[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 여러 가지 순열과 조합 - 같은 것이 있는 순열과 중복조합

수학대왕 [음악] 자 오늘 학습할 내용은 같은 것이 있는 순혈과 중복 조합입니다 우리가 오늘 배울 내용들이 좀 많은데요 우리가 같은 것이 있는 순열을 배울 거고요 그거를 가지고 최단거리로 가는 경우의 수를 배울 겁니다 그리고 중복 조합배울 거고 중복자 활용해서 우리가 함수 개수 세는 것까지 좀 배워보도록 할게요 자 가장 먼저 같은 것이 있는 순혈입니다 같은 것이 있는 순혈인데 n개 중에서 n개 중에서 같은 것이 피게 축에 알게씩 있을 때이 n개를 일렬로 나열하는 순혈의 수를 이렇게 계산한대요 자 여기는 지금 뭐가 달라졌냐 우리가 같은 것이 생긴 거예요 서로 같은 것이 각각 기계 두 개 알게 있는 경우 우리가 이거를 일렬로 나열하는경우의 수를 세는 방법이에요 자 이거를 좀 설명 드릴 건데요 일단은 우리가 a b c d 이거를 나열하는 경우의 수는 몇 가지에요 우리가 4 팩토리얼로 계산을 하죠 따라서 24가지입니다 자 그런데 만약에 우리가 4개를 나열할 건데 a a b c를 나열한다고 해볼게요 자 여기는 지금 뭐가 생겼어요 a가 지금 똑같은게 두 개 들어가 있죠 자 이런 경우에는 우리가 어떻게 계산을 해 줘야 되는지 생각을 해 볼 건데 일단은이 a와 a를 다른 걸로 좀 생각을 해 볼게요 번호를 붙여서 A1 A2 B c입니다 그러면 우리가 A1 A2 B c를 나열하는 경우의 수는 첫 번째 경우와 똑같이 우리가 그냥 4 팩토리얼로 계산을 해주면 되는거예요 자 그런데이 4팩토리얼 안에 어떤 것들이 있는지 한번 좀 따져 볼 건데 우리가 ba1 A2 c가 하나 있겠죠 우리 4팩토리얼 안에 이런 경우가 하나 들어가 있을 거예요 그리고 B A2 A1 c도 하나 들어가 있을 겁니다 뭐 이런 것도 있겠죠 A1 b a2c a2b A1 C 이런 애들이 들어가 있을 겁니다 자 그런데 우리가 지금 A1 a2를 각각 다른 걸로 샜지만 사실 두 개는 동일한 a입니다 동일한 a예요 그래서 da1 ba ba1 a2c랑 ba2 A1 c는요 결국 baac고 baac이기 때문에 우리가 이거는 한 번만 세야 되는 같은 경우입니다 같은경우에요 밑에가 또 마찬가지로요 A1 a2랑 다 a고요 얘도 a고 얘도 a니까 사실은 abac를 abac를 나타내는 딱 하나의 경우를 나타내는 거예요 그래서 우리가이 4팩토리얼 안 해요 한 번만 세야 되는 걸 지금 몇 번씩 산 거예요 4 팩토리얼 안에 우리가 한 번만 세어야 되는 걸 A1 A2 자리를 바꾼 두 번씩 된 겁니다 그래서 2로 나눠서 우리가 경우의 수를 12가지다라고 계산을 할 수가 있어요 자 그럼 이번엔 AA b c 이렇게 다섯 개를 배열해 보도록 할 거예요 이렇게 5개를 나열을 할 건데 우리가 일단은 마찬가지로 여기 있는 a들을 번호를 붙여서 좀 다른 거라고 한번 세 볼게요 a1a2 A3b c 그럼 이거를 나열하는 5 팩토리얼 안에는요 어떤 애들이 있어요 우리가 A1 A2 A3 b c 하나 셌을 거고요 A1 A3 A2 BC 세 쓸 거고요 a2a1 A3 BC 됐을 거고 A2 A3 A1 BC 세 쓸 거고 A3 A1 A2 BC a3a2 A1 BC 이렇게 셋을 겁니다이 A1 A2 a3끼리 자리를 바꿔가면서 지금 몇 가지 경우를 만들어냈어요 6가지 경우를 만들어냈습니다 자이 6가지 경우는요 우리가 a끼리 자리를 바꾼 건데 똑같은게 3개예요 똑같은 거 세 개 가지고 자리를 바꾼 거니까 3 빅토리얼의 경우의 수가 나오는 