[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 통계 - 모집단과 표본

수학대왕 [음악] 자 오늘 학습할 내용은 모집단과 표본입니다 어리가 오늘 배울 내용은 헷갈리기 때문에 꼭 집중해서 들으시기 바랍니다 자 일단은이 모집단과 표본이 무엇인지 이거에 대해서 보도록 할 건데요 자 통계조사에서 조사대상 전체를 모집단이라고 한대요 자 예를 들어요 우리가 우리나라 전체의 사람들의 키를 조사하고 싶다고 합시다 7일 조사하고 싶은데 우리나라 인구가 대략 5천만 명 정도 되죠 자이 5천만명이 되는이 조사 대상 전체를 우리는 뭐라 그러냐 모집단이다라고 합니다 이거를 모집단이라고 해요 자 그랬을 때 모집단 중에서 통계 조사를 위해 추출된 조사 대상을표본이라고 합니다 우리가이 5천만 명을 모두 조사하는 거는 상당히 어려워요 너무 많기 때문에 우리가 5천만명을 다 조사하기는 어렵고 통계조사를 하기 위해 여기서 몇 명만 뽑습니다 예를 들어 만약을 뽑았다고 할게요 자 만 명 만 명을 뽑으면 우리 만명을 뭐라 그러냐 표본이라고 해요이 만명을 표본이라고 합니다 자 그러면 표본의 포함되는 자료의 개수를 부분에 포함되는 자료의 개수를 표본의 크기라고 한대요 즉 5천만명 중에 제가 조사를 하려고 만명을 뽑았어요 그러면이 만명을 표본이라고 하는 거고요이 표본의 포함된 자료의 개수 즉 1만개의 자료가 있죠 만 명이니까 이거를 바로 표본의만명을 표본의 크기라고 합니다 만명을 표본의 크기 자 이때요 우리가 지금 5천만 명 중에 또 만명을 뽑았죠이 뽑는 행위를 뽑는 것 자체를 바로 추출이라고 합니다 추출 자 두 번째 내용 볼게요 이번엔 전수조사와 표본조사인데요 통계조사의 대상이 되는 자료 전체를 조사하는 것을 전수조사라고 한대요 그러니까 만약에 키를 조사할 건데 5천만 명을 다 조사해요 5천만 명을 다 조사하면 전수조사고요 자 일부만을 추출하여 일부만을 추출하여 조사하는 것을 교본조사라고 한대요 이렇게 만명을 뽑아서 만 명만 조사하는 거를 표본 조사라고 합니다 자 여기까지 됐죠 우리가 용어가 다 처음 나오는 용어이기 때문에 용어를 잘 기억을 해둬야 돼요 모집단이 뭐예요 우리가 조사할 전체 대상우리가 조사대상 전체를 모집단이라고 하고요 거기서 추출한 예를 들어 만약을 뽑았으면 그 망령을 표본이라고 하고 그만이라는 자료의 개수를 그분의 극이다라고 하는 겁니다 우리가 모집단 전체를 조사하는 것을 전수조사라고 하고요 교본을 조사하는 거를 표본 조사라고 합니다 자 넘어가겠습니다 자 표본의 추출인데요 자 어떤 추출은요 보건 추출과 비보건 추출이 이렇게 두 가지가 있어요 자 예를 들어 우리가 어떤 주머니가 있는데 자 주머니가 있습니다 주머니에 공이 1 2 3 4 5가 적힌 공이 들어있는 이런 주머니가 있다고 하겠습니다 자 하나의 자료를 뽑고 그 뽑은 자료를 다시 넣어 제출 추리 가능하도록 하는 방법을 복원 추출이라고 한대요 자 우리가 여기서공을 뽑는데 2를 뽑아요 공을 하나씩 뽑는다고 했을 때 2를 뽑으면 우리가 확인을 하겠죠 그러고서 다시 집어넣는 겁니다 다시 집어넣고 1 2 3 4 5가 들어있는 상태로 두 번째 추출을 하는 거를 그러면 2가 또 다시 나올 수도 있겠죠 두 