[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 확률 - 확률의 뜻

수학대왕 [음악] 자 오늘 학습할 내용은 확률의 뜻입니다 우리가 오늘 이제 확률을 처음 배우는 날인데 우리가 확률에 관해서 어떤 좀 용어들을 정리를 하고 가도록 할게요 자 일단 시행인데요 시행이 뭐냐면 주사위나 동전을 던지는 것과 같이 일단은 같은 조건에서 여러 번 반복할 수 있어야 돼요 자 여러분 반복할 수 있어야 되고요 그 결과가 우연에 의해서 결정되어야 우리는 그거를 시행이라고 합니다 자 예를 들어 주사위를 던져요 주사위를 던지는데 주사위를 던졌을 때 나오는 숫자들은 1 2 3 4 5 6입니다 그런데이 1 2 3 4 5 6이 항상우연에 의해 결정되죠 1이 나올 수도 있고 3이 나올 수도 있고 정해져 있지 않습니다 그래서 우리는 이렇게 여러 번 반복할 수 있고 우연히 의하여 결정되는 실험이나 관찰을 시행이라고 합니다 자 두 번째는 표본 공간인데요 표본 공간이 뭐냐 자 어떤 시행에서 자 예를 들어 주사위를 던져요 그랬을 때 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 우리는 표본 공간이라고 합니다 그러면 주사위를 던지는 시행에서 나올 수 있는 모든 결과에 집합은 뭐예요 자 7이 나올 수 있나요 주사위를 던져서 7은 나오지 못합니다 나올 수 있는 숫자들만 우리가 이렇게 집합의 원소로 넣어주는 거예요 이게 바로 우리가 주사위를 던져서 나올 수 있는 모든 결과의 집합 교본 공간입니다 자 세 번째는 사건이에요 자 표본 공간의 부분집합이라고 쓰여 있는데 우리가 흔히 이렇게 표현을 합니다 자 예를들어 주사위를 던졌을 때 주사위를 던졌을 때에 2의 배수가 나올 사건을 구할 거예요 2의 배수가 나오는 사건 자 그러면이 사건이란 건 표본 공간의 부분집합이고요 이에 배수들로 이루어진 부분집합을 말하는 겁니다 즉이 사육이 바로 2의 배수가 나오는 사건이고 그걸 우리가 집합으로 표현하면 원소로 2462 들어가 있는 거예요 자 세 번째는 근원 사건이고요 근원 사건은 부분집합 중에서 한 개의 원소로 이루어진 집합을 말합니다 자 이런 걸 말하는 거겠죠 우리가 1이 들어갈 수도 있고요 2가 들어갈 수도 있고 뭐가 들어갈 수도 있고 이런 애들을 말합니다 자 전 사건은 반드시 일어나는 사건이에요 반드시 일어나는 사건 그럼 반드시 일어나니까이 부분집합 안에는 모든원소가 들어가 있어야 됩니다 즉 표본 표본 공간과 똑같은 집합으로 이루어진 사건이죠 자 이렇게 됩니다 1 2 3 4 5 6 자 공사건은요 공사건은 우리가 절대로 일어나지 않는 사건이에요 절대로 일어나지 않는 사건이고 공집합이죠 원소가 없어야 됩니다 원소가 없어야 돼서 공집합 자 이렇게 우리가 용어 정리까지 했고요 표본 공간은요 우리가 이제 집합으로 표시를 하는데 샘플 스페이스의 첫 글자인 s를 따서요 집합 s라고 많이 표현을 합니다 이렇게 s는 하고 이렇게 원소를 써줍니다 자 공집합이 아닌 경우에만 생각을 해요 우리가 공집합은 따로 생각하지 않습니다 자 넘어가겠습니다 이번엔 배반사건과 여사건인데요 제가 요렇게 좀 예시를 들어볼게요 자 마찬가지로 주사위를 던지는데요 주사위를 던지는데a라는 사건은 2의 배수가 나오는 사건이고요 b라는 사건은 우리가 주사위를 던져서 이하의 자연수가 