[수학대왕] 기하 개념강의 : 이차곡선 - 쌍곡선

수학대왕 [음악] 자 오늘은 쌍곡선입니다 우리가 2차곡선의 방정식에서 포물선을 배우고 타원을 배웠어요 그리고 오늘 마지막으로이 쌍곡선까지 배워보도록 하겠습니다 자 일단은요 우리가 타원하고 조금 비교를 할 건데 자 타원은요 어떤 성질이 있어요 우리가 거리의 합의 어떤 두 초점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합입니다 자 우리가 오늘 배울 쌍국선은요 서로 다른 두 점 f와 F 프라임에서 거리의 차이가 일정한 점들에 집합이에요 다원은 거리의 합이고요 쌍곡선은 거리에 차가 일정한 점들의 집합이에요 자 그래서 이런 점들을 우리가 그려주면요f와 f'이라는 점을 가지고 거리에 차가 일정한 점들을 그리면 이런 그래프가 나와요 이렇게 이렇게 자 이때요이 두 점을 우리가 초점이라고 합니다 자 거리의 차가 일정하다고 했으니까요 우리가요 길이와요 길이의 차이 즉 a - b의 값과요 이렇게 이렇게 c-d의 값이 같고요 우리가 여기다가 그어도 이번에 얘를 2라그러고 f라고 하면 큰 거에서 작은 걸 빼야 되니까 f-2의 값도 같습니다 요게 바로 쌍곡선이에요 자 몇 가지 용어를 더 보고 갈 건데요 두 초점 f와 f'을 잇는 직선 즉요 직선이 쌍곡선과 만나는요 점을 우리가 꼭짓점이라고 해요꼭짓점 자 그거를 a 프라임이라고 하고 하나를 a라고 할게요이 두 점을 꼭짓점이라고 하고요이 선분 AA 프라임요 선분 AA 프라임을 우리가 주축이라고 합니다 그리고이 두 축의 중심 선분 a와 1/3 프라임의 중점을요 AA 프라임의 중점을 우리가 중심이라고 합니다요 주축의 중점입니다 주축의 중점 자 넘어갈게요 자 그래서 이번에도 마찬가지로이 쌍곡선을 우리가 좌표 평면 위에 표현을 해보도록 할 거예요 자 초점 C 콤마 0하고 -10으로부터 거리의 차이가 2인 쌍곡선의 방정식은 a² - b²은 1이라고 쓴대요 자 우리가 요식은요 우리가 자체 방정식을 구하는 방식으로 유도할 수 있고요 우리가 그 과정은 하지 않도록 하겠습니다 자 일단요 우리가초점을 먼저 볼 건데 초점의 좌표를 C 콤마 0이라고 놓고 -10이라고 놓겠대요 자 거리의 차이가 2라 그랬는데 우리가 요렇게 방정식을 쓰면요 우리가 x축과의 교점을 찾기 위해서 y에다가 0을 대입하면 x 제곱은 a 제곱이기 때문에 x는 플러스 마이너스 a죠 즉요 점의 좌표가 a 콤마 0이고요요 점의 좌표가 마이너스 a 콤마 0입니다 그래서 우리가 여기 길이를요 선분을 주축이라고 배웠는데요 주축의 길이가 2인 거예요 자 주축의 길이가 2입니다 주축 2A 자이 쌍곡선 위에 아무 점 하나를 잡으면요요 선분의 길이와요 선분의 길이 차이가 바로이 축축의 길이 2a와 같은 거예요 요거를 p요거를 주라고 하면 p-q는 2a입니다 자 우리가 여기서이 초점 c는 어떻게 구하냐면요 초점 c는 B 제곱은 c² - a 제곱 즉 c제곱은 a² + B 제곱이라는 식을 가지고 우리가 초점을 찾아낼 수가 있어요 그렇게 해서 초점자 표 