겁니다 그런데 우리가이 6가지는 결국 다 몇 가지로 세야 돼요 한 가지로 돼야되죠 결국은 다 a이기 때문에 우리가이 6가지를 사실은 하나로 세야 되는 거예요 그래서 모든 경우에 대해서 우리가 여섯 번씩 생계 바로이 팩토리얼 안에 들어있는 겁니다 따라서 AA B c를 나열하는 경우의 수는 5팩토리얼 나누기 3 팩토리얼이에요 자 바로이 3팩토리얼 의미가 중요한 건데 3 팩토리얼의 의미가 뭐예요 지금 같은게 3개니까 같은 거 세 개를 나열하는 경우의 수예요 왜 나열하는 경우의 수로 나눠졌어요 그 개수만큼 중복되니까 그 개수만큼 중복되니까 우리는 그거를 나눠준 겁니다 중복되는 중복되는 개수 자 그러면 사실 우리가 여기 2분의 4팩토리얼이라고 쓴 것도 사실은 a1a2를 나열하는 경우의 수로 나눠준 거니까 정확히는이팩토리얼이 되는 거예요 자 그러면 마지막으로 aaa B B c를 나열하는 경우의 수를 셀 건데 지금 총 몇 개예요 6개죠 그러면 6팩토리얼인데 자 a가 3개니까 a가 세 개니까 a끼리 중복되는 경우의 수 몇 가지 3팩토리얼견 3팩토리얼 가지 자 그리고 빅끼리 중복되는 경우 빗길이 중복되는 경우이 팩토리얼 그리고 여기 있는 c는 중복이 안 되지만 굳이 쓰자면 1 팩토리얼이라고 쓸 수가 있습니다 따라서 요거를 계산해주면 6 곱하기 5 곱하기 1 나누기 3 곱하기 2 곱하기 1 2 곱하기 1 곱하기 1이고요 1은 신경 쓰지 않고 2 나눠주고 다음에 6 나눠주고 계산해 주면은 4 3 12에 60가지의 경우의 수가 나옵니다 자 이거를 공식화한게 바로 이거예요자 우리가 지금 같은게 픽이 있어요 피게 있으니까 p 팩토리얼로 나눠주고 축에 있으니까 큐팩토리얼로 나눠주고 모든 거를 이렇게 중복되는만큼 나눠 주고요 우리가 지금이 분자에 있는 m팩토리얼은 우리 p부터 r까지 모두 합한 수입니다 b+q+r까지 더한게 n 이렇게 되는 거예요 자 그럼 넘어가 보도록 할게요 우리가 이걸 가지고 개념 예제를 보도록 할 건데 5개의 문자 AA b c c를 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하라고 했어요 자 우리가 앞에서 열심히 예제를 들어가면 내용을 배웠으니까 어렵지 않아요 AA B c를 나열하는 경우에 있으면 5개를 나열하니까 일단 5 팩토리얼이고요 지금 aa가 두 개 있고요 CC c가 두 개 있습니다 따라서 분모는이 팩토리얼이 팩토리얼이 되겠네요 우리가 여기 있는 b는 공식에 의하면 1팩토리얼을 써줘야 되지만 우리가 사실은 쓸 필요가 없죠 중복되는 것도 어차피 없고 1팩토리얼의 값은 1이기 때문에 그냥 우리가 중복되는 것만 따로 분모에 써주면 되는 거예요 자 5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1 나누기 2 곱하기 1 2 곱하기 1 신경 쓰지 않고이 하나 약분하고 이렇게 약분해서 우리가 30까지라고 찾을 수가 있습니다 자 이번엔 2번 문제 볼 건데 자 애플에 있는 apple에 있는 5개의 문자를 일렬로 나열하는데 a가 a가 2보다 앞에 오도록 나열한데요 자 우리가 이마를 잘 처리를 해 줘야 되는데 a가 2보다 앞에 오니까 저는 어떻게 할 거냐면요 a랑 1을 일단 그냥 네모로 하겠습니다 네모로 하고요 네모랑 네모랑 p랑피랑 애를 먼저 나열할 거예요 우리가이 네모 두 개를 그냥 같은 거로 생각을 하는 겁니다 자 이렇게 5개를 나열을 하면요 오 팩토리얼 나누기이 팩토리얼 곱하기이 팩토리얼이죠 자 그러면요 안에는 지금 뭐 여러 가지가 들어 있을 텐데 하나 예시를 들면 네모 p 네모 