나오는 사건이에요 자 그랬을 때 a라는 사건은이 집합 안에 어떤 원소들을 가지고 있어요 2랑 4랑 6을 같겠죠 자 이하의 자연수니까 b라는 사건의 집합은 2라고 2가 이렇게 들어가겠네요 자 그랬을 때 합사건이라 그러면 지금 A 또는 b가 일어나는 사건이라 적혀 있죠 그럼 우리가 이거를 말로 표현하면 어떤 사건이냐 말로 표현하면 어떤 사건이냐면 2의 배수 또는 이에 배수 또는 2 이하의 이하의 자연수가 나오는 사건을 의미합니다 자 그래서이 사건의 원소는 우리가A 합집합으로 찾아내는 거예요 a 합집합으로 우리가 겹치는 거는 한 번만 써줘야 됩니다 그래서요 집합 안에는 어떤 원소들이 들어가냐 1 2 4 6이 들어가게 되는 겁니다 자 이번엔 곱사건이고요 곱 사건은 a와 b가 동시에 일어나는 거예요 즉 주사위를 던졌는데 그 던진 숫자가 던져서 나온 숫자가 2의 배수이면서 이하의 자연수가 나오는 사건을 말합니다 우리가 집합 a 교집합 b로 구할 수 있고요 어떤 원소가 들어가 있겠어요 이에 배수이면서 이하의 자연수인 건 2밖에 없죠 자 세 번째는 배반사건이고요 우리가 배반사건은 a와 b가 동시에 일어나지 않을 때 즉 교집합이 공집합일 때를 의미합니다 그러면 제가 지금 여기에 써 놓은 a라는 집합과 b라는 집합이 배반 사건인가요 자 요렇게 써놓은 2의배수와 요렇게 써놓은이 이하의 자연수는 대반 사건이 아닙니다 얘랑 얘는 배반 사건이 아니에요 우리가 교집합이 존재하죠 교집합집 국사건이 존재하니까 대만 사건이 아닌 거예요 그런데 만약에 제가 c라는 집합을 홀수라고 할 거예요 주사위를 던져서 홀수가 나오는 사건 그러면 ec라는 집합 안에는 1 3 5가 들어가겠죠 자 이랬을 때 지금 a 교집합 c가 a 교집합 c가 존재하나요 존재하지 않죠 이에 배수이면서 홀수인 숫자는 없어요 이렇게 교집합이 공집합으로 나오는 경우에 우리는 이거를 배반사건이다 배반 사건이다 a와 c는 배반 사건이다라고 표현을 해줍니다 자 이번엔 여사건인데요 자 여사건은 사건 a가 일어나지 않는 사건을 우리가 a의 여사건이다라고 표현을하고요 기호로는 이렇게 여집합처럼 여집합과 의미가 같기 때문에 a의 여집합으로 표현을 합니다 그럼 우리가 지금 a의 여집합을 구할 건데 우리가 여집합을 구하려면 뭐를 알아야 돼요 전체 집합을 알아야 됩니다 전체 집합을 알아야 되는데 전체집합은 뭘까요 바로 표본 공간이죠 우리가 어떤 시행에서 나올 수 있는 모든 원소들을 가지고 있는 집합 바로 표본 공간입니다 그래서 우리는 a의 여집합을 구해 볼 건데 자 a가 이제 2의 배수예요 그럼 a의 여집합은 뭐겠어요 우리가 표본공간 전체집합을 s라고 표현을 한다고 했고요이 안에는 원소가 1 2 3 4 5 6이 들어 있습니다 이때 246을 제외한 1 3 5라고 하면 되겠죠 자 그럼 넘어가겠습니다 자 개념 이제 볼 건데요 지금 표본공간에는 1부터 10까지 자연수가 들어있고요 이거의 두 사건 a라는 사건은 13579 b라는 사건은 2357입니다 자 옳은 것을 고르라고 했고요 첫 번째 a와 b는 서로 배반 사건인지 물어봤어요 자 우리 배반 사건이라면 a 집합 b가 공집합이어야 됩니다 그런데 지금 공집합인가요 공집합이 아니죠 교집합이 지금 3 5 7입니다 따라서 우리는 배반사건이 아니라는 거 알 수 있고요 자 두 번째 볼게요 이번에는 ab에 합사건을 구하라고 했어요 