[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 통계 - 이산확률변수의 기댓값과 표준편차

수학대왕 [음악] 자 오늘의 용은 이상 확률 변수에 기댓값과 표준편차입니다 자 일단은 우리가이 기댓값이 뭔지 좀 먼저 보도록 할 건데요 자 교재를 읽어보도록 하겠습니다 이사 확률변수 x의 확률분포가 다음 표와 같아요 이렇게 확률분포가 나타내져 있습니다 자 x값이 이렇게 X1 x2 X3 xn으로 나타내져 있고요 그때의 확률을 각각 b1b2p3 pn이라고 하겠대요 자 그때요 우리가 이렇게 두 개를 곱하고 이렇게 두 개를 곱하고 이렇게 두 개를 곱하고 이렇게 두 개를 곱해서 X1 p1과 x2p2와 X3 p3 그리고 xmpm까지이 값들을 모두 더해주면즉 이렇게 전개된 식을 계산을 해주면이 값을 이식을 통해 계산된 값을 우리는 기댓값 또는 평균이라고 하겠대요 그리고 그것을 기호로이 x로 나타내겠다라고 합니다 자 그러면 제가 주사위를 던졌다고 할게요 주사위를 던져서 나올 수 있는 눈의 수는 1 2 3 4 5 6이죠 그때의 확률은 우리가 모두 6분의 1로 같은 거를 알고 있습니다 자 모두 6분의 1이에요 자 이렇게 됐을 때 기댓값을 계산을 해 볼게요 자 기댓값 2의 x라고 쓴다고 했고요 기댓값은 요렇게 굽혀 줍니다 얘네 두 개 곱하고 얘네 두 개 곱하고 이렇게 곱해줘서 모두 더하는 거고요 그거를 식으로 표현을 해주면 1/6 플러스 1/6 플러스 6분의 3 +6분의 4 + 6분의 5 플러스 6분의 6이죠 그럼 얘가 지금 6분의 우리가 20일로 계산을 할 수가 있고요 사물의 약분하면 2분의 7이고 소수로 나타내면 3.5죠 자 우리가 이렇게 기댓값을 계산을 할 수가 있어요 자 그럼 바로이 기댓값의 의미가 무엇이냐 예를 들어 주사위를 100번 던져요 100번 던지면 그 100번 던져서 나온 눈의 수들이 있겠죠 그 수들을 그 수 100개를 평균을냅니다 평균을 내면 바로이 기댓값하고 비슷한 값이 나와요 비슷한 값이 나오고 우리가 지금 100번 던진다 그랬는데 100번이 아니라 1000번 던지면 1000번 던지면 우리가 3.5의 점점 가까워지는 거예요 3.5의 점점 더 가까운 값이 나옵니다 자 이거를 우리가 기댓값이라고 하는 거고요 자 교재 맨 마지막 보면 기댓값 2의 x를 m으로 나타내기도 한다 그랬어요 우리가 기댓값 그리고 평균이라는 건 같은 의미고요 여기서이 평균을 영어로 하면 미미인데 요거의 약자 m을 따서 첫 글자 m을 따서 m이라고 이렇게 표현하기도 합니다 자 여기까지 됐나요 자 그럼 넘어가겠습니다 이번엔 이사 확률 변수에 분산과 표준편차입니다 자 이사 확률변수 x의 확률 질량 함수가 p의 x는 xi가 pi일 때 자 우리가 아까처럼 표로 나타내진 확률을 말하는 거예요 어떤 x1이면 x1을 가질 확률이 p1이고 xi이면 그때의 확률이 pi고 이렇게 나타내 지는데 자 기댓값 2x를 m이라고 한대요 자 그래서 우리가이제 분산을 계산해 볼 건데요 자 우리가 분산을 계산해 본 적이 있어요 우리가 중학교 과정에서 분산 계산해 본 적이 있는데 그때는 별량이라고 하죠 우리가 자료들을 이렇게 쭉 나열해서 하나를 하나를 별량이라고 하는데 그 변량을 가지고 편차를 계산해서요 편차 제곱의 평균이 편차 제곱의 평균이 분산과 같다라고 배웁니다 자 우리가 여기서도요이 X 값에다가 평균 에임을 빼고요 즉 편차와 비슷하죠 편차와 