구할 수 있고요 꼭지점에 좌표 아까 y에다 0 넣어서 구할 수 있었죠 이렇게 구할 수 있고요 중심좌표 a 콤마 0과 -a형의 중점이니까 우리가 0이라고 찾아낼 수가 있습니다 자 주축 길이도 우리가 아까 꼭짓점 좌표 가지고 2라고 찾아냈구요 우리가 쌍곡선은 특이하게 점근선의 방정식이 있어요 자 우리가 이게 생긴게 약간 포물선하고 비슷하게 생겼지만 포물선이 아닙니다 포물선이 아니고 우리가 쌍곡선은 이렇게 점근선의 방정식이 따로 존재를 해요이 점근선의 방정식은 두 개가 있고요 우리가 하나는 a분의 bx다른 하나는 - a분의 bx라고 우리가 점근선의 방정식도 구할 수가 있습니다 자 그럼 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 초점이 y축 위에 있는 거예요 초점이 y축 위에 있고요 거리의 차가 2위인 쌍곡선의 방정식은 a² -b제곱 분의 y 제곱은 -1 꼴로 나타냅니다 자 뭐가 바뀌었어요 우변에 있는 이래 부호가 바뀌었죠 자이 경우에는 초점이 y축 위에 있고요 자 우리가 성질은 다 비슷비슷합니다 거리의 차가 2b라 그랬고요 자 우리가 일단은 꼭짓점의 좌표를 찾기 위해서 우리가 초점이 여기 있기 때문에 꼭짓점도 우리가 y축이 있는 거를 확인할 수 있고요 그걸 찾기 위해 x에다가 0을 집어넣어줍니다 - b²은 -1이고y 제곱은 b 제곱이니까 y는 플러스 마이너스 b라고 찾을 수가 있습니다 요점 b구요 [음악] 그러면 여기서부터 여기까지 길이는 몇이에요 2b죠 2b예요 이게 바로 주축의 길이고요 주축 길이가 입이고요이 주축의 길이가 뭐랑 같아요 쌍곡선 위에 임의의 점에 대해서이 길이와이 길이의 차이가 항상 2b인 겁니다 자 여기까지 됐죠 자 그러면 우리가 초점의 좌표 이렇게 나타내져 있는데 C 값은 어떻게 구할 수 있다 그랬어요 유식에서 우리가 c^2에 관해 정리를 해주면 a 제곱 플러스 b²이라는 관계식을 통해서 우리가 초점의 좌표를 구할 수가 있습니다 자 그리고요 우리가 꼭짓점이 좌표 아까 x에다 0 집어넣어서 확인할 수 있었구요 꼭짓점에 중심 중점 자 요점과 요점의 중점이 바로 중심이죠0이라고 구할 수가 있습니다 자 중심의 기축의 길이 주축의 길이 2b라고 구할 수 있고요 점근선의 방정식 아까와 동일하게 자 a분의 bx와 -a분의 bx를 우리가 점근선의 방정식으로 구할 수가 있습니다 자 여기까지 됐나요 넘어가 보도록 할게요 자 우리가 접는 선의 방정식이 하나 추가되어서 이제 내용이 하나 따로 적혀 있는데 자요 쌍곡선과요 쌍곡선의 점근선의 방정식은 y=a분의 bx와 y는 - a분의 bx입니다 자 이렇게 점근선 구할 수 있으니까 우리가 여기 뒤에 있는 1의 부호가 달라도 점근선은 똑같이 구해주면 됩니다 자 넘어가겠습니다 자 개념인지 한번 보도록 하겠습니다 다음 쌍곡선이 초점 꼭짓점 중심 주축 점근선까지 모두 우리가 그래프 그리는 것까지싹 다 구하라고 한 문제네요 자 1번 먼저 보도록 할 건데요 지금 9분의 x 제곱 - 16은 1이라고 주어져 있고요 지금 여기에 지금 