번째 수출을 이렇게 하는 것을 바로 보건 추출이다라고 하고요 비복원 추출은 우리가 뽑은 거를 뽑은 자료를 다시 넣지 않는 것을 바로 비복원 추출이라고 합니다 자 이미 추출은 뭐냐면요 각 대상이 수출될 확률이 동일하게 되도록 하는 방법을 이미 추출이라고 한대요 자 지금 주머니 양의 공이 1 2 3 4 5가 있어요 1 2 3 4 5가 있는데 각 공이 나올 확률이 각 공이 뽑힐 확률이 모두 동일한 우리가 그 추출을 바로 이미 추출이다라고 합니다 자복원과 비복원에 대하여 아무 언급이 없으면 우리 이미 추출은 복원 추출로 생각을 합니다 우리가 이미 추출은요 우리가 모든 자료들이 뽑힐 확률이 똑같은 걸 말하는데 이때 별말이 없으면 뭐라고 생각을 한다고요 복원 추출로 생각을 합니다 자 일단은 우리가 여기서 복원 추출과 비보건 추출을 잘 구분할 수 있어야 돼요 보건 추출을 뽑은 거를 다시 집어넣는 거고 비복원 추출은 뽑고 다시 안 넣는 겁니다 다시 안 넣는 거예요 자 이미 추출은 뭐라고요 추출될 확률이 동일하게 되도록 하는 방법 자료가 각각 뽑힐 확률이 똑같은 걸 이미 추출이라고 합니다 자 넘어가도록 하겠습니다 자 모평균 모분산 모표준편차라고 적혀 있는데 자 우리가이 모집단이요 모집단이 우리가 평균이 있을 거고 분산이 있을 거고 표준편차가 있을 거예요우리는이 모집단의 평균과 표준편차와 분산에 각각 부르는 용어가 바로 모평균 모분산 모 표준편차입니다 자 쉽게 말해서 모집단의 평균을 뭐 평균이라고 하는 거고 모집단의 분산을 뽑은 산 모집단의 표본 표준편차를 표준편차라고 하는 겁니다 자 교재 내용을 좀 읽어 볼게요 어느 모집단에서 조사하고자 하는 특성을 나타내는 확률변수를 x라고 할 때 자 우리 모집단을 조사하면 그 각각의 특성이 x로 표현이 되는 거예요 x로 표현되는데이 x의 평균 분담표준편차를 모평균 모분산 모표준편차라고 한대요 기호로는 우리가 평균 램을 쓰고요 표준편차는 시그마를 쓰고 분산은 시그마 제곱을 씁니다 자 각각 모평균 모분산 모 표준편차입니다자 그러면 우리가이 모집단에서 표본을 하나 추출할 거예요 표본을 하나 추출하는데 우리가 이때 표본의 크기를 이때 표본의 크기를 n이라고 하겠습니다 그러면 우리가이 표본 안에는요 자료가 n개 있는 거고요 그 자료를 각각 X1 x2 X3 쭉 가서 xn까지 있다고 하겠습니다 자 그러면 우리가이 표본에 표본의 평균을 구할 거예요 자이 표본의 평균입니다 우리가이 표본의 평균을 구하면이 표본 안에 들어있는 자료들을 모두 더하고요 모두 더하고 n개니까 n으로 나누면 우리가 평균이 나오겠죠 그거를 우리는 표본 평균이라고 해요 자 여기서 나오는 것은 바로 표본평균입니다 표본 평균표본 평균은 이렇게 구해요 x1부터 xn까지 모두 더하고 자료가 n개니까 n으로 나눠주는 거예요 자 우리가 이거 이름을 표본 평균이라고 쓰고요 좋은 평균을 기호를 어떻게 하느냐 바로 x바라고 씁니다 x바 표본 평균 x바 자 우리가 여기서 조준편차도 얻어낼 수 있을 겁니다 표준편차 얻어내고 분산도 얻어낼 수 있는데 각각 표본 분산 교본 분산 교본 표본 표준편차 이렇게 다 표본의 분산과 표준편차를 나타내는 용어들이 있는데 자 우리가 여기서 주의해야 될 점이 하나가 있어요 우리가 표본 