비슷하고요 요거를 제공을 하는 겁니다 요거를 제곱해서 이거에 평균 즉 기댓값을 구해줘요 자 그래서 우리가 분산은요 지호로 vx라고 표현을 하는데 이 vx는 어떻게 표현할 수 있어요 자확률변수 x에다가 평균 네임을 빼고요 그거를 제곱한 거에 평균입니다 이렇게 우리가 분산을 계산할 수가 있습니다 자 이때이 분산이라는 것은요 우리가이 분산이라는 것은 중학교 과정에서 퍼져 있는 정도 퍼져 있는 정도라고 배웁니다 우리가 평균으로부터 많이 떨어져 있으면 많이 떨어져 있으면 분산이 크죠 그리고 평균에 모여 있을수록 분산이 작습니다 우리가 그 점은 잊지 말고 기억하시기 바라고 자 지금 분산을 요런 식으로 계산을 할 수가 있다고 배웠는데 자 계산하는 방법이 하나가 또 있어요 자이시기 어떻게 나온 건지 한번 볼 건데 우리가요 식을요이 식을 쭉 전개를 하면 자 X1 -m의 제곱의 평균 p1을 곱하고요 그리고 이번에 2일 때 x2 -m의 제곱 그리고그거에다가 그게 나올 확률 p2라고 해주는 거죠 자 얘네들을 모두 더 해줍니다 X4 xn xm-m의 제곱 곱하기 PN 자 얘네들을 싹 전개를 해주면요 X1 제곱 마이너스 2의 맥스 1 + m² p1이고 이번에 x2 되고 -2의 맥스 2 m 제곱의 p29 저 가서요 xn-2의 [음악] 맥스 n + m 제곱 pn입니다 자 그러면 우리가 X1 제곱 P1 그리고 x2 제곱 P2 즉요 2차항이 x로 표현된 2차항들만 우리가 쭉 모아 줄 겁니다 여기 제곱이 빠졌죠 자 제곱까지 포함해서 우리가 얘네들을 모아서쭉 더한 이런 식으로 일단 식을 한번 쓸 수 있고요 자 이번엔 가운데 있는 요거 요거들을 모을게요 자 근데 공통으로 가지고 있는게 -2m이죠 -2m의 X1 P1 x2p2 쪽 가는 겁니다 xm 그리고 마지막으로 m 제곱으로 묶을 거예요 m제곱으로 묶으면 m 제곱의 B1 B2 쭉 가서 pn까지 더하는 거죠 자 그럼 여기서요 우리가이 P1 p2를 pm까지 이렇게 싹 더하면 이거는 확률의 압이기 때문에 그냥 1로 나옵니다 그래서 그냥 없앨 거고요 자 여기 있는 X1 P1 x2p2 그리고 xmpn까지 더한 것은 뭐랑 같아요 평균 m과 같죠 따라서 이식을 뭐라고 쓸 수 있냐 자제가 지금 왼쪽에다가 쓸게요 자 X1 제곱 P1 x2 p x2 제곱 P2 그리고 x^n pn인데 얘는 확률은 확률인데 뭐의 확률이냐 확률변수 x 제곱의 확률이에요 우리가 지금 X1 제곱하고 x2도 제곱하고 이런 식으로 확률변수를 모두 제곱했기 때문에 확률변수 x의 x 제곱에 기댓값으로 우리가 쓰일 수가 있고요 뒤에는 -2m² + m 제곱이니까 -m²이라고 쓸 수가 있습니다 그래서 이거를 우리가 이렇게 쓸 수 있죠 최종적으로 확률변수 x제곱의 평균에서 ex에 즉 평균의 제곱을 뺀다 우리가 이런 식으로도 계산을 할 수가 있습니다 자 분산을 요식으로도 계산할 수 있지만 우리가 요식으로 계산하는 경우가 더 많습니다 우리가 주식을 모두 알아두시기 바래요 자밑에 있는 표준편차 볼 건데요 자 표준편차는 우리가 그냥 쉽게 분산의 루트를 씌워서 이렇게 구할 수가 있죠 그리고 이것을 기호로 이렇게 나타내는데 얘를 이제 시그마라고 있습니다 지금 아 x는 즉 표준편차는 우리가 분산에다가 루트를 씌운 것과 같다 이렇게 보면은 우리가 표준편차 개선하려면 그럼 결국에는 뭐를 계산해야 되는 거예요 분산을 가지고 계산을 하는 겁니다 자 그래서 우리가 이렇게 표준편차까지 알면 되고요 자 