[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 확률 - 조건부확률

수학대왕 [음악] 자 오늘 학습할 내용은 조건부 확률입니다 자 우리가 조건부 확률이 뭐냐 일단은 이걸로 좀 먼저 볼 건데 표본공간s의 두 사건 a와 b에 대해서 확률이 0이 아닌 사건 a가 일어났다고 가정할 때 사건 b가 일어날 확률을 자요 마리 중요한 거예요 a가 일어났다고 가정할 때 지금 a가 일어난 상태입니다 a가 일어났는데 그때 사건 b가 일어날 확률을 말하는 거예요 그래서 이거를 사건 a가 일어났을 때에 사건 b에 조건부 확률이다라고 표현을 합니다 자 우리가 a가 일어났을 때 b가 일어날 확률이에요 이거를 기호로 어떻게 표현하냐 pba라고 표현을 합니다 a가 일어났을 때b가 일어날 확률 자 그러면 제가 좀 예시를 들어볼 건데 만약에 a라는 사건의 원소가 2 4 6이구요 자 b라는 사건은요 [음악] [음악] 3분의 2가 되는 겁니다 자 이거를 우리가 계산을 어떻게 해줄 거냐면 PB 바 a는요 우리가 a가 일어났을 때니까 a가 일어날 확률이 분모가 되고요 그a와 b가 동시에 일어나는 a 교집합 b의 확률이 이렇게 분자로 되는 겁니다 자 당연히 분모에 들어가는 pa는 0보다 커야겠죠 0이 될 수 없습니다 그래서 우리가 앞으로이 조건부 확률은요이 계산식을 통해서 우리가 계산을 해 줄 겁니다 자 우리가 PB 바 a는요 요렇게 NA 분의 NA 교집합 b로도 계산을 할 수 있겠죠 우리가 요거를 이렇게 쓸 수 있는 거예요 pa는 n에 na죠 그리고 pa 교집합 b는 NS 분의 n의 a 교집합 b니까 우리가 nsns 없애서 NA 분의 NA 교집합 b로도 계산을 할 수가 있는 거예요 자 그리고 마지막으로 우리가 pa가 b랑 b바 a는 확률이 같지는 않습니다 항상 같지 않아요 같을 수는 있죠 같을 때도 있겠지만 일반적으로는같지가 않습니다 a가 일어났을 때 b가 일어날 확률하고 b가 일어났을 때 a가 일어날 확률은 달라요 자 그러면 넘어가서 우리가이 개념 예제를 한번 풀어보도록 할 거예요 한 개의 주사위를 한 번 던지는 시행해서 주사위를 한 번 던지는 시행에서 유계약수의 눈이 나오는 사건을 a라고 한대요 그러면 a 안에는 어떤 원소들이 들어가 있어요 1 2 3 6이 들어가 있죠 자 소수의 눈이 나오는 사건을 b라고 한다 그랬으니까 b라는 집합 안에는 소수 2 3 5가 들어가겠죠 자 그러면 우리가 1번 키에 a 바비를 구할 건데요 자 얘를 계산을 어떻게 해요 자 b가 일어났을 때 a가 일어날 확률이니까 p/ba 교집합 b로 우리가 구할 수 있고요 요거는 우리가 이렇게도 계산을 할 수 있다 그랬죠 MB 분의 NA 교집합 b 자 b의 원소 3개입니다b의 원소는 세 개고 a 교집합 b면 a와 b의 공통으로 들어가 있는 원소니까 공통으로 들어가 있는 원소 2랑 3 두 개네요 따라서 3분의 2입니다 자 2번 볼 거고요 이번엔 p에 b.a인데 a가 일어났을 때 b가 일어날 확률이니까 b/a 교집합 a구요 우리가 요거는 NA 분의 NB 교집합 a로 구해줄 거예요 자 na는 4개의 원소고요 비교 집합 a의 원소는 두 개입니다 따라서 1/2로 계산이 되네요 자 됐나요 넘어가 보도록 할게요 자 개념에서 볼 건데요 흰 공 두 개 검은 공 세 개가 들어있는 주머니에서 두 개의 공을 꺼냅니다 그런데 흰 공이 나왔대요 두개의 개수가 한 개일 확률을 구하는문제입니다 자 그러면요 제가 여기서 두 개의 공을 꺼냈더니 신공이 나왔을 사건을 a라고 할게요 그리고 꺼낸 흰 공의 개수가 1인 사건을 즉 개수가 한 