분산을 구할 때는요 우리가 흔히 분산을 구할 때는 편차 제곱의 평균입니다 그래서 자 여기 지금 식을 보면 각 자료에서 평균을 뺀걸 제곱을했어요 편차 제곱이죠 우리가이 x 반은 표본 평균이고요 X1 x2 그리고 xn 얘네들을 가지고 평균을 계산한게 x 바하기 때문에이 x 바를 빼주는 거예요 자 마찬가지로 여기도 x2에서 표본 평균 x 발을 빼고 제곱을 해주고 쭉 더해줍니다 즉 편차 제곱의 합이에요 자 이거를 우리가 자료 개수로 나눠주면 되는데 n개죠 원래 n개로 나눠야 되는데 우리가 특이하게 표본 분산을 계산할 때는요 m이 아니라 n-1로 나눠줍니다 자 왜 그러냐면 우리가이 수학자들이 계산을 해보니까 n보다 n -1로 계산을 했을 때 더 정확하다 그래서 n이 아니라 m-1로 계산을 합니다 우리가 이거를 뭐 정확하게 증명을 하면서 rp로는 없고요 그냥 표본분산을 개선할 때는 n이 아니라 m-1로 계산하는구나이 정도만 알고있으면 됩니다 우리가 모의고사나 어떤 평가원에서도 특별하게 이거에 관해서 자세하게 묻고 있지는 않아요 그리고 자주 나오는 내용은 아니니까 우리가 그냥 표본분산 구할 때는 n-1로 나누는구나이 정도만 알고 있으면 무방합니다 자 기호로는요 교본분산을 S 제곱이라고 써요 S 제곱이라고 씁니다 자 표본 표준편차는요 우리가 s라고 쓰고요 루트 S 제곱이겠죠 즉 표본 분산의 루트를 씌운 겁니다 자 그래서 여기는 s 자 여기까지 됐나요 자 우리가 지금 배운 거는요 표본의 표본 한 개의 표본 1개의 평균과 분산과 표준편차 구하는 방법을 배운 거예요 그죠 두 번 한 개입니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 요런 내용이 있어요 모평균이 m이고요 뭐 표준편차가 시그마이 모집단에서 자 그럼 제가 좀 기호로 나타내 보도록 할게요 자이렇게 모집단이 있습니다 모집단이 있는데 자이 모집단은 평균이 m이고 평균이 m이고 표준편차가 시그마인 집단이에요 자 우리가 정확히는 모평균 뭐 표준편차라고 쓰면 되겠죠 자 이때요 우리가 여기서 하나를 추출할 거예요 크기가 n인 크기가 n이 표본을 하나 추출을 할 겁니다 그러면 우리가이 표본 하나의 표본 평균이 있겠죠 좁은 평균이 있을 거예요 자 그리고 우리가이 모집단에서요 크기가 n인 표본은 하나가 아닙니다 크기가 n이 표본은 여러 개예요 여러개 여러 개 뽑을 수 있죠 그거에 표본 평균을 또 x 바라고 할 수도 있고요 또 하나를 뽑으면 이렇게 그거의 표본 평균을 또 x 바라고 할 수가있어요 물론 다른 표본 평균값을 가지겠죠 다른 표본이니까 자 그거를 여러 개 뽑을 수가 있어요 그러면 여기서 말하는 건 뭐냐 표본 평균 x 바예요 표본 평균 x 바에 대해서 평균인 겁니다 즉 우리가 모집단에서 크기가 n인표본을 이렇게 여러 개 뽑을 수 있는데 여러 개 뽑을 수 있어요 몇 개 뽑을 수 있는지는 계산을 해 봐야 알겠죠 여러개 뽑을 수 있는데 그 각 표본들의 평균을 x 바 1 x바 2 xbo3 이런 식으로 나타낼 수가 있습니다이 표본 평균들의 평균을 표본 평균들의 평균을 기호로는 2의 x 바라고 쓰고요 그거를 계산해보니 뭐와 같다 모집단의 평균 m과 같다라고 하는 겁니다 자 얘네들의 분산도 구할 수 