[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 여러 가지 순열과 조합 - 이항정리

수학대왕 [음악] 자 오늘 아스팔 내용은 이항정리입니다 우리가 이양 정리에 관해 좀 배워보도록 할 건데 자 이항 정리가 뭐냐면 우리가 자연수 n에 대해서 어떤 a+b의 n제곱에 전개식을 우리가 조합의 수를 이용하여 나타내는 방법을 이항 정리라고 합니다 자 이렇게 된식이 있는데요 우리가이식이 어떻게 나왔는지 좀 한번 볼게요 자 a+b의 n제곱이라는 거는 a+b를 n번 곱한 거예요 a+b를 n번 곱한 거고 그래서 a+b가 n개 있는 거죠 자 우리가 이거를 전개해서 항을 만드는 건요 식에서 a+b 중에 하나를 고르고 여기서도 하나를 고르고 여기서도 하나를 각각고르고 마지막에 있는 것도 하나의 골라요 그러면 뭔가 a와 B 중에 하나씩 나오겠죠 a와 B 중에 하나씩 나올 건데 얘네들을 모조리 곱해서 모조리 곱해서 우리가 딱 하나의 항이 나오는 겁니다 자 그러면 a의 n제곱이 a의 n제곱이 여기에 몇 개 생길 수 있는지 볼 건데 a의 n제곱이란 건 a를 n개 뽑은 거죠 a를 n개 뽑은 거고 지금 여기에 a+b가 n개 있기 때문에 모든 식에서 모든 a+b에서 a를 뽑아야 a의 n제곱이 나옵니다 그래서 n개의 식중에 n개를 뽑는 거예요 a를 그리고 우리가 순서는 상관이 없고 중복은 안 되기 때문에 우리가 ncn이라고 구할 수 있겠죠 자 그러면 만약에 a의 n - 1 제곱에 b를 구하고 싶어요그러면 우리는 a를 n-1번 뽑은 거죠 a를 n - 1번 뽑은 거니까 왜냐면 a를 n-1번 뽑으면 여기서 a를 n - 1번 뽑았어요 그러면 여기서는 자연스럽게 b를 뽑게 되는 겁니다 그래서 a의 n - 1 제곱 곱하기 b가 나오는 거고요 b를 여기서 뽑을 수도 있고 여기서 뽑을 수도 있고 여기서 뽑을 수도 있죠 어디서 뽑을지는 다 여기서도 가능하고 여기서도 가능하고 모든 대사 가능하기 때문에 NC n - 1로 구할 수 있습니다 a+b의 n개 중에 그 중에 m - 1개를 a로 뽑겠다는 뜻이에요 자 그러면 만약에 a의 N - 2 제곱이면 b는 부족한 두 개 뽑아야 되고요 계수는 n개 중에 n - 2번 뽑은 거 이렇게 되겠죠 그러다가 b의 n제곱의 계수는 a를 한 번도 안 뽑은 거니까 nc0가 되는 거예요 그래서 우리는 a+b의 n 제곱을 전개한 식을요이렇게 전개를 할 수가 있는 겁니다 자 이때 우리가 ncn은 nc0와 같죠 그래서 이런 식으로도 식을 쓸 수가 있어요 nc는 a의 n - 1 제곱 곱하기 B 자 이런 식으로도 식을 쓸 수 있는 이유는 뭘까요 우리가 이런 식으로 쓸 수 있는 이유는 지금 a를 뽑는 거를 기준으로 a가 몇 개 뽑았는지를 여기다가 써줬어요 여기를 써줬는데 우리가 b를 뽑는다고 생각을 하면 지금 비가 하나도 없으니까 영계 뽑는 거고 기하나 뽑는 거 B 하나 뽑는 거 이런 식으로 생각해서 n개 뽑는 거 n개 뽑는 거 이렇게 우리가 식을 적어 줄 수 있습니다 같은 식이에요 자 그러면 우리가 여기서이 주어진 식은 어떻게 나왔는지 봤구요 자 ncr이 am -r² b의 R 제곱은 a + b의 n제곱에 전개식의 일반항이다라고 적혀 있어요 자 우리가 이거를시그마를 이용해서 이렇게 표현을 할 수가 있습니다 r은 0부터 시그마 n까지 ncr에 a의 m - r 제곱 b의 R 제곱 자 우리가이 a+b의 n제곱을 이렇게 쓸 수 있는데 여기서이 안에 들어가는이 부분을 일반항이다라고 해요 우리가 이거를 정말 많이 쓸 거예요 정말 많이 쓸 거고 b를 알게 뽑았으면 자 b를 알게 뽑았으면 우리가 ncr에 a의 n-r²이 앞에 붙는다는 거 우리가 일단 