[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 통계 - 이항분포

수학대왕 [음악] 자 오늘 학습할 내용은 2항 분포입니다 우리가 이항분포라는 것은요 뭐와 관련성이 있냐면 독립시행과 관련이 있어요 자 어떻게 관련성이 있냐면 일단 독립 시행이 뭐죠 우리가 어떤 한 번의 시행해서 한번 할 때 사건행위가 일어날 확률이 p로 똑같아요 변하지 않죠 변하지 않습니다 처음에 일어나든 안 일어나든 그 다음에 일어날 확률이 변하지 않아요 자 그리고 그 일어나지 않은 확률을 q라고 했을 때 n번 반복합니다이 독립시행을 n번 반복하면 그때이 사건 a가 일어난 횟수가 0회일 수도 있고 뭐 세 번일 수도 있고 이렇게 횟수가 바뀌죠 바뀌는데 그 사건 a가 일어난 횟수를 확률변수 x라고 하겠대요자 그러면 여기서 말하는이 확률변수 x가 가질 수 있는 값들은 뭐예요 사건 a가 일어난 횟수니까 한 번도 안 일어난 영회부터 1회가 될 수도 있고 2회가 될 수도 있고 n회까지 될 수가 있죠 자 요렇게 사건 a가 일어날 횟수를 0회 1회 2회 n회까지로 적을 수가 있는데 이때 우리가 X 번 일어난다고 하면 x번 일어난다고 하면 우리는이 X 번 일어나는 확률 계산하는 것을 배웠었어요 n번 중에 X1 일어나고요 그때의 확률 p가 X 번 일어나고 안 일어날 확률 추가 n - x 번이고 우리가 이렇게 X 번 일어날 때의 확률을 구할 수가 있는데이 확률을 이 확률을 바로 확률 질량 함수로 갖는 겁니다 자 이렇게이 독립시행에서 사건 a가 일어날 확률을확률 질량 함수로 갖는이 확률 분포를요이 확률 분포를 이항분포라고 합니다 확률분포 중에서도 이항분포라고 하는 거예요 자 다시 한번 정리하면요 독립 시행에서 사건 a가 일어난 횟수를 확률 분포로 하는 확률변수 x가 바로 이항 분포를 따르는 거예요 자 기호 로봇 어떻게 쓰냐면 b를 쓰고요 n하고 p를 씁니다 왜냐하면 n번 시행하는 거고 그때 일어날 확률이 p인데요 우리가이 n과 p를 알면 우리가 바로이 확률 질량 함수를 구할 수 있죠 그래서 이렇게 이항 분포를 이런 기호로 나타낼 수가 있습니다 자 확률변수 x는이 항공포를 따른다고 표현을 하고요 자 이렇게 확률분포표가 지금 나와 있는데 x값이 0일 수도 있고 1일 수도 있고 1일 수도 있고 최대 x를 넘어서 n까지 갈 수가 있죠최대 n회에요 n회 자 그때의 확률을 지금 이렇게 각각 써 놨는데 자 우리가이 q라는 것은요 주라는 것은 피가 안 일어날 확률이기 때문에 1-p로 계산을 할 수가 있다 그랬습니다 자 그러면 지금 여기에 nc0의 q의 n제곱하고 nce의 pq의 n - 1 제곱하고 쭉 더할 건데요 우리가 이거는 뭐라고 정리할 수 있어요 2항정리에 의해서 p+q의 n 제곱이라고 우리가 적을 수가 있죠 자 그때 p+q의 n제곱이 뭐예요 1의 n제곱이니까 1이 되는 것이죠 따라서 우리가 요거를 모두 더했을 때 1이 나오는 거고요 확률의 합이기 때문에 1이 나와야 된다는 우리가 배웠던 내용과도 일치합니다 자 넘어가겠습니다 자 한 개의 주사위를 다섯 번 던질 때 다섯 번 던진데요 6의 약수의 눈이 나오는 횟수를확률변수 x라고 하겠대요 자 그러면 육의 약수의 눈이 나오는 확률은 우리가 한 번 던졌을 때 6의 약수의 눈이 나오는 확률은 3분의 2죠 우리가 유계약수 1 2 3 6이기 때문에 6분의 4여서 3분의 2로 계산이 됩니다 그러면 우리가이 똑같은 똑같은 시행을 5번 반복하는 거고요 우리가 어떤 시행에서 일어날 확률이 다음 시행에서 일어날 확률에 영향을 미치지 않기 때문에 독립시행입니다 그런데 그 독립 시행에서 나오는 횟수를이 눈이 나오는 횟수를 확률변수 x라고 했으니까 확률변수 x는 이항분포를 