[수학대왕] 확률과 통계 개념강의 : 통계 - 모평균의 추정

수학대왕 [음악] 자 오늘은 모평균의 추정입니다 자 가장 먼저요 우리가이 추정이 뭔지 볼 건데 자 모집단의 평균과 표준편차량을 알지 못할 때 표본을 이용하여 이들 값을 추측하는 방법을 추정이라고 합니다 자 우리가 모집단이 있어요 어 뭐 예를 들어 우리나라 인구의 키를 조사한다고 합시다 그런데 평균을 알고 싶은데 구하기가 너무 힘들죠 왜냐면 5천만명을 다 조사해야 돼요 그래서 우리가 5천만 명을 다 조사하지 않고요이 5천만명 중에 몇 명만 뽑는 거죠 뭐 대략 한 만명 뽑는다고 합시다 그래서 만명을 추출해서 우리가 표본을 만들면 우리가이 만명의 평균을 구할 수는 있어요 자 그러면 우리가이 평균을 가지고이표본의 평균을 가지고이 모집단의 평균을 추측하는게 바로 수정입니다 그래서 이거를 어떻게 할 건지 배워보도록 할 거예요 자 뭐 평균의 실내 구간인데요 전기분포를 따르는 모집단에서 자 평균은 m이고 표준편차는 시금합니다 자 요런 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 n이 표본을 이미 출출할 때 표본 평균 x 바이 값이 우리가 소문자로 썼네요 x바이면 모평균 m의 실내 구간은 다음과 같다라고 적혀 있어요 자 신뢰도 95%의 신뢰구간이라고 해놓고 이렇게 써 있는데 자 이게 어떻게 나온 건지 한번 좀 이해를 해보도록 할게요 자 우리가 표준정규 분포표를 이용하면 -1.96부터 1.96까지 이 확률이 0.95라는 거를 알 수가 있어요 자 요런 내용은 우리가 문제에서 줍니다 자 이렇게 마이너스 1.96부터 1.96까지 확률이 0.95다라고 주면이 z를요 거꾸로 돌리는 겁니다 효주나 이전으로 돌리는 거예요 그러면 x 바 - m / 루트 n분의 시그마가 -1.96부터 1.96까지구요 이거를 -1.96 곱하기 루트 n분의 시그마 x바-m 1.96 곱하기 루트 n분의 시그마 자 이거를요 m에 관해서 정리를 해주면 매매관에서 정리를 해주면 이렇게 나옵니다 x바 - 1.96 곱하기 루트 n분의 시그마 자 x바 플러스 1.96곱하기 루트 n분의 시그마 그러면 우리가 어차피 여기 써 있는이 부등식이나이 부등식이나이 부등식이나 같은 부등식이기 때문에이 부등식이 성립할 확률이 0.95입니다 자 95% 자 그러면이 부등식이 의미하는게 뭐냐 자 우리가 설문조사를 해서요 어떤 표본의 평균을 얻어냈다고 합시다 그러면 그 표본 평균을 가지고 모평균을 추측하는 걸 추정이라고 했는데 사실은 표본 평균이 정확하지 않아요 모평균이 예를 들어 10정도 되면 좁은 평균은 뭐 실제로 10일 수도 있지만 8일 수도 있고 11일 수도 있고 다양하게 나올 거예요 그런데이 표본 평균을 가지고 우리가이 표본 평균을 가지고 이런 부등식을 이런 부등식을 모평균 m이 만족할 확률이 95%라는 겁니다즉 우리가 좁은 평균을 가지고이 부등식을 쓰면 그거를 가지고 모평균을 추정을 했을 때 그 모평균이이 범위 안에 들어올 확률이 95%인 거예요 그래서 이거를 우리가 바로 모평균의 실내 구간이라고 합니다 그런데이 신뢰도 95%에서이 부등식이 써지는 거예요 왜냐이 95%인지 99%인지에 따라서 우리가 여기이 표준화한 z의 부등식이 달라지기 