[수학대왕] 기하 개념강의 : 이차곡선 - 포물선

수학대왕 [음악] 자 오늘한 스타 내용은 포물선입니다 우리가이 기아 단원에서 2차곡선이라는 걸 배우게 되는데 이차곡선에는 세 가지가 있어요 포물선 타원 그리고 쌍곡선까지이 세 가지에 대해서 배울 건데 가장 먼저 오늘은 포물선에 대해서 배우도록 하겠습니다 자 포물선이 뭐냐면 우리 평면이 한 점 f와 이 점을 지나지 않는 한 직선 l이 직선의를 이루는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라고 합니다 자 점 f가 여기 있구요 직선 l이 이렇게 있습니다 이렇게 있을 때이 직선과이 점의 프로부터 거리가 같은 점들을 모두 모으면어떤 모양이 되냐 이런 모양이 됩니다 우리가 이거를 포물선이라고 하고요 여기 있는 점들은 모두이 점 f와이 직선 l까지의 거리가 동일합니다 그래서 아무 점이나 하나를 잡아도이 직선까지의 거리와이 점까지 거리가 동일한 거예요 자 몇 가지 용어를 또 보고 갈 건데이 점 f를요 우리가 뭐라고 부르냐면 초점이라고 부르고요이 직선을 준선이라고 부릅니다 그리고이 준선의 수직이면서 점 af를 지나는 직선을 우리가 축이라고 하고요이 축과 포물선이 만나는 요점을 꼭짓점이라고 합니다 자 특히 꼭짓점은 어떤 점이냐면요 준선과 초점으로부터 거리가 같은 점들을 모아놓은게 포물선이라고 했는데 그 중 거리가 가장 짧은 섬이에요 짧은 점 진선으로부터의 거리와 초점으로부터의 거리가동일한데 그 중 가장 짧은 점을 짧은 점을 우리가 꼭짓점이라고 합니다 자 넘어가 보도록 하겠습니다 자 그래서 우리가 이거를 좌표평면이 나타내기 위해 식으로 쓸 건데 점과 직선이 정해져야 포물선이 나오겠죠 그래서 점을 우리가 p 콤마 0이라고 할 거고요 준선을 x는 -p라고 할 겁니다 자 p가 양수면 직선은 요렇게 있을 거고요 초점을 여기쯤 있겠네요 자 그때 우리가이 점과 직선으로부터 거리가 거리가 같은 점들을 모으며 포물선이 된다 그랬고이 포물선의 방정식이 뭐냐면이 보물선의 방정식은 y 제곱은 4px가 되는 거예요 자 우리가이 포물선 위에 점을 x 콤마 y라고 해놓고 자취방정식을 한번 구해 볼게요그러면 pf의 길이는 x-p^2 + y²의 루트를 씌운 거고요 준선까지의 거리는 절대값 x-p입니다 그래서 양변제곱을 해주면 x - p의 제곱 플러스 y 제곱은 x+p^2이고요 이거를 y²에 관해서 정리하면 y 제곱은 4px로 정리가 됩니다 그래서 초점이 p 콤마 0이고 준선 2x는 -p면 y 제곱은 4px라는 포물선을 얻어낼 수가 있습니다 자 초점을 p 콤마 0이고요 준선은 x는 -b고 자 꼭짓점은 어디예요 우리가 준선과 준선과이 초점으로부터 거리가 같은 점이고 거리가 가장 짧은 점이기 때문에 원점입니다 원점 여기가 바로 꼭짓점이고 0이 되는 거예요 자 주개방정식은x축이고 y는 0이다라고 표현할 수 있겠네요 자 피가 음수인 경우는요 꼭짓점이 똑같은데 포물선이 이렇게 왼쪽에 그려지는 경우입니다 자 그러면 피가 음수기 때문에 지금 초점이 이렇게 음수 위에 위치하고 있는 거고요 음의 방향이 위치하고 있는 겁니다 그리고 준서는 x는 -p니까 양수여서 이렇게 1사분면과 4사분면 위에 있네요 자 이렇게 p의 부호에 따라서 그래프를 다르게 그릴 수가 있습니다 자 여기까지 됐나요 넘어가 볼게요 자 이번에는요 우리가 초점이 x축 위에가 아니라 y축 위에 있는 경우에 부도로 갈 건데 지금 초점이 0 콤마 p고 준선이 y는 마이너스 p면요 만약에 b가 양수면 자 초점이 어떻게 생겨요 여기에 이렇게 생기죠 그리고준서는 x는 -p니까 y는 -p니까 이렇게 3사분면과 4사분면을 지나도록 이런 준선이 그려집니다 그러면 보물선이 어떻게 생겨요 이렇게 생기죠 자 아까와 마찬가지로 우리가 이거를 X