[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 확률 - 사건의 독립과 종속, 독립시행

수학대왕 [음악] 자 오늘 한 스타일 내용은 사건의 독립과 종속 그리고 독립시행에 대해 배우도록 하겠습니다 자 일단은 우리가 독립과 종속이 뭔지 좀 먼저 배워 볼 건데 자 우리가 독립과 종속이 뭐냐면 어떤 사건 a랑 b가 있어요 사건 a라는 b가 있는데 어느 한 사건이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 끼치지 않을 때를 의미합니다 자 그러면 우리가이 말 그대로 식으로 좀 바꿔 볼 건데 어느 한 사건이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 끼치지 않는데요 그러면 pb가 일어날 자 b라는 사건이 일어날 확률 pb나 a가 일어날 때 b가 일어날 확률 pba가 같아지는게 바로 이거를 독립이라고 합니다자 어느 한 사건이 지금 a라는 사건이 일어났어요 a라는 사건이 일어났을 때 b가 일어날 확률하고 그냥 b가 일어날 확률이죠 이렇게 두 개가 같은 걸 우리가 독립이다라고 하는 거예요 자 그런데 이것뿐만 아니라 자 a가 일어났을 때 b가 일어날 확률이나 a가 일어나지 않았을 때 b가 일어날 확률이나 같아져야겠죠 어차피 a라는 사건 자체가 b라는 사건의 영향을 끼치지 않기 때문에 a가 일어나든 a가 일어나지 않든 비강상 똑같은 확률로 일어나야 되는 겁니다 자 이거를 우리가 a에 관해서 쓰면 이렇게도 쓸 수 있겠죠 b가 일어날 때 a가 일어날 확률 b가 일어나지 않을 때이가 일어나 확률 그리고 a가 일어날 확률 이거를 뭐라고 한다고요 독립이다라고 합니다 자 그리고 그렇지 않은 두 사건을 우리는 종속이라고 할 거예요 그래서 독립과 종속의 차이는 서로 영향을 미치냐 안 미치냐입니다자 맨 마지막 보면 a와 b가 독립이면 우리가 A 여집합과 b도 독립이다라고 나와 있는데 우리가요 식으로도 설명을 할 수가 있고요 자 a와 b가 독립이면 서로 영향을 미치지 않는 건데 a가 이런 나든 a가 일어나지 않든 b가 일어날 확률이 똑같기 때문에 a가 b랑 독립이면 A 여집합과 b도 성립입니다 자 마찬가지로 a와 b 여집합도 독립이고 a 여집합과 b여집합도 독립이에요 제일 중요한 건 요식입니다 요식 비비는 bbi와 같다 요거를 활용을 하도록 할 거예요 자 이제 관련된 개념 예제를 하나 풀어보도록 할 건데 한 개의 주사위를 던져서 6의 약수의 눈이 나오는 사건을 a라고 한대요 자 그럼 사건 A 안에는 어떤 원소들이 있어요 1 2 3 6이죠 자 짝수의 눈이 나오는 사건을 b라고한대요 그러면 b에는 b에는 짝수의 눈인 246이 들어가 있고요 홀수의 눈이 나오는 사건은 c라고 안 돼요 그러면 C 안에는 1 3 5가 들어가 있습니다 이때 두 사건이 서로 독립인지 동속인지 말하라고 했고요 자 1번을 우리가 풀어볼 건데 우리가 독립인지 아닌지 확인하기 위해서는 pa 바 b와 pa의 확률을 비교하는 겁니다 두 개가 같으면 독립이죠 b가 일어날 때 a가 일어날 확률과 그냥 a가 일어날 확률이 같다면 독립인 겁니다 자 pa 바비를 계산하기 위해서는요 b/b pa 교집합 b로 계산을 하고요 자 원소 계수를 계산을 하겠습니다 MB 분의 NA 교집합 B 자 a 교집합 b에는 원소가 뭐뭐 들어가 있을까요 2랑6이 들어가 있겠죠 그래서 두개고요 b는 원소가 