[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 여러 가지 순열과 조합 - 원순열과 중복순열

수학대왕 [음악] 자 오늘 학습할 내용은 원순혈과 중복 순혈이고요 우리가 이제 확률과 통계를 배우기 시작을 할 건데 우리가 수학 하에 마지막 단원에 순혈과 조합이라는 단원이 있었어요 그런데 그 내용을 우리가 지금 잘 이해하지 못하고 있다면 앞으로 배워 나갈 개념들을 이해를 할 수가 없어요 그래서 우리가 수녀가 조합을 조금 공부가 덜 되어 있는 친구들이나 기억이 안 나는 친구들은 복습을 하고 강의를 들으셔야 됩니다 자 그래서 일단은 우리는 오늘 원순혈과 중복 순열을 배워보도록 할게요 자 일단은 원순혈이 뭔지 먼저 볼 건데 원순혈이 뭐냐면 서로 다른 것을 원형으로 배열하는 수녀를 원순혈이라고 합니다 자 우리가 순혈과 조합 단원에서 a b c를 나열하는 방법을 배웠어요자 이거 나열하는 경우의 수는 몇 가지예요 3 팩토리얼이죠 즉 6개까지입니다 자 어떻게 해서 6가지가 나온 거고 어떻게 해서 3팩토리얼이 나온 거죠 우리가 자리가 3개가 있고요 맨 앞자리 중간 자리 뒷자리 자 맨 앞에 ABC 3개 중에 하나를 골라주는 3가지 경우의 수가 나올 수 있습니다 두 번째 자리는요 abc 중 하나를 썼으니까 나머지 두 가지 중 하나가 올 수 있고요 마지막 자리에는 나무는 하나가 와야 됩니다 그래서 3x2 곱하기 2를 한 6가지의 경우의 수가 나오는 거예요 자 그러면 이번엔 abc를 원형으로 변환할 건데 abc를 원형으로 배열할 건데 이러면 무슨 차이가 생기냐 우리가 이렇게 자리가 3개가 있어요 자리가 3개가 있고 마찬가지로 각각 3가지 경우 두 가지 한 가지그래서 6가지의 경우가 있습니다 그런데 우리가 원순열에선 뭐가 제일 중요하냐 회전에서 회전해서 같으면 회전해서 같으면 한 가지로 되는 거예요 자 회전해서 같으면 한 가지로 세는 겁니다 그래서 만약에 abc를 이렇게 배치를 했어요 a b c 근데 얘를 요만큼 회전을 시키면 d a b가 돼요 자 얘를 한번 또 회전시키면 얘를 한번 또 회전시키면 어떻게 돼요 이렇게 CA b가 되죠 자요 세 개는 회전에서 다 같아집니다 그래서 요거는 우리가 한 가지로 해야 되는 거예요 우리가 6가지라고 쓴 이 3 곱하기 2 곱하기1은요이 세 개를 각각 센 거예요 그런데 몇 번만 세야 된다고요 한 번만 세야 된다고요 자 세 번 샌 건데 사실은 한 번 세야 돼요 한번 세야된 거를 다 세 번씩 했으니까 우리는 나누기 3을 해줍니다 나누기 3을 해 줘요 자 그러면 3 곱하기 2 곱하기 1 나누기 3이면 결국 몇 가지가 나오는 거예요 두 가지가 나오죠 그래서 6가지가 아니고요 우리가이 6가지에서 나오는 3 곱하기 2 곱하기 1을 3으로 나눠서 두 가지라고 계산을 해야 올바르게 경우의 수를 세준 겁니다 자 그러면 만약에 n개면 만약에 n개면 우리가이 n개를 원형으로 배열하면 몇 가지 경우의 수가 나오냐 하면 자 여기 지금 n개를 배열하는 겁니다 n개를 배열을 해요 n개를 배열을 하는데 자 n개를 배열하면 n개를 배열하면회전을 몇 번에서 같은 거를 만들어낼 수 있어요 n개를 배열하면 회전으로 n번 시킬 수 있는 겁니다 