[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 통계 - 확률변수와 확률분포

수학대왕 [음악] 자 오늘 아스팔 내용은 확률 변수와 확률 분포구요 오늘 좀 새로운 개념들이 많이 나와요 많이 나오니까 꼼꼼하게 우리가 또 이해가 안 가는 부분이 있으면 강의를 멈추고 다시 돌아가서 다시 들으면서 꼭 이해하고 다음 걸로 넘어가시기 바랍니다 자 일단은 확률 변수를 먼저 볼 건데요 확률변수가 지금 뭐라고 쓰여져 있냐면 어떤 시행에서 표본공간의 각 원소에 하나의 실수를 대응시킨 함수를 확률변수라고 한대요 자 말이 조금 어려운데 우리가 어떤 표본 공간에요 표본 공간에 여러 원소가 있을 겁니다 좁은 공간의 원소가 있는데 그 원소를 원소를 가질 수 있는 원소를 가질 수 있는 변수를 말하는거예요 그거를 변수 x라고 많이 씁니다 대문자를 써서 x라고 써요 자이 확률변수 x는 예를 들어서 주사위를 던져서 나올 수 있는 눈의 수를 확률변수 x라고 할 거예요 그러면 그때이 표본 공간 안에는 1 2 3 4 5 6이라는 원소들이 들어가 있죠 자 그러면 확률변수 x가이 값들을 가질 수 있는 거예요 x는 1이 될 수도 있고요 x는 2가 될 수도 있고 x는 3이 될 수도 있고 x는 6이 될 수도 있고이 표본 공간의 원소들을 가질 수 있는 변수를 확률변수라고 합니다 자 그럼 이때 우리는 어떤 기호를 또 배우냐면 자 예를 들어 x가 3일 때일 확률을 구하고 싶어요 즉 주사위를 던져서 3이 나오는 확률을 기호로 나타낼 건데 주사위를 던져서 3이 나오니까 x는 3이고요 이때의 확률은p를 씁니다 p에 x는 3이다 이러면 3이 나올 확률을 나타내는 기호입니다 자 p의 x는 5면 5가 나올 확률을 나타내는 거겠죠 자 그래서 뭐가 나올지 모르니까 그거를 소문자 x를 써서 나타내고요 b의 x는 x다 그러면요 x가요 x가 나올 확률을 나타내는 기호입니다 다음에 마지막에 보면 알파벳 대문자 x y z 등으로 우리는 확률변수를 나타내고요 자 확률변수가 가질 수 있는 값은 소문자 X Y z로 나타냅니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 이상 확률 변수인데요 자 확률변수 x가 가질 수 있는 값이 셀 수 있을 때이 x를 이사 확률변수라고 한대요 자 제가 계속 주사위를 예시로 들고 있는데 주사위를 던져서 나올 수 있는 눈의 수가 1 2 3 4 5 6이라고 했고요 그거를확률변수 x가 이렇게 가질 수 있다고 했습니다 자 그러면 지금 확률변수가 가질 수 있는 값들이 몇 개예요 6개죠 자 이렇게 셀 수 있을 때 우리는 확률변수 중에서도 이산 확률 변수라고 하는 거예요 자 확률변수 중에서 이사 확률 변수라고 할 수 있는 겁니다 자 이때요 우리가 이상학 유변수 x가 가질 수 있는 값들이 만약에 X1 x2 X3 xn이고 이때 확률이 각각 B1 P2 p3 pn이면 우리는 어떤 확률변수 x1이 나올 확률이 p1인 거고 x2가 나올 확률이 p2인 거고 xn이 나올 확률이 pn인 거죠 자 이들의 대응 관계를 이렇게 대응되는 관계를 우리가 뭐라고 하냐면 확률분포라고 합니다 우리가 x1이 나올 확률 P1x2가 나올 확률 P2 이렇게 대응되는 관계를 확률분포라고 하는 거예요 그래서 이거를 우리가 알아보기 위해서 표를 활용하고요 그 표를 확률 분포표라고 합니다 확률 분포표 그래서 이렇게 표로 나타낼 수가 있어요 자 x값이 x1일 수도 있고 x2가 x2일 수도 있고 x3일 수도 있죠 그리고 그때의 확률을 각각 이렇게 적어준 겁니다 이렇게 적어줬어요 