밋밋해 있는 내용은 우리가 여기서 시그마라고 읽는다는 거 하나 적혀 있고요 자이 x 제곱은 제가 아까이 식을 전개하면서 한번 봤죠 자 요거를 이렇게 표현을 해줬는데 자 요거는 x 제곱의 기댓값이에요 우리가이 확률변수 X1 제곱 x2 제곱 xn 제곱에 확률을 각각 곱해준 거기 때문에 확률변수 x 제곱의 평균입니다 그래서요런식이 전개가 되고 있어요 자 넘어가 보도록 할게요 자이 개념 예제 보도록 할 건데요 흰공 3개 검은 공 세 개가 들어있는 주머니에서 3개의 공을 꺼낸대요 자 3개의 공을 꺼낼 때 신공의 개수를 확률변수 x라고 한답니다 자 그러면 확률분포표로 좀 나타내 보도록 할게요 자 확률변수 x가 될 수 있는 값은 우리가 공을 세 개 뽑는데 흰 공이 0개거나 안개거나 두개거나 세 개거나 자 얘네들이 x가 될 수 있는 값이고요 그때의 확률을 각각 구해 줄 건데 자 제가 확률 질량 함수를 좀 구해 보도록 할게요 b의 x는 x인데 자 흰고글 x에 뽑아요 자 일단은 분모에는 전체의 경우의 수인 우리가 지금 6개 중에 3개를 뽑는게 전체 경우의 수적 그래서 그냥 6c 3입니다뽑기만 하는 거예요 우리가 뽑아서 어떤 순서를 정해주지 않습니다 그래서 조합으로 63으로 구할 수 있고요 자 흰 공을 x기 뽑으면요 우리가 지금 흰공인 3개가 있는데 그 중에 x의 뽑을 거예요 자 그러면 검은 공은 세 개 중에 몇 개 뽑아야 돼요 합해서 3개를 뽑아야 되는데 흰 공을 x에 뽑았으면 검궁은 3-x 계를 뽑아야 되죠 자 우리가 이거 확률 질량 함수에서도 많이 봤던 예시예요 자 그래서 x에다가 0을 넣어서 우리가요 값을 계산을 해주면 우리가 x가 0일 때일 확률은 20분의 1이구요 x가 1일 때의 집어넣어서 계산해주면 20분의 9입니다 자 우리 계산은 우리가 생략하도록 할게요 우리가 이렇게 확률분포표를 완성했습니다 자 이거에 평균과 분산과 표준편차를 구하라고 했어요 자 평균 2x는요 어떻게 구해요 평균 2x는자 우리가 확률변수와 각각의 확률을 곱해주는 거고요 0 곱하기 20분의 1 곱하기 20분의 9 2 곱하기 20분의 9 3 곱하기 20분의 1로 계산을 해주면 되고요 분모는 20이고 분자는 9+18 + 3입니다 따라서 30이고요 우리가 요거를 2분의 3이라고 평균을 계산할 수가 있습니다 자 이번엔 분산 계산할 건데요 자 분산 계산하는 방법은 우리가 두 가지가 있다 그랬는데 일단 첫 번째 방법은 우리가 확률변수에서 평균 m을 뺀 거에 제곱을 해서 그것들을 평균을 구하는 방법이 하나가 있어요 자요 방법대로 일단 한번 해 볼게요 자 요거를 구하기 위해서 제가이 값을 좀 구해 줄 겁니다 자 x에서 평균을 빼면요 x에서 평균을 빼면각각 마이너스 2분의 3 - 1/2이죠 자 이거를 제곱을 합니다 x-m² 자 요렇게 우리가 구해 놓고요 여기다가 확률을 각각 곱해주는 거예요 이거의 확률이 20분의 1이니까 요거를 계산할 때 4분의 9 곱하기 20분의 1 + 그 다음은 뭐예요 4분의 1 곱하기 20분의 9 + 4분의 1 곱하기 4분의 9 곱하기 20분의 1 자 얘네들을 우리가 80으로 분모를 계산해서 모두 더해주면 9 + 9 + 9 + 9죠 따라서 80분의 36이고요 우리가 4로 나누면 20분의 9로계산을 할 수가 있습니다 자 이렇게 해서 우리가 일단 분산을 구했어요 자 두 번째 방법으로도 계산을 해 볼게요 두 번째 방법은 x제곱의 평균에서 우리가 원래 구한 평균의 제곱을 