있어요표본 평균들의 분산은 우리가 어떻게 계산하냐 모집단의 분산 시그마 제곱을 우리가 표본의 크기 n으로 나눠주면 우리 표본 평균들의 분산을 구할 수가 있는 거예요 자 이번엔 표본 평균에 조준편차는요 우리가 위에 있던 분산의 루트를 씌워서 루트 n분의 시그마라고 계산을 할 수가 있습니다 자 우리가 왜 이런식이 나오는지까지는 자세하게 알 필요는 없어요 우리가이 과정까지는 알 필요 없고 우리가 일단이 개념을 정확하게 이해해야 됩니다 우리가 여기서 평균을 구하고 분산을 구하고 표준편차를 구한게 어떤 애들의 평균과 표준편차와 분산을 구한 거예요 표본 평균입니다 표본 평균들을 가지고 표본 평균들을 가지고 평균을 계산한 거고 분산을 계산한 거고 조준편차를 계산한 겁니다 자 표본 평균은 뭐예요 우리가 모집단에서크기가 n인 표본을 뽑을 수가 있는데 크기가 아닌 표본을 하나만 뽑는게 아니라 뽑을 수 있는만큼 다 뽑는 겁니다 그러면 이런 좁은 평균들이 여러 개 생기고 걔네들을 가지고 이런 평균과 분산과 표준편차를 구할 수가 있다 자 그러면요 내용까지 됐죠 자이 내용을 활용해서 우리가 개념 예제를 한번 보도록 하겠습니다 자 문제를 보면 1 2 3 4의 숫자가 각각 하나씩 적힌 4개의 공이 들어있는 주머니에서 자 1 2 3 4가 적힌 4개의 공이 들어있는 주머니에서 임의로 세계공을 보관 추출할 때 공을 꺼냈다가 3개를 꺼냈다가 다시 집어넣는단 얘기에요 자 그랬을 때 공에 적힌 숫자의 평균을 x바라고 하겠대요 자 그때이 x파일 평균 분산 표준편차를 구하라고 했는데 자이 상황이 지금 무슨 상황이냐 자 우리가 1 2 3 4라고 적혀있는 공이 하나씩 있어요 자 이게모집단입니다 모집단이 이렇게 있는데 지금 여기서 공 세 개를 뽑는데요 자 그러면 공 세 개를 뽑으면 그 안에 공이 3개가 들어 있겠죠 그런데요 세 개의이 세 개의 평균을이 색이 평균을 x바라고 하겠대요 자 이게 의미가 뭐예요 우리가 모집단에서 표본의 크기가 3인 표본의 크기가 3인 표본을 뽑아요 표본을 뽑고 그 표본에 있는 숫자 세기 평균을 x 바라고 안 됐어요 자 그래놓고 우리가 구하는게 뭐냐면이 x 바가 여러가지 값을 가질 수 있는데이 x 바들의 평균과 분산과 표준편차를 구하는 문제인 거죠 자 그러면 우리가 세계를 뽑으면 꼭 표본이 한 종류만 나오는게 아니라 여러 종류 나올 수 있다 그랬어요 12 3만 뽑히는게 아니라 2 3 4가 뽑힐 수도 있고요 134가 뽑힐 수도 있습니다 그래서 우리가 구하는 건 뭐라고요 얘네들의 자 얘네들의 평균과 분산과 표준편차를 구하는 거예요 입혀본의 평균이 x바구요이 표본의 평균도 있을 거고 입혀본의 평균들도 있을 겁니다 이렇게 나오는 x 바들의 평균을 구하는 거죠 자 일단요 우리가 모집단의 [음악] 자 그러면 우리가이 모집단위의 평균과분산을 구했는데 우리가 지금 구할 건 표본 평균의 평균입니다 이렇게 나오는 표본 평균들의 평균을 구하는 거예요 자 그럼이 값은 뭐랑 같다 그랬어요 그냥 모집단의 평균하고 같다 그랬습니다 따라서 2분의 5예요 자 이번엔 우리가 분산이 표본 평균들의 분산을 구할 건데 얘는 n분의 시그마 제곱이죠 따라서 우리가 표본의 크기는 3이기 때문에 3분의 시그마 제곱 즉 4분의 5를 계산을 해주면 