합사건은 우리가 어떻게 구해요 a 합집합 b로 구합니다 자 a 합집합 b에는 1 2 3 5 7 9라는 원소가 들어가 있죠 그런데 지금 여기 보면 2가 빠졌네요 얘도 틀렸습니다 자 이번에 3번 볼 건데 주사권ab의 곱사건은 3579다라 그랬어요 우리 곱 사건은 어떻게 구해요 a 교집합 b로 구하죠 자 그런데 우리가 아까이 교집합 b를 357이라고 구해놨습니다 그러면 국사건이 지금 여기 9라는 원소가 하나 또 들어가 있네요 들어가면 안 되는데 들어가 있죠 3번도 틀렸습니다 자 4번 사건의이여 사건은 2468이다 그랬는데 우리가 지금 a라는 집합이 13579기 때문에 A 여집합은 2468만 있는게 아니라 10까지 들어가야 됩니다 그래서 얘도 틀렸고요 마지막 b의 여사건은 우리가 b의 여집합을 구하는 거고요 2357을 제외한 1 4 6 8 9 12 원소로 들어가야 되니까 여기 지금 잘 들어가 있네요 답은 5번입니다 자 여기까지 됐나요 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 수학적 확률인데요 자 확률이 뭐냐 어떤 시행에서 사건 a가 일어날가능성을 수로 나타낸 것을 우리가 확률이라고 합니다 우리가 기후로는 pa라고 씁니다 a의 확률을 b라고 쓰는 거예요 자 p가 어디서 온 거냐 우리는 확률을 뜻하는 프로보밸리티의 첫 글자 p를 따서 우리는 p라고 쓰는 거예요 자 그리고 우리가 그러면 예시를 하나 가지고 갈 건데 주사위를 던지는 시행에서요 a라는 사건은 2의 배수가 나오는 사건이라고 할 겁니다 자 그러면 우리가 수학적 확률이 뭐냐 표본공간 s인 어떤 시행에서 각 근원 사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때라고 써 있어요 자이 말을 우리가 좀 먼저 보고 갈 건데 근원사건이 뭐였어요 우리가 원소 하나가 들어간 사건을 근원사건이라 그랬어요 2라 3 이런 사건을 말하죠 근데 그 가능성이 모두 같대요그러니까 주사위를 던져서 1이 나올 가능성이나이가 나올 가능성이나 3이 나올 가능성 4 5 6 각각 모든 가능성이 똑같은 경우에요 우리가 주사위를 던지는데 3이 나올 확률이 더 크지는 않죠 3이 더 자주 넣어 나오거나 하지 않아요 우리가 같은 정도로 나오는 것이 기대될 때 우리는 그 사건 a가 일어날 확률을 어떻게 구하냐면 표본 공간의 원소 개수 분의 우리가 a라는 사건의 원소 개수로 구할 수가 있습니다 자 예를 들어서 제가 지금 a는 2의 배수라고 했고요 그러면 a라는 집합 안에는이랑 4랑 6이 들어가 있어요이랑 사람 6이 들어가 있는데 우리가 pa를 구해주면요 자 표본공간 s 왼손은 몇 개예요 1 2 3 4 5 6 6개죠 6분의 자 a라는 사건의 원소 3개입니다 그래서 우리는 pa를1/2이다 즉 주사위를 던져서 2의 배수가 나올 확률은 2분의 1이다라고 계산을 할 수가 있는 겁니다 자 그래서 우리가 이렇게 계산하는 것을 원소개수로 계산하는 것을 수학적 확률이라고 하는 거예요 그리고이 수학적 확률은요 표본공간이 공집합이 아닌 유한집합인 경우에서만 생각을 합니다 우리가 무한집합인 경우에는 우리가 수학적 확률을 고려하지 않아요 생각할 수 없습니다 자 넘어갈게요 자 개념미재 볼 건데요 남자 2명과 여자 3명이 원탁에 둘러앉을 때 남자끼리 이웃하게 앉을 확률을 구하라 그랬어요 저는 그럼 