LP 뭐 이런 애들이 있겠죠 이런 애들이 있을 건데 우리가이 네모가 지금 네모에 들어가는 문자는 a랑 e에요 그런데 a가 2보다 앞에 온다 그랬으니까 그냥 a가 배우고 2가 앞에 오도록 우리가 순서가 정해져 있는 거예요 우리가 정해줄 필요가 없고요 정해져 있는 겁니다 그래서 그냥 네모로 만들어서 배열을 해 놓고 배열을 해서 우리가 경우의 수를 되면은 a랑 2가 자동으로 정해지는 거예요 그래서 우리가 경우의 수는 그냥 이렇게 다 구한 겁니다 계산만 해주면5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2고요 1까지 있고 분모는 2 곱하기 1 2 곱하기 1 없어지고 일 없어지고이 약분해서요 우리가 마찬가지로 30가지라고 구할 수가 있습니다 우리가 요거 2번 문제에 조금 중요합니다 어떤게 중요해요 a가 2보다 앞에 오도록 나열할 때 지금 어떻게 했어요 우리가 그냥 이거를 일일이 세준게 아니라 그냥 네모로 만들어 놓고 네모를 배열을 한 다음에 네모를 배열한 다음에 그냥 알아서 순서가 정해지도록 해준 거예요 그러면 우리가 더 이상 순서를 따져 줄 필요가 없는 거죠 자 이제 넘어가 보도록 할게요 최단 거리로 가는 경우의 수인데요 자 최단거리로 가는 경우에서는 우리가 방금 배웠던 같은 것이 있는 순혈을 통해서 우리가 계산을 할 수가 있어요 자 다음과 같은 도로망 a에서 b까지 최단거리로 가는 경우의 수는 자 여기서 여기까지 갈 건데요 가로로한 칸 이동하는 것을 a라고 하고요 세로로 한 칸 b로 이동하는 것을 b라고 한대요 자 그러면 최단거리로 가려면 뭐 이런 식으로 갈 수가 있죠 이렇게 이렇게 이런 식으로 갈 수가 있어요 최단 거리로 가는 거기 때문에 요런게 안 되는 겁니다 위로 올라갔다가 오른쪽 갔다가 내려오는 거예요 그러면 최단거리가 안 되죠 거리가 지금 늘어요 무조건 요건 안 되고 오른쪽으로만 가고 위로만 가야 되는 겁니다 그래서 오른쪽으로 가는 오른쪽으로 가는 거를 a라고 할 거고요 위로 가는 거를 b라고 하면요 a에서 b로 갈 때는 a가 몇 개 있어야 돼요 오른쪽으로 가는 거니까 하나 둘 셋 넷 다섯 개 있죠 우리가 이거 말고 다른 최단 거리를 선택해도 오른쪽으로 가는 거는 5개예요 이렇게 가볼게요 하나 둘 셋 넷 자 오른쪽으로 몇 칸 갔어요 한칸 두 칸 세 칸네 칸 다섯 칸 오른쪽으로 가는 거는 무조건 다섯 번 가야 됩니다 자 위로는 몇 번 가야 돼요 하나 둘 셋 얘도 하나 둘 셋 자 위로는 무조건 세 번 가야죠 그러니까 우리가 a에서 b까지 최단 거리로 가는 경우의 수를 셀 때는이 오른쪽으로 가는 a와 위로 가는 b를 각각 5개의 세기를 나열해 주는 겁니다 5개 세기를 나열해 주는 거예요 그런데 똑같은게 들어가 있죠 a가 다섯 개 b가 3개 그래서 우리가 앞에서 배운 방법으로 이거를 계산해 주면 발팩토리얼 나누기 a가 5개 있어서 5팩토리아 b가 3개 있어서 3팩토리얼 우리가 이렇게 계산을 해주면 됩니다 그래서 이렇게 정리가 되고 있어요 a에서 b까지 가로로 p번 세로로 축원 이동해야 하는 도로망에서의재단거리로 가는 경우의 수는 m 팩토리얼 나누기 빅팩토리오 곱하기 큐팩토리아 자 이런 식으로 계산을 해주면 되는 겁니다 자 그러면 관련된 예제를 좀 더 풀어보도록 할게요 자 다음과 같은 도로망이 있을 때 a에서 b까지 최단거리로 가는 경우의 수를 먼저 구하라고 했어요 그러면 자 a에서 b로 갈 때 오른쪽으로 몇 칸 가야 돼요 오른쪽으로 5칸 가야 됩니다 위로는 세 칸 가야 되죠 자 제가 오른쪽으로 가는 거를 우리가 조금 