회전을 랩먼시키면 그게 다 똑같은 거예요 그래서 n개를 일단은 배열한 n 팩토리얼을 m 팩토리얼을 n으로 나눠서 우리가 n -팩토리얼이라고 계산을 할 수가 있는 겁니다 자 그러면 서로 다른 n개에서 이번엔 알개를 택할 거예요 알기를 택하여 원형으로 배열하는 원순혈의 수는 어떻게 계산할까요 자 n개 중에 알기를 택하여 원형으로 배열하는 거구요 우리가 일단 n개중에 알개를 배열을 해야겠죠 자 n개 중에 알기를 먼저 배열해요 그러면이 중에 알기를 배열하는 경우의 수는 어떻게 계산해요 npr이죠 자 그런데 문제는 뭐예요 원형으로 배열하죠자 원형으로 웨어라면 회전해서 같은 거를 한 가지로 세 줘야 됩니다 그러면 한 가지로 해야 되는데 우리는이 mpr에서 몇으로 된 거예요 한 가지로 세어야 될 것을 알 번 생겁니다 R 번 생거니까 우리는 mpr을 r로 나눠서 r분의 npr이다라고 원순열의 수를 계산할 수 있는 거예요 자 분모의 r이 들어가는 이유는 우리가 알개를 배열했기 때문에 회전을 R 번 시키는게 겹쳐서 우리가 r분의 mpr이라고 해주면 되는 거예요 자 넘어갈게요 자 서로 다른 5명을 원탁의 안 치는 경우의 수를 구하라고 했고요 자 우리가 5명을 그냥 배열하는 것 5 팩토리얼인데 자 5명을 배치하면 자 한 자리 두 자리 세자리 내 자리 5자리고 지금 5개니까 한번 해야 될 걸 몇 번씩 센 거예요다섯 번씩 센 거죠 그래서 5로 나누면 되고요 5팩토리얼 나누기 5니까 4 팩토리얼이고 우리가 계산을 해주면 4 3 2 1 따라서 24가지 경우의 수가 나옵니다 자 2번 볼 거고요 7명 중 4명을 뽑는 거예요 그러면 일단 7명 중에 4명을 배열을 해주고요 우리가 지금 4명을 배열했으니까 4명을 배열했으니까 우리가 4로 나눠서 우리가 계산을 해주면 되겠죠 자 7p4는요 7 곱하기 6 곱하기 5 곱하기 4고 나누기 4니까 7 곱하기 6 곱하기 5 즉 200 12이 문제의 답입니다 자 여기까지 됐죠 자 다각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수인데요 우리가 원순열의 수에다가 회전시켰을 때 겹치지 않는 자리의 수를 곱한다라고 써 있는데 제가 생각할 때는요렇게 계산을 하는 것보다는 제가 새로 알려드리는 방법으로 배워보도록 할게요 자 일단은 n개를 배열하는 경우의 수를 구합니다 그냥 m팩토리얼이겠죠 그냥 n개를 배열하는 경우의 수를 나눠 주는 거예요 회전하여 접지는 횟수 회전하여 겹치는 횟수로 나눠줍니다 우리가 앞에서 배운 내용이요 내용입니다 만약에 5명을 원형으로 배열한다고 하면 이렇게 abcde를 배열한다고 하면 회전을 몇 번 시킬 수 있으니까 회전을 5번 시켜서 겹치는 것을 만들어낼 수 있으니까 우리가 5 팩토리얼을 5로 나누어 줬어요 5로 나누어 줬는데 이것도 똑같이 볼 거예요 자 우리 지금 8명이 있다고 합시다 8명이 있는데 이렇게 두 명 두 명 두 명 두 명씩 배열을 할 거예요 그러면 일단 8 팩토리얼을 해주고요8명을 배열한 8팩토리얼을 해주고 나눠주는 겁니다 회전하여 겹치는 횟수만큼 자 얘는 회전을 몇 번 시킬 수 있어요 이렇게 90도 돌려서 한번 할 수 있고요 또 돌릴 수 있고 또 돌릴 수 있고 또 돌릴 수 있죠 자 