빼서 계산을 할 수가 있다 그랬어요 그러면 x 제곱을 계산해주면요 0이고 1이고 4이고 9예요 자 마찬가지로 여기다가 확률을 확률을 각각 곱해 줄 겁니다이 확률을 각각 곱해주면 자 2의 x제곱은요 0 곱하기 20분의 1 곱하기 20분의 9 4 곱하기 9 곱하기 20분의 1 자 거기서 뭘 빼요 평균의 제곱을 빼죠 우리가 평균은 2분의 3이라고 계산했으니까 4분의 9를 뺍니다 자 20으로 통분을 해서 계산을 해 줄 거고요 자 9 +36 + 9 + 뒤에가 없네요 자 그리고 여기서 4분의 9를 빼 줄 건데 5를 곱해서 45 이렇게 계산을 해주면 됩니다 자 그러면 우리가 20분에 9하고 똑같이 나오죠 우리가 이렇게 분산을 계산하는 방법 두 가지를 가지고 모두 계산을 받습니다 자 마지막으로 표준편차를 계산해야 되고요 표준편차 시그마 x는 루트 분산이기 때문에 분산의 루트를 씌운 거니까 루트 20분의 9고요 얘는 2√5라고 계산을 할 수가 있습니다 자 여기까지 됐나요 자 넘어가겠습니다 이번엔 2 3 확률변수 ax+b의 평균과 분산과 표준편차예요 자 그러니까 뭐냐면 우리가 확률변수 어떤 x의 예를 들어 x의 평균을 알아요 뭐3이라고 해볼까요 그때 우리가 지금 뭘 구하는 방법을 배우는 거냐 바로 확률변수에다가 어떤 숫자를 곱하고 어떤 숫자를 더해준 거예요 ex+3의 평균 구하는 방법을 배우는 겁니다 자 얘는요 우리가 지금 공식을 보면 그냥 그대로 곱했던 건 앞으로 보내고 더 했던 거 그냥 뒤에다 더 해줬죠 그래서 2 곱하기 2 곱하기 2의 x + 3으로 계산을 할 수 있다라고 하는 거고요 우리가 6+3으로 해서 답을 9라고 계산을 할 수가 있습니다 자 이게 왜 성립하냐 그걸 한번 해 볼게요 자 일단요 제가 2에 x가 m이라고 할게요 그리고 지금 뭘 구할 거냐 ax+b의 평균을 구할 겁니다 그러면 우리가 이거를 풀어서 쓰면요 ax1 + b의 P1 그리고ax2 플러스 b의 P2 쪽 가서 axn+b의 pn이라고 쓸 거고요 얘를 a로 묶어주면 a를 가지고 있는 것들을 묶어주면 X1 P1 x2 P2 쭉 가서 xmpn 이고요 뒤에 b로 묶어두면 B1 B2 쭉 깝니다 bm까지 자 그러면 p1부터 pn까지 더한 것은 몇이에요 1이죠 자 X1 P1 x2p2 xmpn의 값은 몇이에요 평균이죠 평균 즉 m입니다 우리가 요거를 a의 + b라고 계산을 할 수가 있는 거예요 즉 a의 ex+b죠 자 그래서 우리가이 공식을 통해서 이렇게 ax+b 꼴로 쓰여져 있는 2산 확률 변수의 평균을 구할 수가 있습니다 자 분산을 볼 건데요 자분산 V ax+b인데 자 얘는요 우리가 뭐의 평균이에요 ax+b에서 이거의 평균을 빼고요 이거의 평균을 빼고 이거를 제곱을 해서 평균 낸게 바로 분산이죠 자 그러면 우리가 ax+b의 평균은 뭐예요 am+b죠 우리가 1번에서 한 거죠 요거의 평균은 a의 n+b다 그러면 우리가 ax+b - am + b의 제곱을 해 줄 거고요 제곱을 하면요 a의 x-am의 제곱이 나오죠 그러면 a 제곱의 x-m의 제곱으로 정리가 돼서요요 값이 v의ax+b라는 값이 2의 a 제곱의 x - m의 제곱과 같고요 자 우리가 앞에 이렇게 어떤 실수를 곱한 것은 실수를 곱한 것은 밖으로 뺄 수 있으니까 얘도 밖으로 뺄 겁니다 a 제곱에 2에 x-m의 제곱이라고요 자 그러면 x-m의 제곱의 평균은 우리가 분산이죠 vx니까 얘를 a 제곱 vx라고 계산을 할 수가 있는 겁니다 자 