더 표현을 딱 알아챌 수 있도록 a가 아니라 제가 r이라고 하겠습니다 자 위로 가는 거를 위쪽 방향으로 가는 거를 u라고 쓸게요 자 그러면 a에서 b까지 최단 거리로 가기 위해서는요 오른쪽으로 몇 번 가야 돼요 다섯 번 가야 되죠 자 위쪽으로 몇 번 가야 돼요 세 번 가야 됩니다 즉r r r r r u u를 배열하는 거예요 이렇게 8개를 배열하는데 같은 것이 들어가 있죠 똑같은 날이 다섯 개 있고 똑같은 누가 세 개 있습니다 그러면 발 팩토리얼 나누기 팩토리얼 곱하기 3팩토리얼로 우리가 계산을 할 수가 있고요 87654321을 모두 곱한 거고요 분모는 5 4 3 2 1 3 2 1이에요 그러면 54321-54321 321 곱하면 6이고요 이거 6 하나만 없으면 되겠네요 남은 건 56까지입니다 자 이번에는요 이번에서 a에서 b를 거쳐 a에서 p를 거쳐 b까지 최단거리로 가는 경우의 수인데 자 우리가 a에서b로 가는 경우의 수를 먼저 셀 거고요 b에서 b로 가는 경우의 수를 셀 겁니다 자 a에서 p로 가는 경우에서 좀 먼저 세어볼게요 자 a에서 p로 갈 때는 오른쪽으로 두 칸 위로 두 칸 가야 되죠 그러면이 경우의 수는 4팩토리얼 나누기이 팩토리얼 곱하기이 팩토리얼입니다 자 p에서 b로 갈 때는요 우리가 p에서 b로 갈 때는 여기서 1로 갈 때는 오른쪽으로 세 칸 위로 한 칸 가야 됩니다 그래서 r이 3개 육아 하나예요 이거를 배열하는 경우의 수는 4 팩토리얼 나누기 r이 세 개니까 3 팩토리얼이죠 자 그럼 얘네를 어떻게 할까요 얘네를 곱해야죠 우리가 고백 법칙을 적용을 해야 됩니다 a에서 p까지 가는 경우랑 p에서 b까지 가는 경우가 지금 다 끝나야 a에서 p 찍고 b를 가야 하나의 경우의 수가 나오는 거죠 그래서 두개가이 경우와이 경우가 동시에 일어나는 거니까 동시에 일어나는 거랑 동시에 일어나는 거니까 우리가 곱해서 계산을 해 줘야 됩니다 자 그러면 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1 나누기 2 곱하기 1 2 곱하기 1 곱하기 4321321 [음악] 그러면 없어지고 여기도 없어지죠 이건 약분해야겠네요 그래서 남은 거는 4 곱하기 2 곱하기 3이니까 우리가 24가지다라고 계산을 할 수가 있습니다 자 여기까지 됐죠 자 넘어가겠습니다 자 이제 중복 조합에 관해서 배워 볼 건데 우리가 조합하고 조금 비교를 해 볼게요 먼저 우리가 조합은요 우리가 수학화에서 배운 조합은 예를 들어 5개 중에 3개를 뽑아요 다섯 개 중에 3개를 뽑을 건데 순서가 중요해요 안 중요해요 세계를뽑는 순서가 안 중요합니다 즉 내가 abcde 중에서 abcde라는 다섯 개 중에서 a b c를 뽑는다고 하면 a b c를 뽑나 acb를 뽑나 똑같다는 얘기입니다 그래서 우리가 이거 계산을 어떻게 해요 다섯 개 중에 3개 뽑는 건 5c3으로 계산을 했습니다 5c3 우리가 조합과 순혈의 가장 큰 차이는 바로이 순서적 조합은 순서가 없는 거고요 우리가 이때 배웠던 조합은 중복을 허락하지 않습니다 중복이 안 돼요 자 여기서 중복이 안 된다는 말은 무슨 말이냐 abc를 뽑았는데 자 abcd가 있는데 aaa를 뽑을 수 있어요 a를 세 번 뽑지 못하죠 a를 두 번 뽑는 건 될까요 a를 두 번 뽑는 것도 되지 않습니다 무조건 하나씩만 뽑아야 되는 거예요 그런데 우리가 오늘 배울 중복 조합은바로이 중보기 가능해지는 겁니다 똑같은 걸 또 뽑을 수가 있어요 자 그래서 중복 조합은요 중복 조합을 우리가 만약에 5개 중에 3개를 뽑아요 세계를 뽑을 건데 마찬가지로 