y라고 놓고 이전까지 거리랑이 직선까지의 거리가 같다고 놓고 식을 세워주면 우리가 x 제곱은 4py라는이 포물선을 나타내는 식을 얻어낼 수가 있는데요 자 예를요 y에 관해서 정리를 해주면 4p분의 1x제곱이죠 자 2차 함수와 꼬리 비슷합니다 이차함수와 같은 개형의 그래프인 거예요 하지만 표현 방식이라는 것 뿐인 겁니다 똑같은 그래프를 나타내지만 표현 방식이 다른 거예요 결국은 둘 다 보물선입니다 자 우리는이 포물선에서는이 식을 더 많이 쓸 거예요 왜냐면 딱 보면 우리 눈에 초점을 바로 우리 눈에 초점이 바로 보이기 때문에초점을 잘 보이게 하는이 그래프의이 식의 형태를 많이 쓰게 될 겁니다 자 피가 음수면요 피가 음수면 우리가 초점이 어디에 찍혀요 이렇게 아래에 y축에 찍히죠 자 그래프가 이렇게 생겼고요 준서는 요렇게 있습니다 자 꼭짓점 마찬가지로 0이죠 자 초점 0 p고 준수한 y는 - b고 꼭짓점 0이고 축의 방정식 x는 0 즉 Y 축입니다 자 우리가 포물선에서 제일 중요한 건요 정의예요 정의 포물선의 정의가 뭐예요 초점으로부터의 거리와이 준선으로부터의 거리가 같다요 성질을 정말 많이 활용해서 문제를 풀 거고요 그리고 우리가 초점을 항상 찾아서 그래프를 이렇게 표시해 줘야 된다는 거 준성과 초점을 함께 표시를 해 줘야 됩니다 자 넘어가도록 할게요 자 다음 포물선이 초점을 좌표 준선의방정식 꼭짓점을 좌표 추계방정식을 구하고 그래프를 그리라고 했습니다 자 일단 1번 보면 y 제곱은 4x라고 써 있는데 자 우리가 기본 꼬리 y 제곱은 4px예요 그러면 p가 뭐예요 b가 1이죠 자 b가 1이니까 그래프를 먼저 그릴게요 자 초점이 몇 콤마 몇이에요 p 콤마 0이니까 1 0이고 준선의 방정식은 x는 -1입니다 자 그래프를 이렇게 이런 식으로 그려주면 돼요 자 하나씩 찾아보겠습니다 초점 몇 콤마 몇이에요 1 콤마 0이죠 자 준선 x는 -1입니다 꼭짓점 몇 콤마 몇이죠 0이고요 중계방정식은 x축 즉 y는 0이라고 써주면 됩니다 자 2번을 보도록 할건데요 x 제곱은 - 12y네요 자 이번엔 x²에 관해서 표현이 되어 있어요 그러면 얘가 지금 x 제곱은 4py 꼴이고요 p 값이 우리가 -3이라는 것을 계산할 수가 있습니다 자 따라서 그래프를 먼저 그려주면 초점이 몇 콤마 몇이에요 얘는 지금 x 제곱은 4py 꼴이니까 초점은 바로 0 -3입니다 교점은 0 -3이고 준서는 그러면 3이겠네요 준서는 y=3 초점은 0 - 3 자 그래프 기형은 이렇게 생겼습니다 자 하나씩 찾아 줄 건데요 초점 몇 콤마 몇이에요 0 - 3 중선은 y는 3 꼭짓점을 몇 콤마 몇이에요 0 축의 방정식은 우리가y축 즉 x는 0이라고 구할 수가 있습니다 여기까지 됐죠 자 포물선의 평행이동인데요 자 두 포물선 y 제곱은 4px x 곱해서 py를 x축의 방향으로 n만큼 y축의 방향으로 n만큼 평행 이동시킬 겁니다 자 x축으로 n만큼 평행이 이동시키는 거는 x 자리에 x-m을 넣는 거고요 y축의 방향으로 n만큼 평행 이동을 시키는 건 y자리에 y-n을 집어넣는 것이죠 자 그렇게 해서 얻어낸 방정식은 각각 이렇게 이렇게 표현이 돼요 우리가 x의 x - 놓고 y의 y - n을 넌 꼴이죠 자 그럼 이거를 그래프를 보면서 좀 하나씩 보도록 할게요 자 원래 초점이 몇 콤마 몇이었어요 원래 초점이 p 콤마 0이었습니다 그런데 지금 그래프를x축으로 n만큼 y축으로 m만큼 평의 이동시키면 평행 이동된 그래프의 초점은 몇 콤마 몇이 되겠어요 b+ m이 되겠죠 그대로 m을 옮겨준 겁니다 그래서 초점을 좌표 이렇게 생기는 거고요 자 원래 준서는 뭐였어요 원래 준서는 x는 -p라는 그래프였습니다 자 x축으로 n만큼 평의 이동시키면요 그래프가 우선 이렇게 오겠죠이 정도 옵니다 x는 - p + m으로요 자 그런데 