분산은요 앞에 이렇게 a를 곱해놨으면 신경 쓰지 않습니다 비는 없어져요 없어지고 우리가 이렇게 a 제곱만 앞으로 곱해주면 됩니다 자 마지막으로 표준편차는 우리가 루트를 씌운 거기 때문에 여기다가 루트를 씌워서 절댓값 a의 시그마x가 되는 겁니다조명 편차는 항상 양수로 나와야 되기 때문에 이렇게 시그마 앞에 절대값이 하나 붙어 있는 거예요 자 여기까지 됐나요 자 그러면 우리가요 개념 예들을 한번 풀어보도록 하겠습니다 자 확률 질량 함수가 이렇게 주어져 있고요 그러면 좀 분포표로 확률분포표로 나타내 볼게요 자 x값이 될 수 있는 건 1 2 3 4 5구요 1 2 3 4 5 자 이때 확률을 구해주면 자 지금 x에다가 그냥 대입을 하면 확률이 나오네요 15분의 15분의 2 15분에서 15분에서 15분에 옵니다 자 이거에 일단은 평균을 구해 볼게요이 확률변수 x의 평균을 구하는 겁니다 이거의 평균을 구해주면 15분의 1 플러스 15분의 4 + 15분의 9 플러스 15분의 16 플러스 15분의 25죠자 얘네들을 곱한 거예요 자 얘네들을 더해주면 15분의 몇이 나오냐 바로 15분의 55가 나옵니다 그래서 약분을 해주면 3분의 11로 우리가 평균을 계산할 수가 있죠 자 이번엔 분산 계산할 건데 자 분산 계산할 때는 제가 요번에는 그냥 한 가지 방법으로만 할게요 자 x 제곱을 구해주면 1 4 9 16 25죠 자 그때의 확률 동일합니다 15분의 15분의 2 15분의 3 15분에서 15분의 5 자 그러면 우리가 요거를 2에 X 제곱에서 우리 평균 ex의 제곱을 빼 줄 거고요 x제곱의 평균을 구해주면 15분의 1 플러스 15분의 8 + 15분의 27 플러스 15분의 64 +15분의 125입니다 자 얘도 마찬가지로 이렇게 두 개씩 엮어서 곱셈을 해 준 거예요 자 그래서이 값들을 빼줘야죠이 값들을 계산하고 또 뭘 빼 줘요 평균의 제곱 즉 3분의 11의 제곱을 빼줍니다 요거를 계산을 해주면 우리가요 값은 15가 나오고요 9분의 121입니다 얘는 9분의 14로 계산이 돼요 자 그러면 우리가 분산도 구했구요 표준편차도 구할 수 있죠 표준편차는 루트를 씌운 거니까 루트 부분에 14는 3분의 루트 14입니다 여기까지 됐나요 자 이번엔 확률변수 3x+1의 평균과 분산과 표준편차를 구할 건데 자 이에 3x + 1은 뭐랑 같아요 우리가 곱해진 거는 앞에 곱하고요 더해진 거는 그냥 뒤에다가 이렇게 더해주는 겁니다그러면 우리가 2의 x는 3분의 11이니까 이렇게 계산을 할 수가 있어요 자 분산 v의 3x+1은요 우리가 9vx와 같죠 앞에 곱해 놓은이 3을 제곱을 해서 곱해주면 됩니다 자 9vx니까 vx는 9분의 14라서 9 곱하기 9분의 14 = 14입니다 자 표준편차 시그마 3x+1은요 우리가 3 곱하기 시그마 x와 같고요 우리가 루트 14라고 계산이 되죠 그냥 여기 있는 우리 분산을 루트 15조도 무방합니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 이사 확률 변수에 평균 분산 표준편차 구하는 것까지 우리가 모두 학습을 마쳤습니다 오늘 배운 내용들도요 정말 중요하고요 우리가이 확률과 통계 단어는이 개념이 조금 이해가 안 갈 수 있지만 그거를 꼼꼼하게 이해하고 문제를 풀면 금방실력이 늘 수 있으니까 꼭 복습하고 문제도 많이 푸시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]