abcde 중에서 a b c d이 중에서 a b c를 뽑을 수도 있고요 뭐 aa를 뽑을 수도 있고요 aac를 뽑을 수도 있고 이런 식으로 중복이 되는 겁니다 3개를 뽑을 때 순서는 상관이 없고 그래서 조합이기 때문에 준서는 상관이 없고 우리가 중복은 가능해요 자 요런 차이가 발생하는 건데요 계산하는 것을 어떻게 계산하냐가 이제 조금 어려울 수 있어요 자 일단은요 우리가 이거를 기호로는 어떻게 표현하냐 5개 중에 3개를 뽑는데 순서가 상관이 없고 중복이 가능하다 그러면oh3이라고 씁니다 5h3이라고 우리가 기호로 나타내요 자 여기 지금 nhr이라고 표현되어 있죠 교재를 좀 읽어 볼게요 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 알기를 택하는 조합을 자 여기서 말하는 조합은 순서가 상관이 없다는 겁니다 순서 상관없음 자 요거를 우리가 중복 조합이라고 한다 그리고 이거를 기호로 nhr과 같이 나타낸다라고 적혀 있습니다 자 그래서이 nhr이라는 것은 어떻게 계산을 하냐 우리가 nhr은 이렇게 n + r-1cr로 계산을 합니다 자 앞에 제가 oh32 예시가 하나 있는데 5h3을 어떻게 계산하냐 h 자체로는 계산하지 못해요 못해요 우리가 c로 바꿔서 계산을 해 줘야 됩니다 5랑 3을 더하고요 2를 뺀 거에다가 c3입니다r은 그대로 오는 거예요 따라서 7c3 이구요 우리가 이거는 3 곱하기 2 곱하기 7 곱하기 6 곱하기 5로 계산을 할 수 있겠죠 약분할 거야 약분해주면 절은 5가지가 나옵니다 그러면 우리가 계산하는 거는 그냥 이렇게 계산을 해주면 돼요 그런데 왜 그런지를 알아야겠죠 도대체 왜 도대체 왜 nhr이 n+ r-1 cr과 같은지 이거를 좀 보도록 할게요 자 5개 중에 우리가 지금 다른 예시를 좀 들어볼게요 5개 중 세 개를 뽑는게 아니라 세 개 중에 3개 중에 4개를 이렇게 뽑는다고 하겠습니다 자 3h4라고 써 있으면 세 개 중에 4개를 뽑는 건데 세 개 중에 4개를 선택하는 건데 우리가 지금 중복은 가능하고요 중복은 가능하고 순서는 상관없이 뽑는 겁니다그러면이 세 개를 저는 abc라고 할게요 a b c라고 할 겁니다 자 그러면 4개를 뽑는 거니까 4개를 뽑는 거니까 일단 뽑는 칸네 개를 만들어요 뽑는 칸 4개를 만드는데 자 우리가 여기서 4개를 만들고 끝나는게 아니라 칸막이를 넣어 줄 겁니다 칸막이를 넣어 줄 거예요 칸막이를 몇 개 넣어 줄 거냐 우리가 a와 B 사이에 있는 칸막이 하나 b와 C 사이에 넣을 칸막이 하나를 세서 두 개를 넣어 줄 거예요 그래서 칸막이 다리까지 두 개입니다 자 그러면 지금이 6개의 칸을 어떻게 나온 거예요 우리가 선택할 4개에다가 우리가 선택할 4개에다가 지금 세 개의 종류가 있으니까 거기서 하나를 뺀 세 개의 종류가 있으니까이 abc에서이 사이에 있는 간격이니까칸막이니까 두 개예요 즉 3-1입니다 자 이렇게 해서 지금 6개의 칸이 만들어졌습니다 그럼 우리는 여기서 칸막이가 들어갈 거 두 개만 고르는 거예요 자 칸막이가 들어갈 거 두 개만 고르는 겁니다 만약에 칸막이를 여기랑 여기로 골랐어요 그러면 우리는 그냥 첫 번째 칸부터 abc를 차례를 채워주는 겁니다 a 써주고요 칸막이 지났으니까 BB 써주고 칸막이 지났으니까 C 써주고 그러면 우리는 abbc를 하나 만든 거죠 자 그러면 이번에 칸막이를 다른 데로 뽑아 볼까요 자 다른 데로 뽑아보겠습니다 칸막이를 이렇게 뽑아 볼게요 여기 하나 여기 하나 그러면 여기는 지금 a 여기도 a 자 여기 원래 지금 b가 들어가야 되는데 b가 들어갈 자리가 