되고요 우리가 요거를 12분의 5라고 계산을 할 수가 있습니다 자 우리가 좁은 평균들의 표준편차도 계산할 수 있고요 우리가 요거에 루트 씌우면 되겠죠 계산을 해주면 2루트 3분의 루트 5 루트 6분의 루트 6이 아니라6분의 루트 15입니다 자 여기까지 됐나요 자 넘어가 보도록 할게요 자 표본 평균의 분포인데요 우리가 앞에서 배운 내용을 한번 싹 정리를 하고 갈게요 자 이렇게 모집단이 있다고 합시다 모집단이 있는데이 모집단의 평균 즉 모평균이죠 평균을 m이라고 할 거고요 표준편차를 뭐 표준편차를 시그마라고 하겠습니다 자 여기서 크기가 n이 표본을 하나 뽑아요 자 표본을 뽑습니다 여기에 n개가 들어 있는 거예요 그런데 우리가이 표본의 평균을 표본 평균이라고 하고요 그거를 기호로 x바라고 하죠 자 그런데 이런 표본을 크기가 n인 표본을 하나만 뽑을 수 있는게 아니라 여러 개 뽑을 수 있다고 했습니다 이렇게 여러 개 뽑을 수 있는데 각 표본들의 평균이 있어요 여기도 x바가 있을 거고 여기도 x바가 있을거고 여기도 x바가 있을 겁니다 앞에서 배운 내용은 뭐냐 여기에 나온이 x 바들의 ex 바들의 평균과 분산과 표준편차를 구하는 방법을 배울 배운 겁니다 자 평균은 뭐였어요 우리가이 표본 평균들의 평균이라 그래서 2의 x 바라고 썼구요 모집단의 평균 m과 같습니다 자 분산은요 VX 반은 n분의 시그마 제곱으로 계산을 할 수가 있고요 자 시그마 x 반은 루트의 시그마로 계산을 할 수가 있다고 우리가 앞에서 배운 겁니다 자 우리가 이제 새로 배우는 내용을 한번 읽어 볼 건데 자 요렇게 지금 성립을 한대요 자 제가 여기다가 지금 정리해 놓은 내용과 똑같습니다 자 모집단위 정규분포 m의 시그마 자 정규분포 n을 따르면 평균이 m이고표준편차가 시그마인 이런 정규분포를 따르면 자이 모집단이 지금 정규분포라는 겁니다 정규분포를 따른데요이 모집단이 자 그러면 좁은 평균의 x바는 좁은 평균 x 반은 전기 분포를 따른다라고 적혀 있어요 평균은 표본 평균들의 평균 즉 모평균과 같고요 우리가 여기 지금 군산도 우리가 여기서 계산한 교분평균들의 분산도 분산과 일치하는 것도 확인을 할 수가 있죠 자 여기서 말하는게 뭐냐 모집단이 정규분포를 따르면 여기 있는이 x 바들도 정규분포를 따른다는 겁니다 자 그게 우리가 첫 번째에서 설명하고 있는 내용이에요 자 두 번째는요 모집단의 분포가 정규분포가 아닐 때 자 지금이 모집단이 정규분포 안 다릅니다 정규분포 안 따를 때 표본의 크기 n이 충분히 크다면 우리가요 n이 충분히 크다면 자 충분히 크다는 것은 30 이상인 걸말합니다 보통 30 이상이면 충분히 크다고 생각을 해요 자 충분히 크면 표본 평균의 x 반은요 x 바들은 근사적으로 정규분포를 따른데요 그러니까 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도 표본의 크기가 충분히 크다면 우리는 바로이 표본 평균들이 x바가 근사적으로 정규분포를 따른다라고 생각할 수 있다는 겁니다 자 그때 평균은 m이고 우리가 분산은 n분의 시그마 제곱으로 우리가 계산한 거와 똑같은 거 확인할 수 있습니다 즉 우리는 표본 평균도 정규분포를 따르는 경우가 많다라고 생각을 할 수 있고요 