1이기 때문에 우리가 초점은 어디 위에 있다는 걸 알 수가 있어요 초점은 x축 위에 있습니다 x축 위에 있어서 우리가 일단 초점좌표를 하나는 C 콤마 0 다른 하나는 -10이라고 잡겠습니다 c의 값을 구하기 위해서요 C 제곱은 a제곱 플러스 b²이라는 식을 활용을 할 거고요 9 + 16 즉 25라석 우리가 C 값을 플러스 마이너스 5 즉 c는 5라고 우리가 구해 줄 겁니다 우리가 양수를 대입해서 초점을 좌표를 이렇게 5 -5이라고 구할 수가 있어요 자 이번엔 꼭짓점을 구할 건데요 자 우리가 지금 초점이 x축 위에 있기때문에 자 초점이 x축 위에 있기 때문에 꼭짓점도 x축 위에 있습니다 초점은 여기 있고 그러면 꼭짓점도 ex축 위에 있는 거예요 그러면 우리가 이걸 구하려면 y에다가 0을 대입을 해주는 겁니다 자 9분의 x 제곱은 1이고요 우리가 여기서 X 값 계산하면 플러스 마이너스 3이죠 즉 꼭짓점의 좌표는 3콤마 0하고 -3 0입니다 그래서 꼭짓점을 요렇게 찍고요 요렇게 찍고 우리가 쌍곡선을 이렇게 그려주면 되겠네요 이렇게 자 그러면 우리가 이것까지 찾았고 이번엔 중심좌표 찾아보도록 할게요 자 중심 좌표는요 중심 좌표는 우리가 꼭짓점의 중점이니까 꼭짓점의 중점이니까 원점 즉 0이라고 찾아낼 수가 있고요 이번에는 주축끼리 주축 길이는 꼭짓점부터 꼭짓점까지의거리니까 즉 -3부터 3 0까지의 거리여서 6입니다 자 점근선의 방정식은요 우리가 y는 플러스 마이너스 a분의 bx 꼴로 나타낼 수 있고요 이거를 활용해서 점근선을 구해주면 3분의 4x 그리고 - 3분의 4x 이렇게 점근선의 방정식까지 구해줄 수가 있습니다 자 그렇게 하면요 우리가 초점자 표 이렇게 찾았구요 꼭짓점 좌표 이렇게 닫았고 중심좌표 주축끼리 점근선에 방정식까지 모두 찾았죠 그래프도 그려주었습니다 자 이번엔 2번 문제 풀어보도록 할게요 64분의 x제곱 마이너스 36분의 y 제곱은 -1이라는요 그래프를 그리고 뭐 여러가지 좌표들을 찾아볼 건데 지금 우변에 마이너스 1이기 때문에 우리가초점이 어디에 있는 거예요 초점이 y축 위에 있습니다 이번에 초점이 y축 위에 있어요 그래서 일단 c제곱의 값을 계산을 먼저 해주면 64 + 36은 배기구요 c값을 우리가 플러스 마이너스 10이라고 얻어낼 수 있죠 자 이때 우리가 양수 10만 활용해서요 우리가 초점좌표를 0 콤마 10하고 0 - 10이라고 구할 수가 있습니다 자 이번엔 꼭짓점 찾을 거고요 자 초점이 y축 위에 있기 때문에 이번엔 꼭짓점도 마찬가지로 y축이 있습니다 그래서 x에다가 0을 대입해서 우리가 y 제곱 나누기 36은 1로 정리가 되고요 y 값은 플러스 마이너스 6이네요 즉 꼭짓점 좌표는 0 6 0 -6이라고 우리가 구할 수가 있어요 자 이걸 가지고 그래프를 좀 그려주면요 우리가 초점 좌표는 이렇게꼭짓점의 좌표가 0 콤마 6이니까 그리고 0 -6이니까 그래프를 이렇게 쌍곡선을 그려주면 됩니다 여기까지 됐죠 자 중심좌표는 중심좌표는 우리가 몇 콤마 몇이에요 0이고요 주축 길이는 몇이에요 주축 길이는 