때문에 우리가 항상 신뢰도에 따른 실내 구간이 달라지고요 95%에서는 이런 부등식이 성립을 하는 겁니다 자 99%면요 우리가 요런 확률이 성립을 해요 마이너스 2.58 이상 z가 2.58 이하 요게 0.99입니다 그래서 99%의 실내 구간은-2.58 2.58을 가지고 실내 구간을 만들어서 이런 부등식을 만들어 낼 수가 있어요 그래서이 부등식이 성립할 확률이 99%인 겁니다 자 우리가 목표준 편차 시그마를 고를 때는요 그분의 크기 n이 충분히 크다면 시그마 대신에 표본 표준편차 s를 사용할 수도 있습니다 우리가 추출한 표본의 표준편차 s를 쓸 수도 있는 거예요 자 그러면 개념 예제를 한번 보도록 할게요 자 정규분포 n을 따르는 모집단에서 자 평균은 m이고 표준편차는 합니다 자 크기가 16인 크기가 16인 표본을 이미 추출하였대요 n은 16이네요 자 그랬을 때 표본 평균이 51이에요 자 표본평균 즉 x바가 지금 50인 겁니다 그랬을 때 신뢰도가 다음과 같을 때 실내 구간을 구하는 문제고요 문제에서 지금 이렇게 줬죠 0부터 1.96까지는 0.475래요 자 그러면 우리가 -1.96부터 1.96까지는 0.95라고 계산을 할 수가 있습니다 그러면 우리가 아까 배운 신뢰도 95%의 실내 구간을 우리가 써주면 자 모 평균 m은요 표본 평균 x바 - 1.96 곱하기 루트 n분의 시그마 이상 x바 플러스 1.96 곱하기 루트 n분의 시그마 이하라고 쓰면 되고요 자 우리가 알고 있는 값들을 모두 넣어주면 됩니다 50-1.96 곱하기 루트에는 4죠 시그마도 삽니다 요거 이상 50+1.96 곱하기 4분의 4 자 이거를 계산을 해주면요 48.04 이상 51.96 이하라고 우리가 이렇게실내 구간을 구할 수가 있습니다 자 2번도 한번 풀어보도록 할게요 자 이번엔 99%로 추정을 하는 거구요 자 그러면 x 바 -2.58 곱하기 루트 n분의 시그마 그리고 모평균 m x바 2.58 x바 플러스죠 이상이 아니라 기호가 이상하게 들어갔네요 x바플러스 2.58 곱하기 루트 n분의 시그마이 부등식을 계산해주면 됩니다 자 50 -2.58분의 4분의 4구요 여기는 [음악] x바 플러스 즉 52죠 50+2.58 곱하기 4분의 3입니다 자 얼굴을 계산을 해주면 우리가 47.4223 52.5가 있어요 자 그러면 이렇게 나온 우리가 실내 구간이 정답인데요 우리가만약에요 상황에서 이렇게 부등식을 쓰면 우리가 정확히는 모르는이 모평균 m이이 부등식 안에 있을 확률이 99%다라고 해석을 하면 됩니다 자 여기까지 됐나요 넘어가겠습니다 자 뭐 평균의 실내 구간의 길이고요 우리가 앞에서 배운 내용하고 똑같습니다 자 우리가 앞에서는 모평균 애매 실내 구간을 구하는 방법을 배웠어요 그러면 그 모평균 m이 어떤 알파 이상 베타 이하라고 했을 때 실내 구간의 길이라는 것은요 우리가 여기에서이 베타에서 알파를 빼주는 거예요 즉 베타 마이너스 알파가 실내 구간의 길이고요 우리가 신뢰도 95%인 거를 실내 구간을 이렇게 쓸 수가 있었죠 x바-1.96 곱하기 루트 엔분의 시그마 이상 x바 플러스 1.96 x 루트 엔분의 시그마라고 쓸 수 있었습니다 자 이때요 여기서 요거를 빼는게 실내 구간의 길이고요 그렇게 빼주면 2 곱하기 1.96 곱하기 