[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 확률 - 확률의 덧셈정리

수학대왕 [음악] 자 오늘 배울 내용은 확률의 덧셈정리구요 우리가 덧셈정리 즉 확률의 합을 어떻게 계산할 거냐 요거를 좀 볼 겁니다 자 두 사건이 2위에 대해서 a 합집합 b가 일어날 확률은요 a가 일어날 확률과 b가 일어날 확률을 더한 다음에 a와 b가 동시에 일어나는 즉 ab의 곱사건이 일어날 확률을 이렇게 빼줍니다 자 우리가 a 합집합 b의 확률을 계산하기 위해서는요 수학적 확률이라면 이렇게 계산을 할 수가 있죠 자 NS 분의 n의 a 합집합 b로 이렇게 계산을 할 수가 있어요 그런데 우리가 A 합집합 b의 원소개수는 이렇게 쓸 수가 있습니다na+ nb-naug 팝 b라고요 우리가 원소개수를 셀 때는 이렇게 세 줘야 되는 거를 외웠죠 그러면 ns를 쪼개주면 이렇게 좀 쓸 수 있을 것 같아요 NS 분의 NA + NS NB - NS 분의 NA 교집합 b라고 쓸 수가 있습니다 자 이럴 때 NS 분의 na는요 자 a가 일어날 확률 ba와 같죠 자 얘는 사건 b가 일어날 확률과 같고요 얘는 ab의 곱사건 즉 a 교집합 b가 일어날 확률과 같습니다 그래서 우리가 수학적 확률을 이렇게 계산을 할 수가 있어요 수학적 확률을 통해서 pa의 합집합 b는 pa+b-ba 교집합 b와 같고요 통계적 확률인 경우에도 마찬가지로 계산을 할 수가 있습니다 우리가 통계적 확률도 결국 우리가 횟수가 많아지다 보면수학적 확률과 같아진다는 것까지 지난 시간에 배웠었죠 그래서 우리는 a 합집합 b의 확률을 이렇게 계산을 할 거고요 만약에 a랑 b가 배반사건이면 배반사건이면 뭐예요 교집합이 공집합인거죠 즉 우리가 교집합이 공집합이니까 이렇게 계산을 할 수가 있어요 a 합집합 b가 일어날 확률은 그냥 a가 일어날 확률과 b가 일어날 확률을 더해주면 된다라고 할 수 있는 겁니다 자 그러면 넘어가서 우리가 개념 예제 보도록 할 건데요 지금 1번 문제 보면 pa는 3분의 2고 pb는 1/2일 때에 pa 교집합 b는 1/6이라고 써 있어요 이때 b a 합집합 b를 구하는 거구요 자 b의 a 합집합 b를 계산을 해주면 우리가 ba + b -ba 교집합 b로 계산을 할 수가 있죠 자b에 있는 3분의 2고요 pb는 1/2입니다 그리고 b a 교집합 b는 6분의 1이고요 우리가 이거를 통분을 해서 6으로 통보를 해서 재산을 해주면 4+3 - 1이니까 6분의 6 즉 1이 나오네요 자 그래서 pa합집합 b는 1이구요 우리가 확률이 1은 나올 수 있습니다 0 이상 1 2 하기 때문에 1이 나오는 거는 문제가 없어요 그럼 우리가 여기서 뭘 알 수 있는 거예요 a 합집합 b는 a 합집합 b는 s와 같구나 요것도 우리가 알 수가 있습니다 자 2번을 보면요 지금 피해 있는 3분의 1이고 pb는 4분의 1인데 a 교집합 b가 공집합이래요 자 이거는 우리가 배반사건이라는 것을 알 수가 있습니다 배반사건이라는 걸 알 수가 있고요 pa 합집합 b를 계산을 해주면ba + p입니다 즉 1/3 + 4분의 1이니까 12분의 7이라고 계산할 수가 있습니다 자 여기까지 됐나요 넘어가도록 하겠습니다 자 이번엔 또 다른 개념 예제인데요 1부터 50까지의 수가 적혀 있는 카드 50장이 있는데 자 여기서 임의의 한 장의 카드를 꺼낸대요 자 근데 카드에 적힌 수가 3의 배수 또는 5의 배수의 확률을 구하라 그랬어요 그러면 저는 카드 한 장을 뽑았을 때 3의 배수가 나오는 걸 사건 a라고 할 거고요 5의 배수가 나오는 거를 사건 b라고 하겠습니다 그럼 우리가 지금 구하는 건 p의 a 합집합 b구요 우리가 pa + PB - pa 