주축끼리는 요점부터 요점까지의 길이니까 우리가 10이라고 구할 수가 있습니다 여기가 지금 6이고 여기가 -6이고 우리가 주축 길이를 그럼 12라고 구할 수가 있는 거예요 자 정계선의 방정식은 y는 플러스 마이너스 a분의 bx 꼴로 구할 수가 있고요 우리가 a값 B 값 계산해주면 지금 y는 플러스 마이너스 8분의 6이었습니다 따라서 하나는 4분의 3X 다른 하나는 -4x입니다 그래서 점근선 그래프를 뭐 그리면요런 그래프가 되겠네요 이렇게 만나지는 않는데 가까워지는 이런 접근성 그래프까지 그려주면 됩니다 여기까지 됐나요 자 넘어가겠습니다 자 이번엔 쌍곡선의 평행 이동인데요 자 우리가 앞에서 배운이 쌍곡선의 그래프를 우리 쌍곡선의 그래프를 x축의 방향으로 n만큼 y축의 방향으로 n만큼 평행 이동을 시키는 거예요 자 그러면 x자리에 뭐가 들어오겠어요 x 자리에 x-m이 들어오겠죠 x - m을 넌 꼴이 되고요 y자리에는 y2골은 n만큼 평행 이동시켰으니까 y - n이 들어가는 겁니다 이렇게 자 그러면 우리가 이거에 초점자 표꼭지점좌표 중심 좌표 접는 선의 방정식 어떻게 되겠어요 똑같이 평행 이동되는 겁니다 자 원래 원래 우리요 방정식의요방정식의 초점 좌표가요 초점좌표가 C 콤마 0의 마이너스 C 콤마 0 이었구요 우리가 이거를 a와 b에 관해서 표현을 해주면 루트 a² + b² 콤마 0하고 - 루트 a² + b 제곱 콤마 0이라고 표현을 할 수가 있습니다 요거를 그대로 평행이동시키는 거예요 그러면 x축으로 n만큼 y 축으로 n만큼 그만큼 더해주면 되겠죠 그래서 요런 초점좌표가 되는 거고요 자 꼭짓점은 원래 몇 콤마 몇이었어요 꼭짓점 좌표는 원래 a 0하고 -a였죠 자 중심 좌표는 원래 0이었습니다 그런데 얘네들도 그대로 평행 이동만 시켜주면 되는 거예요 자 됐죠 자 점근선의 방정식은 원래 뭐였어요 y는 플러스 마이너스 a분의 bx였죠 이것도 그대로x축으로 n만큼 y축으로 n만큼 평의 이동시키면 됩니다 그래서 우리가 요렇게 변형된 꼴에 그래프를 그릴 때는 원래 그래프에서 얼마나 평행 이동시켰는지만 찾아주면 우리가 기존에 구하는 방식과 똑같이 구할 수가 있어요 자 넘어가서요 우리가 두 번째 초점이 y축 위에 있는 경우에도 똑같이 계산을 한번 해 볼 거고요 자 평행 이동되기 전에 a^2 - b² = -1이라는 그래프에서요 초점은 0 루트 a 제곱 플러스 b 제곱 콤마 0 -루트 a² + b^2이고요 자 꼭짓점 좌표는 우리가 0이 0 -b라고 구할 수 있습니다 자 중심좌표는 몇 콤마 몇이에요 0이고요 우리가점근선의 방정식까지 구해줘야겠죠 점근선의 방정식 y는 플러스 마이너스 2분의 bx입니다 자 얘를 그대로 평행 이동하는 거예요 자 초점을 x축으로 n만큼 y축으로 n만큼 평의 이동시키면 그대로 더해주면 되죠 여기 보면 그대로 m을 더하고 그대로 n을 더하는 거예요 매물도 하고 n을 더 하고 꼭짓점도 똑같이 m도 하고 엔도하고 [음악] n m n 자 중심은 원래 0이었으니까 m n이 되겠죠 자 점근선의 방정식은 우리가 