이렇게 좀 잘 기억해 두고요 자 이항 계수라는 건요 우리가이 a+b의 n제곱에서 각 항의 계수를 말합니다 자 계수를 말하는 거예요 얘랑 얘랑 얘랑이 계수들을 말하는 거고요 우리가 그냥 재수술을 이한계수라고 하는구나 이렇게만 봐주시면 됩니다 자 ncr은 NC n-r이죠 그래서 a+b의 n제곱의 전기식에서b를 알게 뽑는 b를 알게 뽑는 항의 계수나 b를 n - 알게 뽑는 항의 계수나 어차피 ncr이나 ncm-r이나 똑같기 때문에 두 개가 똑같기 때문에 우리는 두 개가 같다는 것을 알 수가 있습니다 자 넘어가겠습니다 x의 4 - r² 3y의 r²이다라고 쓸 수가 있는 겁니다 그러면 우리 3y의 r²을 이렇게 쓸 수 있죠이 3무아이의 r²이3회 R 제곱 곱하기 y의 r²이니까 3의 R 되고 곱하기 y의 r² 그리고 x는 그대로 x의 4 - r² 이렇게 쓸 수가 있습니다 자 지금 x^3 y의 계수를 구하는 거니까요 우리가요 부분이 x^3 y가 되는 거니까 r이 1일 때죠 r이 됩니다 따라서 r이 1이라는 거를 여기다가 대입을 해주면 여기다가 대입을 해주면 r이 1이면 4c1 곱하기 3이니까 우리가 12라는 걸 찾을 수 있어요 따라서 12x^3 y입니다 계수는 12죠 계수는 12 자 2번 볼게요 x² + x분의 2의 5제곱인데요 자 마찬가지로 일반항을 구해주는 겁니다 oc 아래x 제곱의 5 - r² 그리고 x분의 2의 R 제곱이죠 그러면 oc 아래 자 x의 10 - 2r 제곱이고요 지금 오른쪽에 있는 2의 r² 나누기 x의 r²으로 정리가 돼요 그러면 숫자는 OCR 곱하기 2의 R 제곱이고 자 10의 x의 10 - 2r 제곱 그리고 x의 R 제곱 요거를 계산을 해주면 x의 10 - 3r²입니다 지금 우리가 구하는 거는 X 네제곱의 개수니까 자 10 - 4마리 4가 되려면 R 값이 뭐가 나와야 돼요 2가 나와야 되죠 그래서 r이 1을 r이라는 거를 여기다가 대입을 해주는 거예요 자 아래다가 2를 대입을 하면 oc 2 곱하기 2의 제곱이고요 2분의5 곱하기 4 곱하기 4니까 이렇게 약 군대에서 40이라고 계산이 되네요 즉 40x⁴이고요 계수는 40입니다 자 여기까지 됐나요 넘어가 보도록 하겠습니다 자 파스칼의 삼각형인데요 자연수 n의 값이 1 2 3 4일 때에 우리가 a+b의 n제곱의 전개식에서 2항 계수를 다음과 같이 배열을 한대요 자 만약에 a+b의 n제곱을 우리가 쭉 전개해서요 nc0 a의 n제곱 nc의 a의 n -1 되고 B 이렇게 쭉 전개를 할 수 있다고 앞에서 방금 배운 거예요 자 배운 거고 여기에 있는이 계수들만 나열을 하는 겁니다 자 그래서 맹인이 그냥 1을 쓴 거고요 1을 쓴 거고 자 n이 일일 때 1c 0 1실 n2일 때ec02ce 3일 때에 4일 때 이런 식으로 쭉 나열한 겁니다 나열을 했고요이 숫자들을 계산을 하면 우리가 요렇게 된 숫자의 배열을 얻어낼 수가 있어요 뭐 예를 들어 3시형은 1이고요 3c1은 3이고 3c는 3 3은 1 이렇게 숫자들을 계산해서 쭉 나열을 한 거고 이거를 파스칼에 삼각형이다라고 하는 거예요 자 여기서 어떤 성질이 있냐면요 우리가 ncr은 ncm-r과 같죠 같기 때문에 우리가 여기에 오는이 숫자들이이 중심을 기준으로 좌우대칭인 겁니다 왜냐 oc랑 oc3은 같죠 그리고 ocd랑 oc사도 같아요 oc 0이랑 oco도 같습니다 자 3c라고 3c도 같아요 우리가 이렇게 모두 좌우 대칭인 걸 확인을 할 수가 있죠이 파스칼을 삼각형은 그래서 대칭의 골을 띄고 있고요양 끝에 있는 수라는게 어디로 말하는 거냐 요기를 말하는 겁니다 자 우리가 일시 0이든 2c 0이든 3C 0이든 싹 다 1이죠 그리고 여기 1cbc 33 얘네들도 