자 요거는 뭘까요 xi가 나올 확률을 나타내는 기호죠 xi가 나올 확률을 나타내는 기호입니다 그래서 이렇게 쓸 수 있고요 자 여기 있는 각각의 확률들을 모두 더하면 항상 입이 나와야 돼요 우리가 확률의 합은 항상 1이 나와야 됩니다 우리가 확률의 합이란 것은 가능한 모든 경우를 지금 말하고 있는 거기 때문에 가능한 모든 경우를 합치면 전체 1이 나와야 되는 거예요그래서 이렇게 우리가 함께 1이 되는 것도 확인할 수 있고요 자 불량품의 개수나 우리가 앞면이 나온 동전의 개수 등과 같이 셀 수 있는 값을 셀 수 있는 값을 우리는 법률변수 2 3 확률변수라고 합니다 확률변수 중에서도 이산 확률변수 자 그러면 제가 그 주사위 던지는 거를이 확률 분포표로 나타내고 갈 건데 자 x가 가질 수 있는 값이 그럼 뭐예요 주사위를 던져서 나올 수 있는 값들이 1 2 3 4 5 6이죠 자 그때 확률 p에 x는 x라고 할게요 그러면 여기 무슨 말이냐 여기 지금 x가 나올 확률을 의미하는 거죠 자 여기는 xi라고 썼지만 i는 생략하고 우리가 x라고 써도 무방합니다 자 그러면 1이 나올 확률은 몇 분의 몇이에요 1이 나올 확률은 1/6이죠 2가 나올 확률 6분의 1 모두6분의 1입니다 그럼 얘네들 합치면 뭐가 될까요 확률의 합이니까 1이 돼야죠 실제로 6분의 1을 6개 더 하니까 1이 됩니다 자 여기서이 x라는 거는요 요 값을 의미하는 거예요이를 여기다 넣었을 때 나오는 확률 6분의 1 2를 여기다가 넣었을 때 나오는 b의 x는 2가 이렇게 오는 거고요 요거는 p의 x는 3 요런 대응 관계를 가지는 겁니다 자 그러면 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 확률 질량 함수인데요 자 이사 확률변수 x의 확률 분포를 나타내는 함수를 우리는 확률 질량 함수라고 합니다 말이 너무 어렵죠 자 조금만 쉽게 생각해 볼게요 지금 x는 xi일 때 그때의 확률을 pi라고 하겠대요 자 x값이 xi일 때의 확률을 pi라고 하는데 우리가xi가 정해지면 그거에 따라서 pi가 하나씩 정해집니다 확률이 하나씩 정해지는 거예요 그래서 우리가 xi를 넣으면 bi가 각각 나오기 때문에 어떤 대응 관계가 존재하는 것이고요이 대응 관계를이 대형 관계 자체를 그냥 함수라고 하는 거예요 자 함수라고 하는 건데 우리가 이제 문제 풀 때는 흔히이 pi가요이 pi가 어떻게 표현되냐면 xi에 관한 식으로 표현이 됩니다 우리가 어떤 xi를 대입해서이 pi를 구할 수 있는 거예요 bi와 xi에 관한 어떤식이 나오고요 우리가요 식은 조금만 뒤에 개념 예제 가서 다시 보도록 하고요 저는 지금이 확률 질량 함수의 성질을 좀 보도록 할게요 자 xi에 대한 확률이 pi일 때요 자 확률의 기본 성질에 의해서 자 일단 각각의 확률은요 pi가 확률을 나타내니까 각각의 확률은0 이상 1 이하라는 부등식을 만족을 해야 됩니다 자 그리고 이렇게 모든 확률을 더했을 때 1이 나와야 되죠 우리가 앞에서도 확인을 했습니다 전체의 경우의 수를 모두 가지고 있기 때문에 확률에 합은 항상 1이 돼야 돼요 자 그리고 지금 xi 이상 XJ 이하의 x라 그랬는데 자 요거를 만족하는 확률변수 x들은 뭐 뭐가 있어요 xi xi 플러스 1xi + 2 이런 애들이 있는 겁니다 그래서 어디까지 xj까지 자 그러면 xi 이상 XJ 이하의 확률변수 x들을 각각의 확률을 모두 더한 bi+bi+1 bi + 2 bj까지 모두 확률을 더해주면 되겠죠 각각의 확률을 모두 더해서 우리가이 범위에 있는 범위에 있는 확률을 구할 수가 있는 