[수학대왕] 기하 개념강의 : 이차곡선 - 이차곡선과 직선의 위치 관계

수학대왕 [음악] 자 오늘한 스팟 내용은 2차곡선과 직선의 위치 관계입니다 자 우리가 2차곡선을 3개 배웠어요 포물선 배웠구요 사원 배웠고 쌍곡선 배웠습니다 우리가이 2차곡선들을 우리가 식 하나로 표현하는 방법이 있어요 자 우리가 포물선을 나타내는 식은 y 제곱은 4px 구요 요거는 타원을 나타내는 시기고 요거는 쌍곡선을 나타내는 시기인데 우리가 이거를 성의 이동도 하면 2차항뿐만 아니라 1차 항도 생기게 되겠죠 그런거를 고려하였을 때 ax² + by제곱 플러스 cx+dy e는 0이다라 그러면 우리는 어떤 2차 곡선 중 하나로 표현을 할 수가 있는 겁니다 자 얘가 2차곡선을 나타내는 일반적인 시기에요자요 2차 곡선과 y는 MX + n이라는 직선의 방정식의 교점 개수인데요 자이 교점 개수는 우리가 방정식에서 서로 다른 실근 개수와 똑같다고 배웠습니다 그래서 여기에 있는이 와인은 mx+n이라는 직선의 방정식을요이 y를 여기에 있는 2차곡선에 있는 y에다가 대입을 해주는 거예요 자 그러면 이렇게 뭐가 나와요 x에 관한 2차 방정식이 나오게 되죠 그러면이 2차 방정식의 근 개수가 서로 다른 실근 개수가 바로 교점 개수와 같아지는 겁니다 그러면 우리가 실근 개수를 파악하려면 뭐를 쓸 수 있어요 2차방정식의 실근 개수는 바로 판별식 d를 활용을 하면 되죠 그래서 우리가이 2차 곡선과 직선의 위치 관계를 파악할 때는요우선이 직선의 방정식을 여기에 있는이 2차곡선의 대입을 해줘야 됩니다 이렇게 대입을 해서 나오니 2차 방정식에서이 판별식을 써서 우리가 교점 개수를 파악할 수 있는 거예요 만약에 판별식이 0보다 크면요 실근이 2개니까 서로 다른 실근이 두 개니까 교점 두개고요 판별식 d가 0이면 우리가 중근을 갖기 때문에 교점 한계를 갖습니다 이거를 우리가 접한다라고도 표현할 수 있고요 반별식 d가 0보다 작으면 만나지 않습니다 시그니 존재하지 않기 때문에 교점이 없는 거예요 자 그래서 우리가 그림으로 보면 요렇게 된 포물선에서 우리가 직선의 방정식이 이렇게 되면 교점이 두 개 있는 거고요 그런 경우에 판별식 d가 0보다 큽니다 이렇게 지나는 건 반메시티가 0인 거고 교점이 하나인 거예요 이렇게 된 거는 교점이 없고요 그런 경우에 판매시티가0보다 작습니다 자 여기 타원이 있고요 타원도 마찬가지로 직선의 방정식을 이렇게 옮겨서 교점 개수를 파악해주면 이렇게 있을 때는 교점이 두 개예요 그런 경우에 판매가 0보다 크고요 이렇게 치듯이 날 때는 교점이 하나라 판매시티가 0이고 이렇게 지날 때는 교점이 없으니까 덤벨 시티가 0보다 작죠 자 쌍곡선도 마찬가지입니다 이렇게 생긴 쌍곡선에서 지금 판별식 뒤에 따라서 우리가 교점 개수가 달라지고요 이렇게 뒤가 양수면 교점 2개 이렇게 치듯이 만나면 득점 한개 즉 판별식 d가 0이고요 이렇게 아무데서도 안 만날 때는 0보다 작은 거를 우리가 확인을 할 수가 있습니다 자 마지막에 우리가요 방정식에서 방정식에서 이차항이 사라지면 당연히 판별식 d를 쓸 수 없겠죠 우리가 그런 경우에는 그래프를 그려서 따로고려를 해줘야 