모두 1입니다 그래서 그 값들이 1이라고 이렇게 배열되어 있는 거예요 자 마지막 3번은요 우리가 요거를 이제 조금 기억을 해 두셔야 되는데 우리 다른 내용은 이미 다 알고 있는 내용입니다 자 3번을 잘 봐야 되는데 ncr은 n - 1의 c의 r-1 + n - 1 cr이라고 적혀 있어요 자 이게 무슨 말이냐 우리 파스칼의 삼각형의 제일 중요한 성질인데요 얘랑 얘를 더하면 얘가 나옵니다 근데 그게 어디에서나 성립하는 거예요 얘랑 얘를 더해도 가운데 있는 4가 나오고요 4랑 6을 더해도 가운데 그리고 밑에 있는 10이 나오는 겁니다 요게이 파스칼의 식으로 나타내면ncr은 n - 1 cr-1 n - 1 cr입니다 자 그러면 이거를 가지고 우리가 개념 예제를 좀 보도록 할게요 자 3시대로 4c 로시 63 74 85의 값을 구하라고 했는데 자 파스칼을 삼각형을 한번 쭉 써보겠습니다 이래 일시대로 1실 2c대로 2c1 EC 3c대로 31 32 3c3 4c제로 41 4c2 [음악] 5c3 5c4 oco 자 이렇게 되는 건데 자 지금 이렇게 3c대로 4c로 더하라 그랬어요 그러면 얘랑 얘랑 얘랑 이렇게 이어지는 숫자들을 더하라이 말인데 우리가 이거를파스칼을 삼각형을 이용하기 위해서이 3시대로는요 사시제로랑 같죠 그래서 3시대로 플러스 41만 계산을 할 건데 3 시제로를 4c0으로 바꿔서 계산을 하는 거예요 자 그러면 4시대로 + 4c1은 뭐예요 4시 제로 + 4c1은 파스칼에 삼각형에서 5씩이 나오죠 얘가 50이 나옵니다 그럼 이제 뭐랑 더해요 얘가 oc 1이니까 이번에 5c일이랑 5ce를 더하는 거예요 5c1 + 5c2는 뭐예요 자 oc + 51 + 5c이니까 그 밑에 있는 밑에 있는 바로 6c대로 6c에 6c2 6c3에서 6c2가 나오는 겁니다 6c2가 나오는 거예요 자 그러면 그거를 계속 하다 보면 우리가 6c + 6c3 뭐가 나오겠어요7c3이 나오겠죠 7c3 + 7c4는요 8시 4가 나오고요 마지막으로 발시 4 + 85를 해주면 9co가 나오는 겁니다 그래서 우리는 주어진시기 주어진시기 결국은 9co로 정리가 되고요 [음악] 9 8 7 6 5를 계산을 해주면 됩니다 5는 약분되고 3 2 6은 약분되고 4랑 팔 약분해서 2 되고 우리가 9 곱하기 2 곱하기 7이고요 우리가 18 곱하기 7이니까 7 8에 56 717 126 이렇게 계산을 할 수가 있습니다 자 여기까지 됐죠 넘어가겠습니다 자 이번엔 이한계수의 성질인데요 우리가 앞에서 a+b의n 제곱을 전개했을 때에 nc0 a의 n제곱 플러스 nc의 am-1²b nc의 되고 쭉 가서 ncn에 BN 제곱까지 되는 거 우리가 배운 적이 있습니다 이런 걸 배운 적이 있는데 지금 a자리에다가 뭘 대입해 볼 거냐면 1을 대입할 거고요 기다리에다가 x를 대입할 겁니다 요렇게 대입을 하면요 우리가 1+x의 n제곱이 좌변에 나오고 우변을 이렇게 쓸 수가 있겠죠 우리가 a에다가 1 넣고 b에다 x 넣으면 이런식이 나옵니다 자 이렇게 만들어진 식에다가요 우리가 x의 어떤 숫자를 대입해서 어떤 이항계 수들의 이항계수들에 관한 식을 좀 얻어낼 거예요 자 가장 먼저 x에다가 1을 대입하면요 좌변은 뭐가 나와요 2의 n제곱이 나오죠 우변은 [음악]nc02 나옵니다 자 이번에는 x에다가 -1을 대입할 거고요 그러면 좌변은 0이 되고 자 nc0 자 x에 지금 -1 집어넣으면 -nc1이죠 - nc1입니다 자 그 다음에 x 제곱 자리에 넣으니까 이제 양수로 된 거예요 NC 제곱 자 그다음은 x^3이 집어넣는데 어떻게 될까요 음수가 되겠죠 -nc상 요렇게 해서 쭉 가는 거고요 우리가 ncn에 -1의 n제곱까지 모두 더한 겁니다 이렇게 더해서 