개인 사건을 b라고 할 겁니다 자 그러면요 우리가 지금 문제에서 구하는 건 a가 일어났을 때 b가 일어날 확률을 구하는 거죠 a가 일어났을 때 b가 일어날 확률을 구하는 거니까 조건부 확률을 통해서 우리가 구해줘야 되고요 조건부 확률 p에 비바 a를 구하는 문제입니다 그래서 이거의 계산은 p의 a분의 p 교집합 a로 할 거고요 자 NA 2분의 n의 비교 집합 a로 하겠습니다 우리가 na는 뭐냐면 공을 두 개 꺼냈는데흰 공이 나온 경우의 수예요 자 공을 두 개 꺼냈는데 흰 공이 나왔대요 그러면 신공을 두 개 뽑았을 수도 있고요 신공 하나 검은궁화나 뽑아 쓸 수도 있죠 요게 공을 두 개 꺼냈는데 흰공이 나오는 케이스들입니다 자 그러면 우리가 지금 흰공 두 개 뽑는 경우에서 살 건데 흰공 원래 몇 개 있어서요 두 개 있었어요 두 개 중에 흰 공을 두 개 뽑습니다 그런데 우리가 순서를 나열해요 안 해요 나열 안 하죠 그냥 두 개 뽑기만 하는 겁니다 그러면 순혈이 아니라 조합으로 우리가 구해주는 거고요 ec는 1입니다 자 이번엔 신공 하나 검은 공 하나 뽑을 건데 흰 공 두 개 중에 하나 뽑아요 흰 공 두 개 중에 하나 뽑으니까 조합 c로 계산하는 거죠 마찬가지로 우리가 뽑기만 하는 거예요 자 검은 공도 두 개 중에 하나 뽑는데 아 검은콩 세 개죠검은 공 세 개 중에 하나 뽑는데 마찬가지로 나열하지 않기 때문에 3c1로 구합니다 자 이때 우리가 흰 공을 뽑고 검은 공을 뽑는 거는요 하나씩 뽑아서 두 개를 동시에 뽑는 거죠 동시에 뽑는 거니까 우리가 이거는 곱해줘야 됩니다 곱의 법칙을 쓰는 거죠 따라서 6가지 경우가 나오네요 그러면 na는요 흰 공 두 개 뽑는 경우와 흰 공 하나 검은궁 뽑는 경우를 각각 더해서 7이라고 하는 거죠 자 두 개는 웨더 했을까요 두 개는 따로 일어나는 일입니다 흰 공도 2개 뽑으면서 흰 공 하나 검은궁 하나 뽑는 거를 동시에 할 수 있나요 두 개가 동시에 일어나지 않아요 동시에 일어나지 않기 때문에 합의 법칙으로 더해주는 겁니다 그래서 na는 7이라고 이렇게 구할 수 있고요 자 이번에 NA 교집합 b인데요 얘는 뭐예요 흰공을 뽑았는데 두 개를 뽑았는데 흰 공이 나왔는데 꺼낸 공이 한 개인거예요 그러면 그냥 뭐예요 신공 하나 뽑고 검은궁 하나 뽑은 검은궁 하나 뽑은 케이스를 말하는 거죠 따라서 아까 계산한 6가지입니다 NA 교집합 b는 6이에요 따라서 우리가 구하고 싶은이 확률은 7분의 6이라고 계산이 되네요 자 여기까지 됐나요 넘어가겠습니다 자 이번엔 확률의 곱셈 정리인데요 우리가 두 사건 ab에 대해서 pa도 양수고 pb도 양수일 때 다음과 같은식이 성립한다 그랬어요 자 이거는 우리가 앞에서 배운 앞에서 배운 조건부 확률 식을 그냥 변형을 해준 거예요 자 pb바a는 pa 교집합 b죠 이거를 pa 교집합 b에 관해서 정리를 해주면 이렇게 쓸 수 있죠 ba 교집합 b는 pb바 a 곱하기 ba라고 쓸 수가 있습니다 자 그러면 pa 바 b는요 b/b a 교집합 b인데 ba 교집합 b에 관해서 성리를 해주면 b의 a 바비 곱하기 pb입니다 따라서 이거를 a 교집합 b에 관해서 정리를 하면 요런 식들이 나오는 거예요 그걸 우리가 확률의 곱셈 정리라고 합니다 확률의 곱셈 정리 자요 식은요 단순하게 우리가 변형을 한 거긴 한데 우리가 좀 문제를 좀 풀어 보도록 할게요 자 개념 예제 보도록 할 건데요 주사건 ab에 대해서 지금 pa가 1/2이고 PB 바 a가 3분의 2라고 주어져 있어요 이때 우리는 pa 교집합 b를 구하는 거고요 확률의 곱셈 정리에 의하면pa 곱하기 p b 