없죠 그 다음에 여기 C 여기 c 자 그러면 우리가 이번엔 aacc라는 경우의 수를 하나 센 겁니다 자 이런식으로 우리가 칸을 지금 6개를 만들어 놓고 칸막이가 들어갈 자리 두 개를 고르기만 하면 알아서 칸막이의 나눠지는이 abc의 개수대로 우리가 원하는 중복을 허락하면서 순서를 고려하지 않은 조합의 개수를 즉 중복 조합의 개수를 우리가 셀 수가 있는 거예요 그래서이 칸막이 개수 4 + 3 - 1에 c 그리고 칸막이 들어갈 갯수 2 이렇게 나오는 겁니다 자 그러면 얘가 지금 6c2죠 얘는 6c4와 같아요 그래서 3h4는요 6c4로 계산할 수 있는 걸 우리가 이거를 보고 확인을 할 수가 있는 겁니다 우리가이 중복 조합 내용이 조금 어렵기 때문에 제가 다시 한번 정리해서 설명드릴게요 중복 조합이란 건 두 가지를 고려하는 거예요 자 중보기가 가능해야 되고요 중복이 가능해야 되고 순서를 고려하지 않습니다그러면 우리가 이렇게 뽑은 방식이 과연 그랬는지 한번 점검을 해 볼게요 자이 케이스에 대해서요 우리가 지금 중복을 허락했나요 우리는 지금 전체 뽑아야 되는 개수 4개에다가 칸막이 개수 2개까지 해서 6개의 칸을 만들고 칸막이를 넣어줬습니다 자 칸막이를 넣으면서 칸막이와 칸막이 사이에 있는 빈 공간의 개수의 우리가 원하는 문자가 들어가요 자 이렇게 칸막이와 칸막이 사이에 우리가 원하는 비가 지금 들어갔습니다 자 그러면 우리는 이렇게 b가 두 번 들어가는게 가능해졌네요 비를 두 번 뽑은 거니까 중복이 지금 가능합니다 자 중복이 가능하구요 순서를 지금 우리가 고려하지 않아야 되는데 순서가 상관이 없어야 되는데 이렇게 뽑은 거는요 우리가 지금 칸막이만 넣어줬지 어떤 abc를 배치하는 경우의 수를 우리가 따로 세지 않았어요 칸막이만 넣어주면 맨 앞에가 a고 중간이 b고끝에가 c가 되도록 우리가 알아서 순서가 정해지는 겁니다 그래서 우리가 이렇게 중복을 허락을 했고요 순서 상관은 없으니까 이렇게 중복 조합을 콤비네이션 즉 칸막이를 넣는 방식으로 우리가 식을 유도를 할 수가 있는 겁니다 그래서 n개 중에 n개 중에 만약에 알개를 뽑아요 n개 중에 알개를 뽑는데 중복 조합으로 뽑을 겁니다 중복 조합으로 뽑으니까 중복이 가능하구요 중복이 가능하고 순서가 상관이 없어요 순서가 상관이 없으면 우리가 이거를 자 칸막이가 지금 몇 개예요 n개 중에 알게 뽑는데 n개니까 칸막이는 n - 1개입니다 우리 아까도 abc가 있으니까 어떻게 했어요 abc가 있으니까 칸막이는 그 사이에 그 사이에 들어가는 거니까 두 개가 됐습니다 하나를 뺀 N - 1기구요 자 알게를 뽑아요 그러면칸막이는 n - 1개 뽑아야 되는 거는 알기 자 칸막이가 들어가는 칼은 총 몇 개예요 n + r-1개죠 두 개를 더해 준 겁니다 이거 c에다가 우리가 지금이 중에 칸막이 개수만큼 뽑으니까 n-1이겠죠 근데 우리가 이거는 조합의 성질에 의해서 n + r-1 c의 r로도 계산이 되죠 그래서 이렇게 우리가 중복 조합 구하는 식을 얻어낼 수가 있습니다 자 교재 마지막에 있는 내용도 한번 보고 넘어갈 거고요 nhr에서 h는 자요 영어에 첫 글자예요 우리가 뭐 그렇게 중요하진 않습니다 자 조합의 수 ncr에서 우리는 n개 중에 알게 뽑을 때는 중복이 불가능하면 무조건 n이 r보다 크거나 같아야겠죠 다섯 개 중에 10개를 뽑을 수는 없어요 중복이 불가능하면 하지만 중복 조합은 우리가 중복이 가능하기 때문에 3개중에 10개를 뽑을 수도 있고 3개 중에 100개를 뽑을 수도 있고 얼마든지 가능한 겁니다 그래서 r이 m보다 클 수 있다 이런 말을 