0이 나오는 거예요 자 이번엔 세 번째 식인데요 우리가 지금 뭐만 더 하고 있어요 뭐만 더 하고 있냐면 ncr에서 r자리에 짝수 오는 것들만 더 하고 있습니다 짝 쏘는 것들만 그러면 우리가 이걸 어떻게 구하냐 얘를 1번식이라고 하고 얘를 2번식이라고 할 때요 1번하고 2번을 더해주는 거예요1번하고 2번을 더해주면 좌변은 2의 n제곱 우변은 2 곱하기 nc0 얘랑 얘도 하면 2 곱하기 x재로 되죠 자 nc1은 어떻게 돼요 더하면 사라집니다 그러고 2 곱하기 nc2 이렇게 쭉 더하는 거고요 2 곱하기 자 짝수 번째 항을 끝까지 더하는 건데 m이 짝순조수인지 몰라요 짝순조로 쓴지 모르니까 우리가 k라고 쓰고 저는이 k를 이렇게 쓸게요 k는 m 이하의 nei 짝수 중 최대 짝수 중 최대 정수 가장 큰 짝수입니다 자 n이 될 수도 있고 n -1이 될 수도 있습니다 근데 우리가 요렇게 식으로 쓰기 위해서 k는 애니아의 짝수 중 최대 점수라고 제가 좀 써놨어요 우리 교재에는 그냥 점 점 점으로 표시되어 있죠 자 여기 어디까지 더하는거다 nei 짝수 중 가장 큰 애까지도 하는거다자 우리가 요거를 지금요 식을 양변에 2로 나눠주면 2의 n-1² 이구요 우변은 nc0 nce 이렇게 더해서 nck까지 도안 꼴이 됩니다 자 이번에는 1번 식에서 2번 식을 뺄 건데요 1번 식에서 2번 식을 뺄 건데 요렇게 빼면 어떤식이 나오냐 이에 n제곱은 우리가 2 곱하기 nc1 2 곱하기 nc3 쭉 가서 2 곱하기 ncl이라고 할게요 이번에 자 l은 n 이하의 최대 홀수라고 쓰겠습니다 최대 홀수 애니아의 쪽 더해서 ncl까지 이렇게 우리가 4번 10도 나오는 걸 확인을했습니다 자 우리가 이거는요 공식을 우리가 유도하는 과정이라고 보지 마시고요 우리가 이렇게 1+ x의 n제곱에서 전개된 이식에다가 x값을 여러 개 대입할 수 있구나 그리고 그 식과 식을 더할 수도 있고 뺄 수도 있구나 우리가이 내용을 알고 있어야 됩니다 우리 가족은 어려운 문제들은 이거를 활용해서 문제를 풀어야 되기 때문에 이런 내용들도 같이 기억을 해 주시고요 자 그러면 개념 예제 한번 보도록 하겠습니다 자 1번 보면 구시제로 90 9c부터 9c9까지 더하는 거구요 자 우리가 앞에서 배웠던 공식을 좀 생각을 해보면 nc0 + NC 1+ 이렇게 해서 ncn까지 더하면 2의 n제곱으로 계산을 할 수가 있다고 배웠습니다 자 우리가 지금 구시대로부터 9c1 이렇게 더해서 99까지 더한 값은요 2의 9제곱 즉 512로계산을 할 수가 있습니다 자 2번은 어떻게 돼 있어요 발시대로 -81-2 자 부호가 번갈아가면서 있습니다 번갈아가면서 있고요 이렇게 해서 88까지 더한 겁니다 요거는 그냥 뭐라 그랬어요 부호가 번갈아 가면서 더해진 거는 0입니다 자 마지막 3번은요 지금 2 + 10c 4 10 CU 10 18 10까지도 하는 건데요 우리가 만약에 짝수 번째 ncr에서 r이 짝수인 것들만 더하면 얘는 어떻게 계산을 한다 그랬죠 이렇게 더한 거는 2의 마이너스 1제곱 즉 2의 9제곱으로 계산을 할 수가 있다 그랬습니다 그리고 그 값이 512에요 자 그런데 우리는 지금 여기에 뭐가 빠져 있어요 10c0가 빠져 있습니다 그러면 우리는 10시 제로를 있다고 먼저 생각을 하고 여기다가 10c0을 더해주고 다시 빼 버리면됩니다 그러면 여기 10c0까지는 계산하면 512구역 거기서 cc0의 값인 1을 빼면 답이 511이라고 나옵니다 자 여기까지 해서 우리 2학기술에 관한 내용 모두 끝났고요 여기 공식이 몇 개 좀 나와요 우리가 공식 꼭 외우고 넘어가시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]