시각 t에서의 위치가 x는 이렇게 주어져 있고요 y는 t^2이라고 주어져 있습니다 자 t는 0에서 3까지 점 b가 움직인 거리를 구할 거고요 일단은요 뭐를 구해야 돼요 우리가 v를 구할 겁니다 자 vt를 구할 건데 vt는 루트 자 요거를 미분하죠 우리가 미분을 한 - t^2 + 1의 제곱을 해주고요 + t²을 미분한 2d의 제곱을 해줍니다 자 예를 좀 전개를 해주면 루트 안에b의 네제곱 마이너스 2t^2 + 1이고 뒤에는 4t 제곱입니다 따라서 b의 네제곱 + 2D 제곱+1이고요 요거는 우리가 t^2 + 1의 제곱으로 인수분해가 되죠 따라서 d^2 + 1로 계산이 됩니다 자 우리가 구하는 건 거리고요 거리를 s라고 했을 때 인테그랄 자 t는 0에서 t는 3까지니까 0부터 3까지 vtdt 즉 t^2 + 1 dt가 됩니다 자 요거를 적분을 해주면 3분의 1 t의 3제곱 플러스티고요 0부터 3까지고 3을 대입하면 9+3 0을 대입하면 0이네요 따라서 계산하면 12가 나옵니다 따라서 점 p가 움직인 거리는 12죠 자 이번에는 곡선의 길이인데요 x는 a에서x는 b까지 곡선 y = fx의 길이 l은요 우리가 어떻게 구하는지 볼 건데 자 일단은 앞에서 우리가 x는 어떤 t에 관한 ft라고 표현되고 y도 어떤 t에 관한 식 gt로 표현될 때이 [음악] 점 b의 x y가 나타내는 이동 거리는 이동 거리는 결국이 x와 y가 나타내는 곡선 길이랑 같다 그랬어요 두 개가 같다고 그랬는데 그거를 어떻게 구할 수 있다고 했죠 자 시각 t는 a에서 지각 t는 b까지 곡선 길이를 우리가 구할 때는 인테그랄 a에서 b까지 루트 dxdt의 제곱 bxdt의 제곱 DY dt의 제곱 dt로 우리가 구할 수가 있다 그랬습니다 자 그러면우리가 지금 이런 x는 ft y는 gt라고 주어진게 아니라 우리는 지금 y는 fx라는 관계식을 알고 있는 거예요 그럼 이거를 우리가 이렇게 표현을 할 수가 있습니다 x를 t라 그랬을 때 y는 ft죠 그러니까 우리가 이거를 가지고 우리가 앞에서 배웠던 공식을 써주면 곡선의 길이는 a에서 b까지 루트 자 x를 t에 관해 미분을 합니다 미분을 하면 1이 나와요 1의 제곱 더하기 얘는 by dt의 제곱 by dp의 제곱 dt죠 그러면 인테그랄 a에서 b까지 루트 1 플러스 우리가 지금 DY dt의 제곱이니까 F 프라임 t에 제곱이라고 쓸 수 있죠 그리고 마지막에 dt까지 붙여주면 됩니다그런데 우리가 이거를 그냥 x로 쓰는 거예요 a부터 b까지 루트 1+ F 프라임 x의 제곱 dx라고요 그래서 아까 우리가 배운 식에서 아까 우리가 배운 식에서 이렇게 유도가 되는 겁니다 이게 곡선의 길이를 구하는 식이에요 그러면 우리가 이거를 활용을 해서 이거를 활용해서 직접 개념 재질을 풀어 볼 거고요 곡선 길이를 구하라고 했는데 자 제가 이거를 fx라고 하겠습니다 곡선의 길이를 l이라고 했을 때 우리가이 길이 l을 구하는 방법은 인테그랄 마이너스 2부터 2까지 루트 1 플러스 F 프라임 x의 제곱 dx고요 그러면 우리가 F 프라임 x부터 좀 제곱을 해줘야겠네요 자 F 프라임 x를 구하면 뭐예요 우리가이 2분의 2x² + 2n -x제곱을 미분하면 2분의 2의 x 제곱 마이너스 2의 마이너스 x 제곱이죠 자 요거를 좀 정리를 해 줄 건데 제가 좀요 부분만이 부분만 좀 계산을 해 볼게요이 루트 안에 있는 부분만 자 이거를 전개를 해주면 1+ 4분의 2의 2x제곱 마이너스 2 곱하기 2의 x² * 2n -x² + 2의 마이너스 2x제곱이고요 우리가 얘를 통분을 해주면 통분을 해주면 4분의 4 + 2x²이고 얘가 지금 2x² 2n - x² 사라지죠 그래서 -2 + 2n-2x²입니다 따라서 4분의 2x² + 2 + 2의 -2x² 이고요 자 얘가 인수분해가 돼요 2의 x²+ 2의 마이너스 x의 제곱이라고요 자 분모도 2의 제곱이죠 따라서 지금 여기에 루트가 씌워져 있으니까이 루트까지 우리가 이렇게 씌워주면이 루트까지 이렇게 씌워주면 뭐가 나오는 거예요 루트까지 씌워주면 2분의 2x² + 2의 마이너스 x 제곱만 남는 겁니다 자 그러면 우리가 이렇게 쓸 수 있겠네요 인테그랄 마이너스 2부터 2까지 2분의 2x² + 2의 마이너스 x² DX 자 적분해주면요 2분의 2x고 -2n-x 제곱이고요 자이를 대입하면 뭐가 나와요 2를 대입하면 2분의 2의 제곱 -2n-2 제곱 마이너스 이번에 -1을 대입하면 2분의 2n - 2 제곱 마이너스2의 2 제곱입니다 우리가 이거를 정리를 해주면 2의 제곱 마이너스 2의 마이너스 2 제곱이라고 계산이 돼요 자 요게 답입니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 속도와 거리 요런 내용을 우리가 마무리했습니다 우리가 오늘까지 해서 적분도 모두 끝났고 미적분 단어도 모두 학습을 했어요 우리가 미적분 단어는 어려운 내용들이 정말 많아요 미분 적분을 계산하는 그 과정이 익숙해진데 상당히 오랜 시간이 걸리기 때문에 정말 많은 연습이 필요합니다 자 오늘 강의 여기까지 하고요 그동안 미적분 수강하시느라 고생 많으셨습니다 자 감사합니다 [음악]