하고 있는 겁니다 자 넘어가 보도록 하겠습니다 이번에 개념 예제 볼 건데 자 우리가이 중복 조합을 활용해서 풀 수 있는 가장 대표적인 예시 두 개예요 자 1번 보면요 지금 x+y + z가 8이에요 근데 우리가 이거를 어떻게 바라볼 거냐면 자이 팔이라는 숫자를 8이라는 숫자를 18개가 있는 걸로 봅니다 18개로 볼 거예요 자 18개로 보고요 1이 요일이 XYZ 중에 하나를 골라요 얘도 XYZ 중에 하나를 고르고요 얘도 XYZ 중에 하나를 고릅니다이 모든 일들이 XYZ 중에 하나를 고를 거예요 자 그러면 우리는 지금 뽑는게 몇 개예요 뽑을 수 있는게 세개의 선택지가 있죠 X Y z라는 세기 선택지가 있는데 그중에 몇 개를 뽑아요 8개를 뽑습니다 3개 중에 8개를 뽑을 거예요 자 그런데 중복이 가능한가요 중복 가능하죠 얘가 지금 x 뽑고 얘도 x 포트 얘도 x 뽑을 수 있어요 중복이 가능합니다 중복이 가능하고 순서가 상관이 있어요 없어요 순서가 상관이 없죠 x를 얘네 셋이 x로 뽑나 얘네 셋이 x를 뽑나 결국 x는 3이 됩니다 그러니까 우리가 지금 순서는 상관이 없어요 얘네들이 보면 얘네들이 뽑나 똑같이 x는 3이 되는 거니까 그러면 우리가 이렇게 지금 AB 8개 있는데 각각의 1이 XYZ 중에 하나를 고른다 고른 애들은 얘가 x를 골랐으면 x에다가 1을 더해주는 겁니다 이를 더해주는 거고그렇게 해서 뭐 예를 들어 얘네들이 얘네들이 x를 고르고 얘네들이이 y를 고르고 얘네들이 z를 고르면 우리가 x는 3 Y = 2 z는 3으로 더해서 8이 되죠 이런 식으로 우리가 중복 조합을 활용해서 이제 경우에서만 세주면 되는 겁니다 중보기 가능하고 순서가 불가 상관없으니까 세 개 중에 8개 뽑는 중복 조합으로 계산을 할 수가 있는 거고요 우리가 10c 8로 계산을 해주면 됩니다 얘는 10ce와 같고요 얘는 1/2 곱하기 9니까 45라고 경우의 수가 계산을 계산이 되죠 우리가 이렇게 45가지라고 계산할 수가 있습니다 자 조금 헷갈리는게 여기 있을 수 있는데 우리 여기 있는 집은 어떻게 온 거예요 3하고 8하고 두 개 더하고 1을 뺀 겁니다 2를 빼서 여기로 오는 거고 여기 있는 팔은요 팔이 그대로 오는 거예요 자 여기까지 됐죠 자 2번 보도록 할게요 자 2번은요 x+y+z의 6제곱의 서로 다른 항의 개수를 구하라고 했어요 자 얘는요 x+y + z가 6개를 곱한 거죠이 x+y + z를 6번 곱한 겁니다 쭉 곱해요 자 그런데 우리가 어떤 항이라는 거는요 여기서 XYZ 중에 하나 뽑고 여기서 하나 뽑고 여기서 하나 뽑고 여기서 하나 뽑아서 뭐 예를 들어 xyxz 이런 식으로 꼽힌 애들을 모조리 곱해서 곱해서 항의 하나 나오는 겁니다 그렇게 해서 항이 하나 나오는 건데 자 그러면 우리가 결국은 지금 선택지가 XYZ 중에 하나를 뽑는 거예요 자 3개 중에 하나를 뽑는데 그렇게 몇 번 뽑아요 여섯 제곱이니까 6번 뽑는 겁니다 세 개 중에 6번 뽑는데 지금 중복이 중복이 가능해요 가능하죠 모든 애들이 x를 뽑을 수 있습니다x를 여러 번 뽑을 수 있어요 자 순서는 상관이 있어요 없어요 순서 상관없죠 얘네들이 x를 뽑나 얘네들이 xx 뽑나 뒤에 있는 애들이 xx 뽑나 어차피 x 제곱이라는 결과가 똑같습니다 그래서 우리가 3C 3h6으로 우리가 이렇게 중복 조합을 통해 계산을 할 수가 있고요 3 + 6 - 1 c6으로 계산을 하면 되고 8c6이니까 8c2와 같고요 8c2를 계산을 해주면 8 곱하기 7 나누기 2니까 답은 28가지입니다 28가지 자 여기까지 됐나요 자 