따릅니다 이항분포를 따르고요 기호로 b의 5/3를 따른다라고 하면 되겠네요 자 됐죠 자 이번 확률 질량 함수를 구하라고 했는데요 확률 질량 함수는 우리가 5번 중에x번이 일어난다고 했을 때 자 ocx 그리고 일어나는 확률 3분의 2의 x제곱 그리고 앞니라는 확률 3분의 1의 5 - x 제곱 이렇게 작성해주면 됩니다 자 두 번째 자 이상 3 이하일 확률을 구하라고 했고요 그러면 두 번 일어날 확률과 세 번 일어날 확률을 더해주면 되겠네요 자 두 번 일어날 확률은 oce 곱하기 3분의 2의 제곱 3분의 1의 3제곱 + 5c3의 3분의 2의 3제곱 3분의 1의 제곱입니다 자 따라서 243분에 요거는 40이고요 뒤에 것도 계산해주면 80이 나옵니다 243분에 120이고 3으로 약분해주면 81분의 40이라고 계산을 할 수가 있습니다 여기까지 됐나요자 넘어가 보도록 할게요 자 우리가 이항분포에서 평균과 분산과 표준편차 구하는 방법을 배울 건데 자 평균은 어떻게 계산해요 np로 계산한대요 분사는 mpq로 계산하고 표준편차는 루트를 씌워서 루트 mpq로 계산을 한대요 자 제가 요거는요 식을 일일이 우리가 전기에서 유도하지 않을 거고요 제가 n이 3인 경우에만 한번 어떻게 되는지 보도록 하겠습니다 자 n이 3인 경우에는 확률변수 x가 가질 수 있는 값이 0 1 2 3이에요 자 그러면 그때 확률을 각각 계산을 해주면 자 0일 때는 0번 일어나니까 3c0 그리고 안 일어난 q의 3제곱이죠 자 한 번 일어날 확률은요 한번 일어날 확률은 31b가 하나추가 두 개 두 번 일어날 확률은 32 b^2 b^3입니다 여기까지 뺐죠 자 그러면 우리가 요거는 그냥 Q3 제곱이라고 쓸 거고 요거는 3 pq제곱 요거는 3P 제곱 큐 이거는 p3 제곱이라고 쓰겠습니다 자 그러면 우리가 여기서 기댓값을 즉 평균을 계산을 해 볼 건데 0 곱하기 주의 3제곱 1 곱하기 3 BQ 제곱 2 곱하기 3 p^2 Q 3 곱하기 b^3 그러면 3pq 제곱 플러스 up 제곱q + 3P 3제곱이고요 3p로 묶으면 주제곱 플러스 2pq + 2 p^2입니다이 b²이 아니라p^2이죠 그러면 3p의 p + q의 제곱이구요 계산해 주면 30이 나옵니다 즉 얘는 뭐랑 같아요 우리가 n과 p를 곱한 값과 같죠 그래서 우리가 여기서 평균이 mp로 계산을 한다 그랬는데 우리가 여기서도 똑같은 결과가 나왔습니다 자 우리가이 n이라는 숫자를 늘려서요 똑같은 방법으로 전기를 하면 우리가이 공식을 유도를 할 수가 있고요 우리가 굳이 n을 더 크게 잡아서 하는 것은 조금 어렵기 때문에 그냥 이렇게만 보고 우리가 공식을 활용하도록 할게요 자 분사는요 분산도 마찬가지로 우리가이 과정을 반복을 하면 되는데요 자 요거를 구해 보겠습니다 2의 x제곱을 구해 볼 거예요 그러면 지금 요거에서 x제곱은 x제곱은 0 1 4 9구역 2의 x²을 계산을 해주면 3pq 제곱 12p제곱 Q9p3 제곱입니다 그러면 얘를 3p로 [음악] 묶으면 주제곱 그리고 4pq 플러스 3P 제곱이죠 그러면 얘가 인수분해가 돼요 b+q q+ 3P 자 이때 p+q가 뭐예요 1이죠 그러면 최종적으로 30초 플러스 구피 제곱으로 정리가 됩니다 자 그러면 분산 vx는요 2의 x제곱에서 평균의 제곱을 빼주는 거고 자 3pq +9b²에서 우리요 3P 제곱을 제곱에서 빼주면 남는게 3pq 밖에 없습니다 그러면 우리가 여기서 나온 mp2라는 공식과 똑같은 결과가 나왔죠 자 이것도 마찬가지로 우리가이 공식을 활용하는 데에 집중을 할 것이고 유도되는 과정은이 정도로만 보도록 하겠습니다자 표준편차는 우리가 분산의 루트를 씌워 주면 되겠죠 자 여기까지 됐고요 우리가 개념 예제 보도록 할게요 자 이항분포 288에 3분의 1을 따른다 