세 개니까 3분의 2가 되겠네요 pa를 계산해 보도록 할게요 자 pa는요 우리가 주사위를 던져서 6가지 경우의 수가 나올 수 있는데 지금 a라는 사건은 4기 원소를 가지고 있습니다 따라서 3분의 2로 계산이 되죠 그러면 지금 어떻게 나왔어요 두 개의 확률값이 같죠 그러면 우리는 뭐라고 할 수 있는 거예요 a와 b는 독립이다 지금 b가 일어나는 것은 a가 일어나는데 어떤 확률에 변화를 만들어내지 못하기 때문에 영향을 끼치지 않기 때문에 독립이다라고 할 수 있는 겁니다 자 같은 방법으로 2번과 3번도 계속해 볼 거구요 자 b와 c를 알기 위해서 PB 밥 c를 계산을 할 건데 자 b바c는 p 교집합 c / pc고요 자 pc는 NC 비교집합시는자 그러면 b와 c의 교집합 안에는 지금 원소가 하나도 없어요 135랑 246은 교집합이 하나도 없습니다 자 은신은 3이니까 확률이 0이 나오죠 자 그러면 pb를 계산을 해 볼게요 자 b는 원소가 세 개가 있습니다 우리가 그러면 6분의 3이라고 할 수 있고요 2분의 1로 계산이 되네요 그러면 우리가 이런 경우에는 지금 확률이 다르기 때문에 b와 c는 종속이다 라고 할 수 있는 겁니다 자 3번 보도록 할게요 자 p c바 a를 계산을 할 거고요 pa분의 PC 교집합 a입니다 자 pa는요 우리가 n이로 해서 4구요 b c 교집합 a는 우리가 지금 교집합이 보면 1하고 3이에요 e라고 3이라고 3이 공통으로 들어가 있기 때문에요 자4분의 2죠 원소가 두 개니까 그래서 2분의 1입니다 이번에 pc를 계산을 할 거고요 pc에는 세기 원소가 있으니까 1/2이 되죠 그러면 지금 확률이 동일합니다 그렇기 때문에 c와 a는 독립이다 독립이다라고 할 수 있습니다 자 여기까지 됐죠 자 그러면 우리가 지금 이런 식으로 독립인지 종속인지 두 가지를 한번 구배를 해봤어요 그런데 우리가이 조건부 확률을 통해서이 독립과 종속을 구분할 수 있지만 요렇게 p 교집합 pa 교집합 b가 pa와 pb의 곱이라는이 식을 가지고도 우리가 독립인지 종속인지를 판단을 할 수가 있는 거예요 자 우리가 [음악] p b바 a랑 pb랑 같을 때 뭐라 그래요 독립이라 그러죠 그러면 이식을 조금 정리를 하면요PB 교집합 a 나누기 pa랑 pb랑 같은 거고요 ba 교집합 b는요 pa 곱하기 pb와 같다는 식으로 정리가 됩니다 그래서 우리가이식이 성립할 때요 이식이 성립할 때 우리는 독립이다라고 결론을 내릴 수 있는 거예요 그래서 자 독립이기 위한 필요충분조건은 자 pa 교집합 b가 ba 곱하기 pb다라고 나와 있는 거고요 앞으로는 요식을 통해서 우리가 독립과 종속을 많이 구별하게 될 거예요 자 여기 있는 pa와 pb는 어떤 확률을 의미하기 때문에 양수로 나오는 거고요 반대로 종속이기 위해서는요 종속이기 위해서는 이식이 성립하면 안 되겠죠 그래서 두 개가 같지 않을 때 우리는 종속임을 확인할 수가 있습니다 자 넘어가겠습니다 자a와 b가 독립이라 그랬어요 그러면 방금 배운식이 뭐예요 ba와 bb의 곱이 ba 교집합 b와 같다 여기 방금 배운 식이에요 지금 거기서 pa는 1/2이다라고 나와 있고 ba 합집합 b는 12분의 11이다라고 나와 있어요 bb의 값을 구하라고 했는데 자 우리가 지금 요식을 알고 있죠 a 합집합 b는요 pa+bb -pa 교집합 b로 우리가 계산할 수가 있습니다 자 pa 합집합 b는 문제에서 12분의 11이라고 줬고요 자 pa는 1/2이라고 줬습니다 우리는 