여기서 남자끼리 이웃하게 앉는 사건을 a라고 하겠습니다 그러면 우리가 구하는 건 a라는 사건이 일어날 확률 즉 pa를 구하는 거고요 ba는 우리가 NS 분의na로 구할 수 있다 그랬어요 자 ns의 의미가 뭐냐 우리가 지금 표본 공간의 원소 개수죠 자 표본 공간은 일어날 수 있는 모든 결과에 집합이에요 즉 ns는 전체 경우의 수입니다 전체 경우의 수 일어날 수 있는 모든 결과니까 전체의 경우의 수를 말하는 거구요 여기서는 남자 2명하고 여자 3명이 원탁의 둘러앉는 경우가 전체 경우의 수인 거예요 자 그랬을 때 a라는 사건이 일어나는이 na는 a라는 사건의 원소 계수죠 a라는 사건의 원소개수니까 남자끼리 이웃하여 않는 경우의 수 남자끼리 이웃하는 경우의 수를 의미합니다 자 그러면 이거 계산을 할 건데 자 전체 경우의 수 ns는 몇이에요자 ns는 사람 5명이 그냥 둘러앉는 겁니다 남자 2명 여자 세 명 즉 사람 5명이 원탁에 둘러앉는 거예요 5-1의 팩토리얼이죠 4팩토리얼이니까 즉 24라고 계산을 할 수가 있고요 이번엔 na를 계산할 건데 na는 남자 두 명하고 남자 2명하고 여자 세 명이 둘러앉긴 하는데 남자 2명이 이웃하여 앉죠 자 우리 이렇게 이웃하여 앉는 경우는 두 개를 묶어서 경우의 수를 해줍니다 얘네랑 하나로 보고요 분명 두 명 세 명네 명 이렇게네 명이 둘러앉는 거니까 4-1의 팩토리얼인데 우리가 이렇게 남자끼리 이웃할 때 둘이 다리를 바꿀 수도 있겠죠 둘이 자리를 바꿀 수 있으니까 곱하기 2까지 해서 계산을 해주면 우리가 10이라고 계산을 할 수가 있습니다따라서 ba는 24분의 12구요 2분의 1이라고 계산을 할 수가 있습니다 자 넘어가겠습니다 이번엔 통계적 확률인데요 자 일반적으로 어떤 시행을 n번 반복할 때 자 a가 일어난 횟수를 rn이라고 한대요 자 그러면 n이 매우 커질수록 우리 사건 a가 일어나는 상대도 수 n분의 아래는 일정함과 b에 가까워지는 거예요 이때이 p를요 사건 a가 일어날 통계적 확률이다라고 하는 거예요 자 예를 들어서요 어떤 야구 선수가 있는데 어떤 야구 선수가 타석에 100번 들어섰어요 타석에 100번 들어서는 동안 공을 30번 첫 타고 합시다 그러면 만약에 타석에 1000번 들어섰어요 1000번 들어서면 아마 공을 300번 칠 수 있겠죠 우리가 이렇게일어나는 횟수가 다석이 들어서는 횟수가 많으면 많아질수록이 값이 일정이집니다이 비율이 일정해지는 거예요 100분의 30이나 100분의 30이나 천분의 300이나 여러분 들어서면서 할수록이 값이 항상 일정해집니다 자 이때이 비율을요 우리는이 비율을이 사건 a가 일어날 확률이라고 하는 거예요 즉 다석이 들어섰을 때이 야구 선수가 공을 칠 확률 p는 10분의 3인 겁니다 우리가 이거를 통계적 확률이라고 해요 우리가 타석에 100번 들어서고 천번 들어설 수 있지만 이거를 계속 늘릴 수는 없죠 우리가 이거를 계속 늘릴 수는 없습니다 n을 한없이 크게 할 수 없으므로 우리가 그냥 충분히 크다면 충분히 크다면 그냥 그때의 비율을 통계적 확률이다라고 하는 거예요 자 그리고요 어떤 사건 a가 일어날 수학적 확률이 p일 때시행일수 n을 충분히 크게 하면 우리는이 상대도스 n분의 rn이 수학적 확률 b에 가까워진다는 것이 알려져 있습니다 우리가 통계적 확률로 구한이 p라는 것이 결국은 수학적 확률과 가까워진다라는 