그랬는데 자 288번 하는 거예요 288번 하는 거고 한번 일어날 확률이 3분의 1입니다 자 그러면 우리가이 p를 가지고 q를 계산할 수 있어요 어렵지 않죠 3분의 1하고 나옵니다 자 평균을 계산하라고 했고요 평균은 np로 계산을 할 수가 있다 그랬습니다 288 곱하기 3분의 1이고요 계산하면 96이에요 자 분산 vx를 구해볼 거고요 분산은 npq를 계산합니다 따라서 288 곱하기 3분의 1 곱하기 3분의 2구요요 값을 정리해 주면 64라고 우리가 분산을 구할 수가 있습니다 마지막으로 표준편차 시그마 x를 계산을 해주면 우리가루트 mpq로 계산을 하는 것이고요 우리가 앞 위에서 npq가 64라는 것을 계산했기 때문에 교수 편차도 8로 계산을 할 수가 있습니다 자 여기까지 됐나요 넘어가 보도록 할게요 자 마지막으로 큰 수의 법칙인데요 우리가요 내용은 어떤 문제를 풀지는 않을 거고 개념만 좀 명확하게 알고 넘어가도록 할게요 자 어떤 한 시행에서 사건 a가 일어날 수학적 확률이 필요해요 우리가 수학적 확률이라는 것은 어떤 계산을 통해서 명확하게 구해낼 확률입니다 그런데 n번의 독립시행에서 사건 a가 일어나는 횟수를 x라고 한대요 자 그때 요런 임의의 작은 양수 h에 대해서 요런 식의 성립한다라는 것인데 자 이게 무슨 말이냐면요 우리가요 예를 들어 주사위를 던져요 주사위를 던져서 6 이하의 아 6이 약수의 6위의 약수의 눈이 나올 확률을계산하면요 6가지 경우에 4가지 경우니까 3분의 2라고 나와요 그런데 우리가 이것은 계산을 통해 구한 수학적 확률입니다 요거는 수학적 확률인데 자 만약에이 주사위를 n번 던져요 100번 던졌다고 하겠습니다 100번 던졌어요 그러면 6의 약수의 눈이 나온 횟수가 곧 그때그때 다르겠죠 그때그때 다른데 제가 대충 70번 정도라고 70번 나왔다고 할게요 그러면 우리가이 백번 던져서 주사위를 100번 던져서 70번 나왔는데 이거를 x라고 하겠습니다 우리가 사건 a가 일어남의 수를 x라고 한다 했으니까 얘가 x인 거예요 자 그러면 n분의 x라는 것은 여기서 말하는 n분의 x라는 것은 뭘 말하는 거냐 100번 던졌는데70번 일어났으니까 우리가 요기 약수에 눈이 나오는 비율을 어떻게 계산을 한 거죠 100분의 70이라고 그러니까 거기서 수학적 확률을 뺀 거에 절대값을 씌웠어요 자 그러면이 사이에 절댓값은요 그때그때 값이 달라요 그때그때 값이 다른데 얘를요 임의의 작은 양수 h보다 작을 확률을 구하는데 여기 그때그때 다를 거예요 다른네 만약에 횟수를 무한히 늘리면 100번이 아니라 요거를 n분의 x라고 하고 n분의 x라고 하고 n을 만약에 무한히 횟수를 늘려 버리면 결국에는이 값이 1이 된다는 건데 자 확률의 값이 1이 된다는 건 무슨 말이냐 바로 우리가이 100번 던져서 70번 나온이 비율이요 100번 던져 70번 나온이 비율이 수학적 확률과 똑같아진다라는 얘기를 하는 거예요요두 개가 똑같아진다 결국은 수학적 확률에 가까워진다이 얘기를 하고 있는게 바로 큰 수의 법칙입니다 우리가이 부분은 자주 출제되는 내용도 아니고요이 h라는 것이 우리가 아직 받아들이기에는 조금 어려운 부분이 있어서 정확하게 우리가이 극한값에 관한 식을 이해하는 것보다는 자 시 무한히 늘어나면 통계적 확률과 우리가이 백반 중에 70번 나왔다는 건 통계적 확률이잖아요이 통계적 확률과 수학적 확률이 일치해진다 가까워진다 가까워진다 하는 것을 이해하면 될 것 같습니다 자 오늘 배울 내용은 여기서 마치구요 이항분포에 관한 내용이 조금 복잡해요 이항분포를 명확하게 이해하고 우리가 평균 분산 표준편차까지 구하는 방법 모두 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]