됩니다 자 넘어가겠습니다 자 기념비즈 보도록 할 건데요 y 제곱은 4x하고 y=x+k의 위치 관계가 다음과 같도록 하는 실수 k의 값 또는 범위를 구하는 문제입니다 자 그러면 우리는 지금 위치 관계 즉 교점 개수를 파악을 해줘야 되고요 교점 개수를 파악하기 위해서는 서로 다른 실근 개수를 파악해 줘야 됩니다 자 실근 개수를 파악하기 위해서 y는 ax+k라는 직선의 방정식을 여기다가 대입을 해 줄 거고요 대입을 해주면 x+k의 제곱은 4x예요 자 이거는 x에 관한 내림차순으로 정리를 해주면 2k-4의 x + k 제곱은 0이고요 자 판별식 d를 먼저 그냥 써볼게요 자 4분의 뒤짝수 공식을 쓸 거고요 자 2K - 4를 반으로 나눈 k-2^2- K 제곱을 계산해주면 됩니다 자 -4k + 4구요 자 -4k + 4가 양수면 어떻게 되겠어요 실근이 두 개죠 서로 다른 실근이 두 개입니다 즉 교점이 두 개인 거예요 그러니까 1번에서 물어보는 서로 다른 두 점에서 만난다가 바로 반별식 d가 0보다 큰 경우구요 - 4K + 4가 양수인 거니까 k는 1보다 작다라고 우리가 범위를 구할 수가 있습니다 자 2번은요 교점이 하나라 그랬구요 교점이 한 개면 우리가 실근 즉 중근을 갖습니다 중근을 가져요 그러면 판별식 d가 0인 경우구요 -4k 플러스 4가 0인 경우니까 우리가 k는 1이라고 구할 수가 있습니다 자 마지막 3번은 만나지 않는 거고요 교점이 없으니까 실근이0개예요 그러면 판별식 d가 -4k + 4로 계산이 됐는데이 값이 음수여야 되겠죠 따라서 k값의 범위는 1보다 크다 이렇게 나옵니다 여기까지 됐나요 넘어가겠습니다 자 두 번째 개념이 되고요 쌍곡선이 주어져 있고요 쌍곡선과 직선 y는 mx+1이 한 점에서 만나도록 하는 실수 m의 개수를 구하래요 자 한 점에서 만난다 그랬어요 자 한 점에서 만나면 우리가 일단은 y는 mx+1에서이 y를 여기다가 대입을 해줍니다 그러면 x의 제곱 마이너스 mx+1의 제곱은 1이고요 이거를 x에 관한 내림차순으로 정리를 해주면 1-m²의 x 제곱 마이너스 2의 x -2는 0이라고 정리가 되죠 자 한 점에서 만난대요 한 점에서 만난다는 거는판별식 d가 어떻게 돼요 0이 돼야 되죠 즉 중근 갖는 경우입니다 중근 갖는 경우 그래서 판별식 d를 4분의 d로 계산을 해주면 [음악] m²-2의 1 - m제곱이고요 우리가 요거를 2-m제곱으로 계산할 수 있습니다 얘가 0이 되는 경우를 찾는 거고요 m값은 플러스 마이너스 루트 2라고 나옵니다 따라서 실수 m의 개수는 두 개죠 우리가 이렇게 매매 값도 직접 구할 수도 있고요 개수로 이런 식으로 파악을 할 수도 있습니다 자 여기까지 해서요 우리가 2차 곡선과 직선의 위치 관계에서 배워야 될 내용은 배웠습니다 자 그런데 우리가 요거를 가지고 다음 시간부터 이제 보물선은 포물선에 대해서 더 자세하게 배울 거고요 타워는 타원대로 쌍곡선은 쌍곡선대로 좀 더 자세하게 배워보도록 할테니 우리가 오늘 배운 내용 꼭 숙지하고 다음 강의 이어서 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록하겠습니다 감사합니다 [음악]