얘기를 하고 있는 겁니다 그래서 우리는 여기서 통계적 확률이라는 것은 전체 회수분해 어떠한 사건이 일어난 횟수로 그 확률을 구할 수 있다라고 하는 거예요 자이 내용을 활용해서 우리가 개념 예제 볼 거고요 지금 야구공을 생산하는 어느 회사에서 1000개의 야구공을 생산했는데 4개의 분량품이 나왔대요 그러면 하나의 야구공을 생산했을 때 생산한 야구공이 불량품일 확률을 구하라고 했고요 자 천기 중에 1000개 중에 지금 4개가 불량품이에요 그러면 불량품일 확률이 통계적 확률을 계산하면 1000분의 4적 즉 250분의 1입니다 그러면 우리가 하나의 야구공을생산했을 때 그게 불량품일 확률이 바로 250분의 1인 거예요 자 우리가 요게 통계적 확률입니다 자 이번엔 확률의 기본 성질이고요 표본공간s에 임의의 사건 a에 대해서요 자 우리 어떤 사건이 일어날 확률 pa는 0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같겠죠 우리가 어떤 사건 a가 일어날 확률이 음수가 될 수는 없어요 음수가 될 수는 없지만 0이 될 수는 있죠 일어나지 않는 경우가 0이니까 0이 될 수는 있습니다 그리고 가장 큰게 1이에요 우리가 수학적 확률에서 pa라는게 NS 분의 na라고 배웠는데 a라는 사건의 원소 개수가 표본 공간에 원소 개수보다 커질 수는 없어요 표본 공간이라는 것이 모든 결과를 원소로 가지고 있기 때문에 na가 더 커질 수 없습니다 그래서 같아질 때 같아질 때가 제일 na가큰 거고 그 값이 가장 큰 확률 1이 되는 거예요 그래서 pa라는 확률값이 0 이상 1 이하다라는식이 이렇게 있는 거고요 2번은 자 표본 공간의 확률입니다 우리 표본공간이란 거는 좁은 공간이라는 것은 모든 결과를 원소를 가지고 있기 때문에 ps는 1이구요 자 공집합 즉 공사건이죠 공사건이 일어날 확률은 일어날 수 없기 때문에 0이 되는 겁니다 자 그러면 우리가이 개념 예제를 풀어 볼 건데 한 개의 주사위를 한번 던질 때 다음을 구하라고 했고요 자 6의 약수의 눈이 나올 확률을 구하래요 자 주사위를 던져서 나오는 6위의 약수는 1라고 2하고 3하고 6이죠 그러면 우리가 이거를 사건 a라고 했을 때 자 pa는 NS 분의 na고요 자 표본 공간에 원소개수는 6입니다주사위를 던져서 나올 수 있는 눈의 개수는 6개 1 2 3 4 5 6이죠 자 그리고 a라는 사건의 원소개수는 4개니까 우리는 3분의 2라고 계산을 할 수가 있겠네요 자 그런데 이번엔 음수의 눈이 나올 확률이래요 자 그러면 제가 음수의 눈이 나오는 사건을 b라고 하면 b는 뭐예요 공집합이죠 원소가 없습니다 그래서 pb는 뭐예요 공사건이기 때문에 확률이 0인 거예요 자 6 이하의 눈이 나올 확률을 구하라고 했고요 6 이하의 눈이 나오는 사건을 c라고 하면 c라는 집합의 원소는 1 2 3 4 5 6입니다 즉 표본 공간과 같아요 그래서 우리는이 확률 pc를 뭐라고 계산할 수 있어요 항상 일어나는 사건이니까 1이다라고 하면 되는 겁니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 확률의 뜻에 관에 공부를 했고요 우리가 처음 배우는 용어들이 좀 있으니까어떤 용어가 어떤 걸 의미하는지 정확하게 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]