바 a로 구할 수가 있습니다 근데 문제에다 주어져 있죠 1/2 곱하기 3분의 2고요 우리가 계산해서 1/3이라고 답을 쉽게 낼 수가 있습니다 자 요거는 쉬워요 계산하는 건 쉬운데 다음 개념 예제 보도록 할게요 자 흰 공네 개와 검은궁 6개가 들어있는 주머니에서 철수와 0이가 순서대로 공을 꺼냅니다 그랬을 때 0이가 흰공을 꺼낼 확률을 구하는 문제에요 그러면 저는 0이가 신공권에는 사건을 a라고 할게요 그러면 우리가 지금 구하는게 영희가 흰 공 꺼내는 확률이니까 10개 중에 흰 공 4개 5분의 2에라고 하면 안 됩니다 왜냐하면 철수가 뽑고 영희가 뽑는 거예요 그러면 철수가 지금 공을 하나 뽑았죠 철수가 공을 하나 뽑으면 영희가 공을뽑을 때는 0이가 공을 뽑을 때는 지금 공의 개수가 4개 6개가 아닌 거예요 달라집니다 공의 개수가 그래서 우리가이 문제를 풀 때는 케이스를 나눠서 풀어야 돼요 케이스를 나눌 건데 자 영희가 공을 뽑는 순간 공의 개수가 달라진다 했고요 이거는 뭐에 의해 달라지는 거예요 철수가 무슨 공을 뽑느냐에 따라 달라지죠 그래서 케이스를 어떻게 나누냐 철수가 절수가 흰 공을 뽑아요 신공을 뽑고 영희가 흰 공을 뽑는 경우를 한번 계산해 볼 거고요 두 번째는 철수가 신공이 아니라 검은 공을 뽑고 검은 공법과 영희가 흰 공 뽑는 확률을 계산해 볼 거예요 자 이때 저는 철수가 철수가 흰 공 뽑는 사건을 b라고 하겠습니다 그러면 설수가 흰 공 뽑는 사건 비죠 그다음 뭐가일어났어요 영희가 흰 공 뽑았죠 그런데 영희가 지금 여기서 흰 공을 뽑는 건 철수가 흰 공을 뽑았을 때 영희가 행복을 뽑는 거죠 즉 조건부 확률이구요 pa 바 b입니다 자 밑에 거는 철수가 검은 공을 뽑는 거죠 그러면 철수가 검은 공 뽑을 확률은 우리가 공을 뽑는데 신공 아니면 검은 공이니까 pb의 여집합이라고 쓸 수 있어요 그러면 영희가 흰공 뽑는 건 뭐예요 이때는 철수가 검은 공 뽑았을 때 흰 공 뽑는 거니까 자 일단 철수가흰 공을 뽑아요 자 총 10개가 있는데 흰 공네 개 있으니까 10분의 4네요 자 그 다음에 영희가 흰 공을 뽑을 건데 원래 흰공 4개 검은 공 6개가 있었어요 그런데 지금 어떻게 된 거예요 철수가 흰 공을 뽑아서 흰 공이 3개가 되고 검은 공이 6개가 됐죠 그러면 0이가이 중에서 흰 공법을 확률은 몇 분의 몇이에요 9분의 3입니다 전체 9개 중에 흰공 3개 우리가 조건부 확률을 어떤 분수꼴로 바꿔서 계산한 것이 아니라 그냥 그대로 구분해 3이라고 계산을 해줬어요 자 밑에 것도 마찬가지입니다 철수가 일단 검은 공을 뽑으니까 10분의 6이고요 0이가 흰 공을 뽑는데 원래 흰공 4개 검은 공 6개에서 철수가 검은 공을 뽑았으니까 흰 공 4개 그대로 있고요 거문고 다섯 개 되죠 따라서이 중에서이 중에서 0이가 흰고뽑는 확률은 9분의 3이다 가깝 계산을 해주면 90분의 12랑 90분의 24구요 우리가 두 가지 케이스는 따로 일어나는 거죠 두 개가 지금 따로 일어납니다 두 개가 동시에 일어날 수 없어요 즉 합의 법칙을 적용하면 되고요 9분의 12+ 9분의 24를 계산을 해주면 90분의 36입니다 따라서 5분의 2가 답이 되는 거예요 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 조건부 확률에 관해서 학습을 마쳤구요 우리가 마지막에 푼 예제가 조금 어렵게 느껴질 텐데 케이스를 적절히 나눠서 우리가 확률을 계산할 수 있다는 거 그거 꼭 잘 기억을 하고 복습을 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]