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 조합과 함수의 개수인데요 우리가 두 집합 x와 y가 이렇게 주어져 있을 때 자 임의원서 X1 x2에 대해서요 x1보다 x2가 크면 fx1보다fx2가 크대요 자 그랬을 때 함수 개수가 몇 개냐 이거를 할 건데 자 x라는 집합 안에 제가 원소가 1 2 3이라고 해볼게요 우리는 치역이 세 개가 돼야 돼요 공역 중 치역이 되는 원소 3개를 뽑습니다 자 다시 말하면5개의 원소 중에 선택받을 원소 3개를 뽑는 거예요 그런데 그냥 oc3으로 뽑아버리면 우리가 예를 들어 뭐 2 4 5를 뽑을 수도 있고요 1 2 3을 뽑을 수도 있습니다 순서는 정해져 있지 않죠 순서는 정해져 있지 않은데 그냥 oc3으로 일단 숫자를 뽑는 거예요 자 뽑으면 그냥 자동으로 정해지는 겁니다 가장 작은 애가 가장 작은 애가 f1이구요 그 다음 중간이 f2고 가장 큰 애가 f3이 되는 거죠 여기도 가장 작은의 F1 중간 f2 가장 큰 애프다 즉 우리가 순서를 정해주지 않아도 우리가 순서를 정해주지 않아도 크기가 큰 순서대로 작은 거에서 큰 순서대로 알아서 정해지는 겁니다 그래서 우리는 뽑기만 하면 되는 거예요 뽑기만 하면 알아서 순서가 정해지니까 됐나요 자 그러면 이번엔요 조건을 볼 건데x1보다 x2가 크대요 그런데 이번에 크거나 같습니다 크거나 같으면 우리가 똑같은 걸 또 뽑을 수 있죠 자 순서는 알아서 정해집니다 예를 들어 아까랑 똑같은 정의역과 공역에서 이번엔 치역으로 원소를 뽑았다고 할게요 이래도 알아서 정해지죠 이래도 알아서 얘는 F1 얘는 F2 얘는 f3 순서는 알아서 정해집니다 순서는 상관없는데 뭐가 추가된 거예요 똑같은 원소를 뽑을 수 있는게 추가된 겁니다 그러면 우리는 조합이 아니라 중복 조합으로 계산을 해주면 되죠 즉 Oh 3으로 계산을 해주면 됩니다 자 그거에 관한 내용이 이렇게 NCR nhr이라고 설명되고 있는 거고요 우리가 여기서 얘는이 정의역 정의역의 원소 개수고 r이라는 거는 공력의 원소 했습니다 자 그러면 이거 가지고 우리가 개념예제 풀어 볼 건데 자 집합 x y에 대해서 조건을 만족시키는 함수 f의 개수를 구하라고 했어요 자 지금 정의역 원소개수는 4개구요 공역의 원소 개수는 5개입니다 자 1번 보면 x1보다 x2가 클 때에 지금 fx1보다 fx2가 크대요 우리가 앞에서 배운 내용이 그대로 나왔네요 우리가 지금 같으면 안 되니까 중복이 안 되는 거고요 그냥 공유기 원소 5개 중에 4개를 순서 상관없이 뽑기만 하면 순서 상관없이 뽑기만 하면 순서가 알아서 정해지는 거예요 그래서 oc사를 계산을 해주면 우리가 oc 1과 같으니까 5라고 계산을 할 수가 있고요 두 번째 문제는 지금 여기서 여기서 fx1보다 fx2가 크거나 같다 그러면서 뭐가 가능해졌어요 중복이 가능해졌죠 중복이 가능해졌으니까 우리가 Oh4로 계산을 할 수가 있고요 요거는 5 + 4 - 1 c4로 계산을 하면 되고 8c4입니다 따라서 4x3 곱하기 2 곱하기 1분의 8 7 6 5예요 자 계산해주면요 우리가 70까지라고 계산이 되네요 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 배울 내용은 모두 배웠고요 우리가 오늘 배운 내용이 경우에서 학생들이 제일 어려워하는 부분이에요 중복 조합도 어려워하고요 같은 것이 포함된 순혈도 어려워합니다 우리가 오늘 배운 내용 꼭 꼼꼼하게 복습하셔서 또 이거를 가지고 응용한 문제들도 연습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]