겁니다자 그러면 넘어가 보도록 하겠습니다 자 개념 예제 보도록 할 건데요 지금 신공이 두 개 진공이 두 개 검은 공 세 개가 들어있는 주머니에서 공 두 개를 꺼내요 자 그럼 두 개를 꺼낼 건데 나오는 신공의 개수를 확률변수 x라고 하겠대요 자 그러면 흰 공의 개수를 확률변수 x라고 했는데이 확률변수 x를 영 아니면 1 아니면 2가 될 수가 있겠죠 흰 공이 지금 두 개밖에 없구요 공을 두 개 뽑으니까 공을 두 개 뽑을 때 흰 공이 0개일 수도 있고요 한 개일 수도 있고 두 개일 수도 있는 거예요 그래서 확률변수 x가 가질 수 있는 값은 0과 1과 2인 겁니다 자 그러면 1번 보면 확률변수 x의 확률 질량 함수를 구하래요 자 제가요거를 구해 볼게요 p에 x 계를 뽑았을 때 신공 x계를 뽑았을 때의 확률을 식으로 나타낼 겁니다 자 그러면 부모는요 우리가 전체 경우의 수를 넣어주는 거고요 전체 경우의 수는 지금 05개 중에 공 2개 꺼내는 거니까 oc입니다 우리가 뽑기만 하고 순서는 나열하지 않기 때문에 조합으로 구할 수가 있어요 자 전체 경우에선 5c2구요 자 분자의 지금 x가 나오는 건데 그러면 흰 공이 지금 두 개 있으니까 흰공 두 개 중에 x의 뽑는 경우에서 뭐예요 ecx죠 자 그러면 여기서 끝나느냐 끝나면 안 되고요 나머지 우리가 흰 공을 x에 뽑았으면 두 개 중에 흰공을 x게 뽑았으면 검은 공은 몇 개 뽑아야 돼요 검은 공은 우리가 e-x 계를 뽑아야 됩니다그래야 신공이 x기고 검은 공이 2-x이어야 합해서 총 두 개가 나오는 거죠 그러면 검은 공은 지금 몇 개 있어요 세 개 있습니다 그 세 개 중에 3개 중에 검은 공 2-x 계를 뽑아주는 거예요 자 oc를 계산하면 분모는 10이고요 우리가 10분의 2c x 곱하기 32-x라고 쓰면 우리 확률 질량 함수를 구한 겁니다 어떤 x를 대입하였을 때 나오는 확률 이렇게 식으로 표현이 가능하죠 자 조금 어렵지만 우리가이 내용을 할 수 있어야 돼요 꼭 성공을 한 개 뽑을 때일 확률을 구하는게 아니라 어떤 변수 x 계열을 뽑을 때 구하는 확률을 이렇게 식으로 표현을 할 수가 있어야 됩니다 자 2번 자 확률분포표로 나타내라고 했고요 지금 x가 될 수 있는 값이 0 1 이구요 자 그때의 확률 p의 x는 x는 자 어떻게 되는지각각 계산을 할 거고요 자 지금 p에 x는 0을 계산을 해주면 여기 x의 0 넣는 거죠 그래서 10분의 2c0 곱하기 3C 이고요 따라서 10분의 3입니다 그럼 여기에 10분에 3을 이렇게 써주면 되죠 자 이번엔 p에 x는 1인 확률을 구할 거고요 10분의 이번에 1을 넣으니까 2c1 곱하기 31입니다 따라서 10분의 6이에요 10분의 6 자 이번엔 p에 x는 2인 경우 구할 거고요 자 10분의 22 [음악] 곱하기 3c0입니다 따라서 1/10이라고 계산이 되네요 자 그러면 여기에 써 있는 20분의 3과 10분의 6과 10분의 1을 더하면 뭐가 나와요 1이 나오죠 자 확률의 합이 1인 것도 우리가 체크를 했습니다 자 그러면 우리가 2번까지 했고요 3번을 풀 건데 자 3번에서 플라고 하는 거는 p가 지금1이상 2 이하일 확률변수 x가 1 이상 이하의 확률을 구하라고 했고요 그러면이 범위에서 가능한 확률변수 x값들은 1도 있고 2도 있습니다 그런데 이거를 각각 구해서 더해주면 되겠죠 자 px는 1은요 우리가 10분의 6이라고 계산을 해 놨고 px는 2는 10분의 1이라고 계산을 해놨습니다 두 개 더하면 10분의 7로 우리가 계산이 끝나죠 자 여기까지 해서 우리가 일단 확률 질량 함수 내용 모두 