회전하면서 4번 겹치는게 생깁니다 그래서 4로 나눠 주는 거예요 자 왜냐면 우리가 여기 a b c d e f gh가 있다면 만약에 90도 회전을 시키면 gh gh a b cdef 이런 경우도 있을 거고요 [음악] [음악] 자 오른쪽 직사각형은요 일단 사람은8명이니까 8팩토리얼이고 자 나눠주는데 얘는 회전을 몇 번밖에 못 시켜요 한 번밖에 못 시킵니다 자 회전해서 겹치는게 요렇게 아예 180도 돌리고 180도 돌리고 그래서 2로 나눠줘야겠죠 그래서 우리가 8팩트를 나누기 2인데 우리가 요거는 다른 걸로 보는 겁니다 책상이 이제 세로로 길게 세워놓은 여기 세면 여기 세 명 여기 하나 여기 하나 이거 두 개는 다른 거예요 지금 책상이 다르기 때문에 우리가 요거는 다른 걸로 해야 되고 아예 우리가 이거는 고려하지 않는 수입니다 그래서 8팩토리얼 나누기 2로 계산을 할 수가 있어요 자 그러면 넘어가서 우리가 개념 예제 보도록 할 건데 서로 다른 6명이 다음과 같은 탁자에 둘러앉는 경우의 수를 세라 그랬어요 자 그러면 6명이니까 6팩토리얼이구요 자 얘는 회전을 몇 번 시킬 수 있어요 이렇게 180도 돌려 버리면 똑같은게 한번 또 나오죠 그리고 다시돌리면 원래대로 돌아오니까 우리가 2로 나눠줘야 됩니다 대전에서 겹치는 건 두 번 겹치는 거예요 그래서 6팩토리얼 나누기 2는요 6 5 4 3 2 나누기 2로 계산을 해주면 되고요 우리가 알고 계산을 해주면 4 32 60 360으로 경우의 수를 셀 수가 있습니다 자 넘어가도록 하겠습니다 자 이번엔 중복순열인데요 우리가 중복순열하고 수녀를 좀 비교를 해 볼게요 순혈과 우리가 오늘 새로 배우는 중복 순열 자 순혈이 뭐였어요 우리가 순혈은요 n개 중에 n개중에 알개를 나열을 하는 겁니다 n개중에 알개를 나열을 하는데 중복은 돼요 안 돼요 중복은 안 됩니다 우리가 요거는 그래서 계산할 때 npr로 계산을 해요 자 중복이 안된다는 말이 무슨 말이냐 만약에 abcde 중에 3개를 나열해요 3개를 나열하는데 ade를 뽑을 수 있겠죠 그리고 뭐 우리가 나열을 하는 거니까 dae도 한번 샜을 거예요 우리가 순서가 달라지면 다른 거니까 각각 셋을 겁니다 중복이 안 된다는 말은 똑같은 걸 또 뽑으면 안 된다는 말이에요 a a b 이거는 안 됩니다 우리가 순열에서는 이거를 셀지 않아요 자 그런데 중복순열에선 저거를 세는 겁니다 중복 순열에서는 n개중에 n개 중에 알개를 나열하는데 우리가 중복을 하는 거예요 중복을 할 수 있어요 그래서 얘를 기호로는요 n 그리고 이렇게 조금 크게 생긴 바위랑 비슷한이 기호를 쓰고요읽을 때도 파이라고 읽습니다 하지만 기호는 우리가 요렇게 생겼어요 이렇게 자 nπr이고요 만약에 abcd가 있었어요 이 중에 3개를 나열할 겁니다 세 번 뽑는다는 거예요 그러면 자리가 세 개인데 우리가 중복이 가능하니까 만약에 처음에 5개를 abcd가 있어서 5개 중에 아무거나 하나 뽑으면 되죠 그래서 5가지 경우가 들어올 수 있어요 자 두 번째 칸에는 뭐가 들어올 수 있어요 똑같이 abcd 중 아무거나 하나 올 수 있는 겁니다 마지막 자리도 똑같아요 그래서 5 곱하기 5구요 우리가 5개 중 3개를 중복 순열을 이용하여 나열하는 방법은 5파이 