정확하게는 모집단이 정규분포를 따르면 표본 평균도 정규분포를 따르고 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도 표본의 크기가 충분히 크면 정규분포를 따른다라고 할 수가 있습니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 그럼이 내용을 활용해서 우리가 개념 예제를보도록 할 건데 자 모집단이 정규분포를 따른데요 자 그러면 제가 모집단을 이렇게 좀 그려 볼게요 모집단을 이렇게 표시를 할 건데 여기서 평균은 뭐 평균은 100이고요 조준편차는 36입니다 자 시그마라고 쓰겠습니다 지금 아마 m으로 쓸게요 평균은 100이고 표준편차는 36이고 자 여기서 크기가 80일인 즉 n이 81인 표본을 뽑아요 그리고 그 표본의 평균을 x바라고 한대요 그런데 우리가이 표본 평균을 여러 개의 뽑아낼 수가 있죠 자 그랬을 때 구하는 건 뭐냐면요이 표본 평균이 98 이상 106 이하일 확률을 구하라고 했어요 자 그러면요 우리가 일단이 표본 평균들의이 표본 평균들의 평균을 좀 구해봅시다즉 이에 x는요 2x 반은 우리가 모집단의 평균과 같기 때문에 100으로 계산할 수 있고요 자 VX 반은 VX 반은 n분의 시그마 제곱이고 우리가 요거는 얘는 81이구요 시그마 제곱은 36의 제곱입니다 자 그러면이 표본 평균들의 표준편차는 루트를 씌운 거고요 계산을 해주면 9분의 36 즉 4라고 계산을 할 수가 있습니다 자 그런데 우리가 지금 표본의 크기가 충분히 크고요 표본의 크기가 충분히 크고이 x 바가 뭘 따른다고 생각할 수 있어요 x바가 정규분포를 따른다라고 생각을 할 수가 있습니다 정규분포 평균은 100이고 표준편차가 4인 이런 정규분포를 따른다라고 할 수 있습니다그러면 우리가 지금 구해야 되는데 표본 평균이 98 이상 106 이하의 확률을 구해야 돼요 근데 정규분포를 따르는데 우리가 정규분포는 계산을 하지 못하고요 계산을 하기 위해 어떻게 해줘야 된다고 배웠어요 정규화를 시켜서 표준정규 분포를 따르도록 바꿔줘야 된다 그랬죠 그래서 정규화를 시켜줍니다 98-100 나누기 표준편차 4 여기도 106 나누기 평균 100 / 0.5 이상 그리고 1.5 이하로 계산이 되고요 자 우리가 요렇게 그래프를 표시를 했을 때 여기가 0이고 -0.5부터 0까지면 여기를 말하는 거고요 0부터 1.5면 여기를 말하는 거죠 그래서 이렇게 두 개로 나누어 계산을 해주면 됩니다 자 -0.5부터 0은 우리가 0.5까지 계산한 값과 같죠 0부터 0.5까지 계산함과 같기 때문에 0.1915구역 0.192로 + 0부터 1.5는 0부터 1.5는 0.433입니다 0.4332 그래서이 두 값을 더해주면 우리가 0.6247이라고 계산을 할 수가 있습니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 모집단 그리고 표본평균에 관해서 많은 내용을 배웠어요 오늘 배운 내용 정말 헷갈리죠 그러니까 복습 꼭 꼼꼼하게 하면서 우리가 개념 예제까지 개념 예제만 정확하게 이해해도 많은 문제를 풀 수 있기 때문에 꼭 보습 철저히 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]