마쳤습니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 연속 확률 변수인데요 자 연속 확률변수가 뭐냐면 확률변수 x가 어떤 범위에 속하는 모든 실수값을 가지는 거예요 자 우리가 일단 맨 처음에 확률 변수를 배웠고요 그 확률변수 안에 값들의 개수를 셀 수 있으면 확률변수 x가 가질 수 있는 값들을 셀 수 있으며 이사한확률변수라고 배웠습니다 그런데 이번엔 뭐냐 어떤 범위에 속하는 어떤 범위에 속하는 실수 x값을 모두 가질 수 있는 거예요 즉 셀 수 없는 겁니다 우리가 이렇게 셀 수 없는 확률변수 x를 연속 확률변수다라고 말해요 자 예를 들어서 뭐 길이가 될 수도 있어요 무게가 될 수도 있고 시간이 될 수도 있습니다 얘네들은 꼭 1kg 2kg 3kg만 있는게 아니라 1.3kg이 될 수도 있고요 1.7kg이 될 수도 있고 얼마든지 1과 2 사이에 있는 값들을 다 가질 수가 있죠 이런 애들을 연속 확률변수다라고 하는 거예요 자 그러면 우리가 여기 있는 개념 예제를 한번 보도록 할 건데 자 다음에 각각 확률변수 x라고 할게요 이사 확률변수인지 연속 확률변수인지 구분하래요 사이버 봅시다 한기주 사이를 던져서 나오는 눈의 숲 뭐예요 이사 확률변수죠 1 2 3 4 56이 답니다 우리가 이산 확률변수에서 제일 많이 들었던 게시죠 자 2번은요 고등학생들의 어느 고등학교 학생들은 등교 시간인데 자 등교 시간은요 8시가 될 수도 있고 8시 10분이 될 수도 있는데이 8시와 8시 10분 사이에 값들을 다 가실 수 있어요 등교 시간으로 다 될 수가 있는 겁니다 이런 경우에 연속 확률변수인 거예요 자 그러면 어느 독서 동아리 회원들의 하루 독서 시간 그러면 독서 시간도 우리가 1시간과 2시간 사이에 있는 값들을 모두 가질 수 있죠 갔는지 안 갔는지가 중요한게 아니에요 가질 수 있냐 가질 수 없냐가 중요한 겁니다 예를 들어 동아리 회원이 3명인데 한 명은 1시간 한 명은 1시간 반 한 명은 2시간이에요 그러면 이렇게 보면 1시간만 있고 1시간 반만 있고 2시간만 있으니까 어 이사 확률변수 아닌가요라고 질문할 수 있는데 그게 아니고요 우리가 한 시간과 1시간 30분 사이에 있는 값들을 모두 가질 수 있잖아요 모두 가질 수 있고확률변수로 얼마든지 될 수 있으니까 이런 경우에는 연속 확률 변수라고 하는 겁니다 자 그러면 4번은 뭐겠어요 두 개의 동전을 동시에 던졌을 때 나오는 압력계수니까 어 개수네요 이상 확률변수구요 자 어느 기차역에서 출발하는 열차의 출변지역 출발 지연 시간 마찬가지로 연속 확률변수입니다 자 요것도 시간이기 때문에 우리가 어떤 값과 값 사이에 있는 값들을 모두 가질 수 있는 거예요 자 이번엔 확률밀도함수인데요 우리가 이산 확률변수의 어떤 대응 관계를 확률 질량함수라고 했어요 우리가 연속 확률변수는요이 확률밀도함수로 확률을 구할 수가 있습니다 자 어떤 확률변수 x가요 알파 이상 베타 이하에서 모든 실수 값을 가질 수 있는이 연속 확률변수 x에 대해서 자 연속 확률변수 x가 알파와 베타 사이에 있는 그리고 알파와 베타를포함한 요값들을 모두 가질 수 있는데 이미 범위에서 정의된 함수 fx가 다음 세 가지 조건을 만족을 하면 우리는 확률밀도함수라고 하겠대요 자 세 번째 조건 먼저 볼게요 세 번째 조건을 보면요 자 a 이상 B 이하일 확률이라 그랬어요 자 a랑 b는 어디에 있는 거냐면 지금 알파 이상 베타 이하에 있는 a와 b인 거예요 자 그랬을 때 a 이상 B 이하의 확률을 구할 건데이 확률은요 y는 fx와 X 축 그리고 x는 a x는 b로 둘러싸인 