교집합 b로 계산을 할 수가 있습니다 자 pa는요 우리가 뭐라고 계산을 할 수가 있어요 지금 50장의카드 중에 카드란 장 뽑았더니 3의 배수가 나온대요 그러면 전체 50가지 중에 50가지 중에 3의 배수 몇 개 있어요 3의 배수 16개 있죠 3의 배수가 16개 있습니다 3 6 9 쭉 가서 48까지구요 48은 3x4 아 16이니까 3 곱하기 16이니까 3의 배수가 통 16개 들어있는 거예요 그래서 우리가 사건 A pa는 50분의 16으로 계산을 할 수가 있고요 자 pb는 자 전체 50가지 중에 5의 배수가 나오는 카드는 몇 장 있어요 10장 있죠 그래서 50분에 10입니다 자 여기서 a 교집합 b를 뺄 건데 자 a 교집합 b는요 3의 배수면서 5의 배수인 카드를 뽑은 사건이에요 그러면 3의 배수이면서 5의 배수는 뭐예요15의 배수죠 즉 15의 배수가 적혀 있는 카드를 뽑는 사건이 a 교집합 b라는 사건이에요 그럼 이게 일어날 확률은 전체 카드 50장 중에 15의 배수가 적혀있는 카드 3장 이렇게 빼주면 되고요 우리가 이거는 50분에 23으로 계산을 할 수가 있습니다 따라서 pa 합집합 b는 50분의 23이에요 자 넘어갈게요 자 이번엔여 사건의 확률인데요 사건 a에 여사건을 A 여집합이라고 하면요 우리가 여사건의 확률은 이렇게 구할 수 있습니다 1-pa라고요 우리가 사건 a가 일어나지 않는 모든 결과가 a의 여집합이니까 우리는 a가 일어날 확률이 만약에 3분의 1이에요 그러면 a가 일어나지 않을 확률은 3분의 2가 되는 겁니다 전체 합해서 전체 확률 1이 나와야 되거든요 그래서 우리는a 여집합 즉 pa 여집합의 값은요 우리가 a가 일어나는 확률을 2에서 빼주면 됩니다 자 이거는 보통 이렇게 표현이 돼요 적어도 뭐 뭐인 사건 뭐 뭐 이상인 사건 이하인 사건 이런 확률을 구할 때 우리는 6건의 확률을 이용하는 경우가 많습니다 특히 적어도 멋모인 사건인 경우에 우리가 여사건을 활용하는 경우가 정말 많구요 자 개념 예제 보면서 우리가 한번 이거를 직접 적용을 시켜 볼게요 수학을 좋아하는 학생 3명과 영어를 좋아하는 학생 4명 중에서 임의로 세 명을 뽑는데요 그런데 적어도 한 명은 수학을 좋아하는 학생이라 그랬어요 그러면 우리가 원래 구해야 되는 확률은요 사람이 3명 뽑는데 적어도 한 명이 수학을 좋아한다는 말은 한 명이 좋아할 수도 있고요두 명이 좋아할 수도 있고 3명이 좋아할 수도 있어요 그런데 우리가 세 명을 뽑으면 [박수] 1 - 자 a 여집합의 확률은 뭐예요 우리가 지금 7명 중에 3명 4명이니까 7명입니다 7명 중에 3명을 뽑는데 수학을 좋아하는 학생이 한 명도 없는 확률을 구하는 거예요 그러면 우리가 전체 경우의 수를 지금 분모에 써 줄 건데 자 전체 경우의 수는 뭐예요7명 중에 3명 뽑는 겁니다 세 명 뽑는데 지금 순서가 상관이 있나요 순서가 상관이 없죠 그냥 뽑기만 하는 겁니다 그래서 조합을 쓸 거예요 7c3 자 그런데 우리가 지금 뽑았는데 수학을 좋아하는 학생이 한 명도 없어요 그러면 우리가이 뽑는 세 명은 영어를 좋아하는 학생 4명 중에서 3명을 뽑는 겁니다 즉 4시 3이 분자가 되는 거고요 이거를 계산해주면 1-35 답니다 따라서 35분의 31이에요 자 우리가 적어도 한 명은 수학을 좋아하는 학생이 확률은 35분에 31입니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 확률에 덧셈정리까지 모두 마무리를 했고요 오늘 배운 내용은 또 우리가 처음 배운 내용들이니까 복습하면서 개념 예제도 꼼꼼하게 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다감사합니다 [음악]