지금 pb를 구하는 건데 제가이 구하는 pb를 x라고 하겠습니다 그러면 얘는 플러스 x고요 - pa 교집합 p인데 얘는 ba곱하기 b로 바꿀 수가 있죠 자 이때 pa는 1/2이고 b는 x니까 이거를 다 대입해서 정리를 해주면 1/2 플러스 x - 1/2 x로 정리가 됩니다 따라서 2분의 1x는 12분의 5고요 x를 우리는 6분의 5라고 계산을 할 수가 있습니다 자 그러면 우리가 pb는 6분에 오라고 답을 내면 되겠죠 자 넘어가겠습니다 자 이번엔 독립 시행의 확률을 보도록 할 건데요 자 독립시행이 뭔지 알아야겠죠 자 독립 시행이 뭐냐면 주사위나 동전을 여러번 던지는 경우와 같이 동일한 시행을 반복할 때 각 시행의 결과가 결과가 다른 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않는 경우 우리는 이거를 독립시행이라고 합니다자 다른 말로 표현하면요 우리가 주사위를 여러 번 던지는데 그 여러 번 던지는 행위가 그 여러 번 던지는 시행이 서로 독립인 거예요 그걸 우리가 독립시행이라고 하고요 자 만약에 주사위를 주사위를 던져서 다섯 번 던져서요 주사위를 5번 던져서 6의 약수의 눈이 육의 약수 눈이 세 번 나올 확률을 구하라고 한 상황이라고 할게요 세 번 나올 확률을 구할 거예요 자 그러면 우리가 주사위를 한 번 던져서 주사위를 한 번 던져서 6의 약수의 눈이 나올 확률은 우리가 유계약수는 1 2 3 6이기 때문에 한 번 던져서 유계약수의 눈이 나올 확률은 6분의 4 즉 3분의 2입니다 그렇죠 자 3분의 2인데 만약에처음에 던져서 유기약수가 나왔어요 그런데 한번 또 던집니다 두 번째 던졌을 때 6의 약수에 눈이 나올 확률이 변하나요 안 변하죠 우리가 처음에 유기 약수가 나왔다고 해서 두 번째 던졌을 때 요게 약수 눈이 덜 나오는게 아니에요 똑같은 확률로 나오는 겁니다 이렇게 우리가 똑같은 결과를 여러 번 시행하는 것을 우리가 독립시행이라고 하는 거예요 자 그래서이 확률 계산하는 방법을 이제 좀 배워 볼 건데 매회 사건 a가 일어날 확률이 p일 때라고 적혀 있어요 자이 p는 뭐냐면요 제가 아까 예시에서 다섯 번 던져서 세 번 나온다 그랬는데 한번 나올 확률이 3분의 2라고 했죠 이거를 p라고 하는 겁니다 요게 p에요 자 이거를 n번 반복하는 거예요 n번 반복할 때 R 번 일어날 확률을 구하는 겁니다 자 제가 아까예시로든이 주사위를 다섯 번 던져서 유기학수 눈이 세 번 나올 확률 구하는 예시로 한번 설명을 해 볼게요 자 우리가 다섯 번을 던질 거예요 주사위를 이렇게 다섯 번을 던지는데 유계약수 눈이 세 번 나오는 겁니다 얘 나오고 얘 나오고 얘 나왔다고 할게요 그러면 지금 3분의 2가 몇 번 일어났어요 3분의 2가 3번 일어났죠 그러면 3분의 1을 세제곱에 주면 되겠네요 1/3 * 1/3 곱하기 3분의 2니까 자 그러면 여기서 확률이 끝나느냐 그게 아닙니다 우리가 지금 세 번째랑 다섯 번째는 6의 약수 눈이 나오면 안 되죠 나오면 안 되는데 우리가 요것도 그런 확률 계산을 해줘야 되는 겁니다 안 나온다고 확률을 계산해 줘야 돼요 자 안 나올 확률은 뭐예요 우리가 나올 확률이 3분의 2니까 안 나올 확률은 여사건의 확률이기 때문에 1-p로계산을 하고요 그 값은 3분의 1입니다 따라서 3분의 1의 제곱이 나오는 거예요 그럼 여기서 끝나느냐 아직도 끝나지 않았습니다 우리가 뭘 골라 줘야 되냐면 제가 지금 육의 약수의 