y 축으로 평행이 이동시킨다고 준선이 옮겨질까요 옮겨지지 않습니다 우리가 요거는 x는 꼴의 직선이기 때문에 이렇게 y축으로 평행 이동을 시켜도 전혀 변화가 없고요 그대로 x는 -p + m 또는 x는 n-p 이런 식으로 표현을 할 수가 있겠죠꼭짓점 원래 0이었습니다 마찬가지로 x축으로 m만큼 y축으로 m만큼 평행 이동을 시키는 거고요 노점입니다 몇 콤마 몇이에요 M n이죠 자 마지막으로 축의 방정식이고요 주개방정식이 원래 x축 즉 y는 0이었는데 자 얘는 x축으로 평행 이동시켜도 변화가 없습니다 그래서 y축으로 평행 이동만 시켜서 y는 n이라는 새로운 추계방정식이 만들어지죠 자 이번엔 x-m의 제곱에 4p의 y - n꼴을 볼 건데 자 원래 초점이 원래 초점이 0 p였죠 원래 초점이 이렇게 0 콤마 피었습니다 자 얘를 평이 이동시키면요 그대로 x축으로 n만큼 y축으로 n만큼 평이 이동시키면 0이 됐어요 m n + b가 됐죠 그래서 여기 이제 새로운 초점이 된 거고요 자 준서는이렇게 있던 y는 마이너스 p라는 직선이었는데 얘를 x 축으로 평의 이동시켜도 변하지 않고요 y축으로 평행 이동을 시켜서 우리가 이렇게 새로운 y는 -p + n이라는 즉 m - p라는 요런 준선의 방정식을 새로 얻어낼 수가 있습니다 자 꼭짓점은 몇 콤마 몇이었어요 0이었는데 얘도 그대로 x축으로 n만큼 y축으로 웬만큼 가니까 새로운 꼭지점 m 이고요 추계방정식은 원래 이렇게 y축 즉 x는 0이었는데 x축으로 병의 이동을 n만큼 시켜서 x는 m이라는 두 개 방정식이 된 겁니다 자 우리가 기존의 평행 이동을 잘 배웠다면 전혀 어려움 없는 내용이죠 우리가 기존에 있는 걸 이동만 시켜주면 됩니다 자 넘어갈게요 자 이번엔이 포물선에 초점 준선 꼭짓점 추계방정식을 구하는문제구요 지금 y-1의 제곱은 8의 x-2라고 되어 있는데 우리가 먼저 얼마나 평행 이동시킨 건지 그리고 뭐를 평에 이동시킨 건지를 파악을 해야 됩니다 자 얘는요 y 제곱은 4x라는 그래프를요 x축으로 이만큼 y 축으로 1만큼 평행 이동시킨 그래프예요 그러면 y²은 8x라는 그래프를 우리가 이렇게 표현을 할 수가 있고요 이렇게 준선이 있고 준선 x는 뭐예요 -2죠 자 초점 몇 콤마 몇이에요 지금 p는 2니까 초점은 2 0입니다 자 x축으로 얼마나 갔어요 이만큼 갔어요 그러면 초점을 2만큼 보내고 y축으로 1만큼 갔으니까 y축으로도 1만큼 보내면 여기에 새로운 초점이 찍히고요 자 꼭짓점도 옮겨봅시다꼭짓점도 x축으로 이만큼 y축으로 1만큼 여기에 새로운 꼭짓점이 생겨요 자 그래프를 한번 그려주면요 제가 빨간색으로 올리겠습니다 이렇게 생긴 이렇게 생긴 새로운 포물선이 나오는 거예요 자 이번에 지금까지 구한걸 한번 정리하고 갈게요 초점은 몇 콤마 몇이에요 2 0이었는데 4 1이 됐고요 요즘 4 콤마 1이죠 자 꼭짓점 콤마 몇이에요 0이었는데 x축으로 이만큼 y축으로 이만큼 갔으니깐 2입니다 자 준서는 자 준서는 원래 x는 -2였는데 얘를 지금 x축으로 이만큼 갔으니까 여기에 새로운 준선이 있어요 여기에 새로운 준선이 있고 y축 평이 이동시키는 건 의미가 없죠 그래서 준선 x는 0입니다 자 투기방정식은 원래 x축이라는 y는 0이라는 직선이었는데 얘를 1만큼 평행 이동시키니까축의 방정식은 y는 1입니다 자 우리가 이렇게 해서요 초점 좌표 준선의 방정식 꼭짓점 좌표 2개 방정식까지 모두 구했습니다 우리가 이렇게 구해주면 되는 거고요 우리가이 포물선에서 내용은 제일 중요한 건 정의입니다 제가 거듭 말씀드리지만 포물선의 정의가 제일 중요하고요 우리가이 내용들을 모두 알고 있어야 어려운 문제들도 풀 수 있으니까 내용 꼭 꼼꼼하게 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]