루트 n분의 시그마라고 계산이 됩니다 자 99%도 마찬가지로 우리가 확인을 해주면 2 곱하기 2.58 곱하기 루트 n분의 시그마로 계산을 할 수가 있어요 자 실내 구간의 길이의 성질인데요 자 표본의 크기가 일정하면 신뢰도가 커질수록 실내 구간의 길이는 길어진다라고 적혀 있어요 자 그러면 이게 왜 그러냐 표본의 크기가 일정한데요 자 신뢰도가 커진다는 거는 우리가 어떤 추정을 했을 때 그 확률이 높은 거예요 그러면 우리가 그 모평균이 그 범위 안에 있을 확률이 높다는 얘기고그러려면이 길이가 길면 길수록 높겠죠 우리가이 부등식의 범위를 넓게 잡으면 잡을수록 우리가이 모평균이 그 범위 안에 들어갈 확률이 높아지는 겁니다 그래서 이렇게 신뢰도가 커질수록 우리가 실내 구간에 길어구간의 길이가 길어진다는 걸 알 수가 있고요 자 신뢰도가 일정하면요 자 표본의 크기가 커질수록 즉 우리가 조사한 대상이 많아지는 겁니다 조사한 대상이 많아지니까 실내 구간의 길이가 짧아도 똑같은 신뢰도로 우리가 측정을 할 수가 있게 되는 것이죠 자 그래서 두 가지 내용을 우리가 알고 있으면 되고요 우리가 위에 있는요 식을 통해서도 우리가 계산을 통해 우리가 비교를 할 수 있으니까 요렇게도 알면 좋고 식을 통해서도 한번 확인을 해보면 좋습니다 자 맨 마지막에 나와 있는 내용은 우리가 앞에서도 배운 내용이고요 표준편차 뭐 표준편차 시그마를 모를때 표본의 크기 n이 충분히 크면 모호표준편차 시그마 대신에 표본 표준편차 s의 값을 사용할 수 있다라고 나와 있습니다 자 개념미즈 보도록 할 거고요 정규분포 자 평균은 m이고 표준편차는 12 이런 전기 분포를 따르는 모집단에서 크기가 25인 표본을 이미 추출할 때 다음과 같은 신뢰도로 추정한 모평균에 대한 실내 구간의 길이를 구하는 문제구요 자 지금 실내도 95%로 우리가 실내 구간의 길이를 구해야 되는데 자 우리가 여기 지금 문제에 보면 지금 0 이상 1.96 이하일 확률이 0.475다라고 주어져 있어요 그러면 우리가이 0.475를 2배라면 0.95가 되기 때문에 자 -1.96 이상 1.96 이하일 확률이 0.95구요 그러면 우리가 여기서 실내 구간의 길이를 2 곱하기 1.96 곱하기 루트 n분의 시그마로 계산을 할 수가 있는 겁니다 자 그러면 우리가 여기서 루트에는요 우리가 크기가 25기 때문에 n에다 25를 집어넣으면 5가 나오고요 표준편차는 10입니다 요거를 계산하면 7.84로 계산이 돼요 자 2번도 같은 방법으로 보면 되고요 실내도 지금 99%이기 때문에 이번에는 요거를 활용해 주는 겁니다 자 -2.5823 2.58 이하일 확률이 0.99구요 이거를 활용하여 우리가 실내 구간의 길이를 구해주면 2 곱하기 2.58 곱하기 루트 n분의 시그마로 계산을 해주는 겁니다 그러면 2 곱하기 2.58 곱하기 5분의 10이구요 요거를 계산해주면 10.32로 계산이 됩니다 자 여기까지 해서 우리가 오늘 모평군의 모평균의 실내 구간의 길이까지 구하는 과학습을 모두 마쳤고요 우리가요 내용을 조금 헷갈리는 내용이 있으니까 우리가 꼭 복습을 하고 우리가 배웠던 내용 공부 꼼꼼하게 하고 넘어가시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]