눈이 나오는게 첫 번째에 두 번째네 번째라고 해놨어요 그런데 첫 번째 세 번째 다섯 번째에 나올 수도 있고요 두 번째네 번째 다섯 번째 나올 수도 있죠 우리는 뭘 골라 줘야 되냐면이 다섯 번 중에 다섯 번 중에 6의 약수가 나오는 세 번이 몇 번째에 나오는지를 골라 줘야 되는 겁니다 그래서 5개 중에 3개를 고르는 거예요 6의 약수가 나올 그 세계를 골라 주는 건데 우리가 순서는 상관이 없죠 첫 번째 두 번째네 번째 나온 거랑 두 번째네 번째 첫 번째 나온 거랑 의미가 똑같습니다 똑같기 때문에 조합 조합을 이용해서5c3을 곱해줍니다 그래서 우리가 요렇게 확률을 계산해 주면 되는 거예요 요거를 계산하면 oc3은요 3 곱하기 2 곱하기 1분의 5 곱하기 4 곱하기 3이고 얘는 3의 5제곱 분의 8이죠 그러면 이렇게 약분 시켜서 우리가 243분에 3의 5제곱은 243입니다 80이라고 확률 계산을 할 수가 있는 거예요 그래서 이거를 우리가 식으로 좀 정리를 하면요 NC 아래 p의 r²의 1 - p의 n-r²이다라고 공식을 쓸 수가 있는 거예요 자 한번 일어날 확률은 피고요 한번 일어날 확률은 p고 그게 R 번 일어납니다 R 번 일어나는데 안 일어날 확률도 곱해줘야 돼요 안 일어날 확률 1-p가 n -r 번 일어나야 되고요 그거를 골라주는ncr까지 이렇게 곱해주면 우리가 독립 시행일 확률을 계산하는식이 나옵니다 자 이제 개념 이제 풀어 볼 건데요 자 오지선다 문제를네 문제를 모두 찍었대요 자 내 문제를 찍었는데 세 문제 이상 마칠 확률을 구하라고 했어요 자네 문제 중에 세 문제 이상 맞출 확률이니까요 세 문제 맞췄을 수도 있고요 또는 네 문제에 맞춰 쓸 수도 있습니다 그래서 이거 확률 구하고 이거 확률 구해서 두 개를 더해 줄 거예요 자 그러면 지금 오지선다 문제니까 한 문제를 찍어서 맞출 확률은 몇 분의 몇이에요 보기가 5개인데 답은 하나니까 5분의 1이죠 그래서 p가 1/5인 겁니다 자 그러면 세 문제에 맞췄을 확률 계산을 먼저 해 볼게요 자 일단은 세 개 맞추니까요 우리가4c3이고요 곱하기 맞출 확률의 맞춘 확률 1/5의 3제곱 그리고 못 맞출 확률 5분의 4가 몇 번 일어나요 한번 일어나죠 이렇게 계산을 해주면 되고요네 문제 맞출 확률은요네 문제 맞출 확률은 자 4개 중에 4개에요 뭐가요 5분의 1이 4개죠 한 문제 맞춰 확률이 1/5인데 우리가네 문제로 맞추니까 5분의 1의 네제곱인 겁니다 자 그리고 못 맞출 확률 5분의 4의 0 제곱 한 번도 일어나지 않죠 맞추는 문제는 없습니다이 경우에 그래서이 확률과 이확률을 각각 계산을 좀 해주면요 4c3은 4 그리고 5의 네제곱 분의 4구요 계산하면 625입니다 자 오른쪽에 있는 거는 일곱 파기 5의 4제곱 분의 1이구요결국 625예요 그래서 두 확률을 더해주면 625 계산이 됩니다 이렇게 우리가 확률도 계산을 할 수가 있고요 자 오늘 배운 내용은 여기서 끝났구요 우리가 배웠던 독립과 동속에 관한 개념 그리고 이거를 어떻게 구할 수 있는지 꼭 알고 계셔야 되고요 우리가이 독립시행이라는 것도 조금 문제를 어렵게 풀다 보면 어려운 문제를 풀다 보면 조금 어렵게 느껴질 수 있어요 그래서 오늘 배운 내용 꼭 복습하고 n과 r과 p와이 의미가 각각 어떤 걸 의미하는지 얘네들이 어떤 걸 의미하는지 꼭 숙지하고 넘어가시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]