x자리 x-m 넣고 뒤에다 n을 더해주면 평행 이동이 된 거죠 자 이렇게 우리가 평행 이동한 쌍곡선까지 구할 수가 있습니다 자 마지막 내용을 보면요 초점자표 꼭짓점 좌표 중심좌표 점근선의 방정식은 변해요 좌표는 변하는데 규칙의 길이는 변하지 않습니다 그래프 개형이 변하지 않기 때문에죽축의 길이도 그대로 평행 이동돼서 변화하지 않습니다 자 여기까지 됐나요 자 넘어가서 우리가이 개념인지 한번 풀어보도록 하겠습니다 자 우리가이 쌍곡선에요 쌍곡선의 초점자표 꼭짓점 좌표 중심좌표 점근선의 방정식을 구하는 문제인데요 자 일단 얘가 어떤 쌍곡선을 평행 이동시켰는지 봐야 됩니다 자 5분의 x제곱 - 4분의 y 제곱은 -1이라는 그래프를 평행 이동시킨 거고요 어떻게 평행 이동시켰어요 x축으로 1만큼 평행 이동시키고 y축으로는 이만큼 평이 이동을 시켰죠 자 요거를 가지고요 우리가 초점 꼭짓점 중심 점근선을 찾아 줄 건데 일단요 쌍곡선에 초점 만점 찾도록 하겠습니다 지금 요거는 초점이 y축 위에 있으니까 0 콤마 c0 - c라고 할 거고요 c의 값을 찾기 위해서 우리가 cd곱은 5 + 4로 c값을 구해주면 플러스 마이너스 3이죠 즉 초점을 좌표는 0 콤마 3 0 - 3입니다 자 꼭짓점 좌표는요 우리가 y축 위에 있으니까 x에다가 0을 대입을 해주면 되고요 0을 대입하면 4분의 y 제곱은 1이니까 y는 플러스 마이너스 2입니다 즉 0 -2죠 자 중심 좌표 몇 콤마 몇인가요 0이죠 자 점근선은 뭐예요 점근선은 y는 플러스 마이너스 a분의 bx니까 우리가 플러스 마이너스 루트 5분의 2x라고 구할 수가 있습니다 자 유리화까지 하도록 하도록 하겠습니다 5분의 2루트 5x예요자 이거를 가지고 우리가 평행 이동을 시켜서 각 좌표와 접근선의 방정식까지 구해 보도록 할게요 자 지금 x축으로 1만큼 y 축으로 이만큼 평이 이동을 시킨 겁니다 그러면 초점자 표는 몇 콤마 몇이 돼요 원래 0 콤마 3의 0 콤마 -3이었는데 x 축으로 1만큼 가면 그대로 더해주는 겁니다 y축으로 이만큼 갔으니까 그대로 더해서 5가 되고요 자 다른 한 점은 1 -1이 되겠죠 자 꼭짓점 좌표도 마찬가지로 우리가 e라고 2를 각각 더해주면 되고요 1 4 1 0이라고 구할 수가 있습니다 자 중심 원래 0이었는데 0 몇 대요 1 2 되죠 자 점근선의 방정식은 우리가 도형의 이동이기 때문에 y는 플러스 마이너스 5분의 2√5에다가 x-1 + 2라고 써주면 되겠죠 x축으로 1만큼 y축으로 이만큼 평행이동을 시킨 겁니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 쌍곡선까지 모두 학습을 마쳤고요 우리가 2차 곡선이 모두 끝났어요 일단은 그런데 뒤에 이제 2차 곡선과 직선 사이의 관계를 나가면서 우리가 이차곡선 내용을 계속 다루기 때문에 포물선과 타원과 쌍곡선이 헷갈리지 않도록 꼭 복습하고 다음 단원 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 고생 많으셨습니다 감사합니다 [음악]