3이라고 쓰고요 계산은 5 곱하기 5 곱하기 5입니다 자 m 파이r은 그럼 어떻게 계산하겠어요 n개가 있는데 R 번 나열할 거예요그러면 R 제곱이 되겠죠 n을 R1 뽑으니까 우리가 이렇게 계산을 할 수가 있습니다 자 우리가 방금까지 설명드린 설명한 내용이 이렇게 지금 내용으로 나와 있고요 기호로는 이렇게 나타내고 우리가 여기서 중요한 건 중복을 허용한다 중복으로 허용하는 것이고 자 그리고 우리가 nπr을 계산을 할 때는 r1번 곱한 거랑 r²으로 계산을 해주면 되고 자 얘는 파이라고 읽구요 자 우리가 npr에서는요 우리가 순열에서는 n개 중에 알개를 뽑을 때 중복이 안 되니까 중복을 할 수 없으니까 항상 n이 r보다 크거나 같아야 되겠어요 우리가 가진 거는 세 개밖에 없는데 다섯 번 뽑을 수 없잖아요 자 그래서 n이 R 이상이어야 되는데 nπr에서는 중복이 가능하니까 우리가 n이 r보다 작을 수도 있는 겁니다 항상 작은 건 아니에요작아도 된다라는 겁니다 자 그러면 넘어가서 우리가 개념 이제 볼 건데 내기 숫자 1 2 3 4로 만들 수 있는 세 자리에 자연수의 개수를 구하라고 했어요 자 그러면 1 2 3 4를 이용하여 만들 수 있는 세 자리다였으며 자 100의 다리 10의 다리 1의 자리 자 100의 자리에 숫자 몇 개 올 수 있어요 1 2 3 4 중에 아무거나 나올 수 있죠 두 번째 자리 지배자리도 1234 중에 아무거나 나올 수 있고요 1의 자리에도 1 2 3 4 중에 아무거나 나올 수 있습니다 따라서 4의 3제곱 즉 64라고 우리가 계산을 할 수가 있어요 자 우리가 얘는 4개 중에 세 번 뽑는데 중복을 허락하고 순서를 나열해 주니까 nπ 3 nπ 3이라고 우리가 이렇게 기호로 나타내고 4의 3제곱으로 계산을 할 수도 있겠죠 자 넘어가 보도록 할게요 이번엔 중복 순혈과 함수인데요 자정의역의 원소가 알게 돼요 자 정의역의 원소가 이렇게 알게 있어요 정의의 원소가 알기 있고 공력이 원소가 n개 있습니다 공역에 공역의 원소가 n개 있어요 제가 정의역을 x라는 집합이라고 할 거고요 공역을 y라는 집합이라고 하겠습니다 그러면 이렇게 원소가 각각 알게 n개일 때 만들 수 있는 함수의 개수를 셀 거예요 자 여기 지금 알기니까 원소가 이렇게 하나 둘 셋 쭉 가서 마지막까지 이렇게 알기 원소가 있어요 그러면 모든 원소가 모든 원소가 공역에 있는 원소 중 하나를 이렇게 골라야 되죠 무조건 하나는 골라야 됩니다 그러면이 첫 번째 원소가 고를 수 있는 원소 몇 개 있어요 n개 자 두 번째 원소가 고를 수 있는 원소개서 몇 개 있어요얘도 n개 겹쳐도 되죠 우리가 어떤 일대일 함수나 일대일 대응이 아니기 때문에 그냥 아무거나 하나 골라주면 되는 겁니다 얘도 n개 얘도 n개 자 그러면 각각 n개의 원소 중 하나를 고르는 거고 그거를 알기 원소가 고르는 거니까 우리는 n을 몇 번 곱하는 거예요 곱하는 거죠 얘도 n개 얘도 n개 얘도 n개 얘도 n개 그게 총알번 그래서 n을 알번 곱하는 거고요 우리가 n의 r²이라고 이렇게 나타낼 수 있습니다 그래서 얘는 nπr로도 쓸 수가 있겠죠 자이 내용을 활용해서 개념 예제를 보도록 할 거고요 자 두 집합 x는 1 2 3 4를 원소로 갖고 있고요 [음악]