도형의 넓이와 같아요 그러니까 우리는요 a 이상 B 이하가 나타내는이 확률의 값은 y=fx가 만들어내는 넓이와 동일한 거예요 fx가 만들어내는 넓이 자 그러면 오른쪽 그림을 좀 볼 건데요 자 만약에 fx가 이렇게생겼어요 fx가 이렇게 생겼는데 얘가 만약에 확률변수 x에 확률밀도함수면요 우리가 A 이상 B 이하의 확률을 어떻게 구하냐 바로이 fx랑 x는 a랑 x는 b랑 x축이 만들어내는이 부분에 넓이가이 부분에 넓이가 바로이 확률의 값과 같은 거예요 즉 우리는 이 확률의 값을 어떻게 계산할 수 있는 거예요 넓이는 적분을 통해서 계산을 하죠 인테그랄 레이에서 b까지 FX dx와 같은 겁니다 이게 바로 확률밀도함수에요 그리고이 확률밀도함수를 가지고 연속 확률변수에 확률을 구할 수가 있는 겁니다 자 남은 두 가지 조건 볼 거고요 fx가 0 이상이어야 된다 그랬어요 우리가 fx는 지금 넓이가 확률을 의미하는데 확률은 항상 양수로 나와야 되기 때문에fx도 마찬가지로 항상 량수로 나와줘야 됩니다 자 y는 fx와 X 축 그리고 알파와 베타로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이래요 자 지금 연속 확률변수 x가 알파 이상 베타 이하의 범위를 모두 가질 수 있다고 했기 때문에 알파부터 베타까지의 확률을 구하면 1이 나와야 되는 거예요 확률의 합이니까 전체 확률이니까 그러면요 넓이가 뭐예요 그러면 우리가 전체 확률을 의미하는 거고 그 값이 1이 되어야 되는 겁니다 넓이가 1이 돼야 되겠죠 자 맨 마지막이 있는 내용 볼 거고요 연속확률변수 x가 어떤 특정함과 x를 취할 확률은 px는 x일 확률은 우리가 0으로 간주합니다 우리가 어떤 fx라고 생각하지 않고요 그냥 0이 되는 거예요 연습 확률변수는 항상 적분을 해서 넓이를 구했을 때만 우리가 확률을 구할 수가 있는 겁니다 따라서 다음이 성립한다고 적혀 있고요우리가 A 이상 B 이하의 확률을 구하나 a 이상 bb만의 확률을 구하나 a초가 B 이하의 확률을 구하나 a초가 bb만의 확률을 구하나 모두 똑같습니다 a를 a랑 b를 포함하든 포함하지 않든 상관이 없습니다 자 그래서 우리가 여기서 지금 제일 중요한 내용은이 A 이상 bei의 확률을 구할 때는 a에서 b까지 fx를 적분한다 확률밀도함수를 적분해서 확률을 구한다이 내용이 정말 중요한 겁니다 자 이거 가지고 개념 예제 한번 보도록 할게요 자 연속 확률변수 x의 확률밀도함수가 fx는 kx라고 정의가 되어 있습니다 그게 0 이상이 er에요 자 k의 값을 구하라고 했는데요 자 우리 지금 범위가 0 이상 이하의 소송이 되어 있기 때문에 만약에 인테그랄 0에서 2까지 fxdx를 계산하면 넓이를 구하는 거구요 그 넓이가 몇이어야 돼요1이어야 되죠 전체 넓이를 의미하는 거니까 0부터 2까지의 넓이가 1이 돼야 되는 겁니다 그래서 이거를 계산을 해 줄 거고요 인테그랄 0에서 2까지 kxdx는 자 2분의 1kx 제곱이고요 요거를 계산해주면 2t가 나옵니다요 값이 1이니까 우리는 k는 1이라고 구할수 그래서 0에서 1까지 2분의 1 xdx고요 자 4분의 1 X 제곱이니까 대입해주면 4분의 1이죠 따라서 b에 0 이상 1 이하일 확률은 4분의 1인 겁니다 자 우리가 오늘 배운 내용이 좀 많아요 이상확률변수도 배웠고 연속확률변수도 배웠고 각각 확률 질량 함수 확률밀도함수 우리가이 내용까지 정확하게 이해하고 넘어가시기 바래요 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 고생 많으셨구요 감사합니다 [음악]