[수학대왕] 기하 개념강의 : 이차곡선 - 포물선의 접선의 방정식

수학대왕 [음악] 자 이번 시간은 학습할래용은 포물선의 접선의 방정식입니다 자 일단요 우리가 여러가지 상황에서 보물선에 접선의 방정식 구하는 방법을 배울 거고요 그중 첫 번째로 기울기가 m인 접선의 방정식을 구하는 방법을 배워보도록 하겠습니다 자 이렇게 y는 MX + 1/n라고 나와 있는데요 우리가 요게 어떻게 나왔는지 한번 보도록 할게요 자 우리가 직선의 방정식을 기울기가 m이니까 y는 mx라고 쓸 거고요 y절편을 모르니까 k라고 잡겠습니다 그렇게 해서이 k가 어떻게 표현되는지를 보도록 할 거예요 자 얘가 지금 y 제곱은 4px에 접선이니까이 y는 mx+k를 여기다가테이블 할 거예요 그러면 mx+k의 제곱은 MX + k의 제곱은 4px 구요 x에 관해 내림차순으로 정리를 해주면 emk-4b의 x + k 제곱은 0으로 정리가 됩니다 자 우리가 지금 접선의 방정식이기 때문에 교점은 안개고요 우리가 판별시키는 0이다를 활용해서 한번 키를 구해 보도록 할게요 자 d는 0인데요 우리가 지금 x의 계수인 emk - 4p가 2로 묶이죠 mk-ep로 표현이 됩니다 그래서 4분의 뒤로 계산을 해주면 mk-ep의 제곱 마이너스 m제곱 K 제곱이에요 자 전개를 싹 해주면요 m 제곱 k 제곱마이너스 4mkp 그러면 m²는 우리가 -4mkp + 4P 제곱은 0이라고만 남습니다 자 여기서요 우리가 4p로 양변을 나눠주면 p-mk는 0이고 J 값을 1/n라고 정리를 할 수가 있습니다 따라서 우리가 요거를 어떻게 표현을 할 수가 있어요 y는 MX + n분의 p라고 정리를 할 수가 있습니다 자 그래서 우리가 기울기가 m인 접선의 방정식은 mx+1/n로 우리가 접선을 구해주도록 할 거예요 자 밑에 두 가지 볼 건데요 한 포물선에 대하여 기울기가 주어진 접선은 1개 존재한다 그랬어요 자 우리가 포물선을이렇게 그려놓으면요 이렇게 그려놨을 때 접선이 기울기가 하나면 접선이 딱 하나입니다 우리가 요렇게 여기 접선을 그을 수가 있는데 이렇게 오면서 접선의 기울기가 지금 증가하고 있어요 점점 커지죠 자 이리로 가면 점점 작아집니다 자 그리고 여기서 다시 음수중 제일 큰 애가 있고 다시 점점 0에 가까워지죠 우리가 기울기가 하나일 때 접선을 딱 하나 생기는 거예요 어떤 겹치는게 하나도 없죠 기울기가 겹치는 접선이 없습니다 자 그리고 두 번째인데요 우리가 y 제곱은 4px라는 포물선의 접하고 기울기가 0인 접선은 존재하지 않는다라고 적혀 있어요 우리가 기울기가 0이라는 것은 이렇게 접선이 이렇게 생겨야 되는데 기울기가 이렇게 된 접선은 우리 포물선에서 존재하지 않습니다 여기 아무리 끝까지 가도 기울기가 0이 되지는 않아요 자 여기까지 됐나요넘어가도록 하겠습니다 자 포물선 y 제곱은 -8px에 접하고 기울기가 2인 직선의 방정식 구하는 건데 자 앞에서 y는 MX + n분의 p로 구할 수 있다고 했고요 y 제곱은 - 8x면 p값이 뭐예요 b값이 마이너스이고 지금 기울기가 2인 직선의 방정식이니까 우리가 피해자는 마이너스 2를 넣고 m에다가 2를 넣어서 y는 2x - 1이라고 계산을 할 수가 있습니다 자 우리가 쉽게 구할 수가 있죠 넘어가겠습니다 자 이번엔 포물선 위에 점에서의 접선의 방정식이에요 자 우리가 포물선이 이렇게 생겼으면요 포물선 위에 어떤 점에 대해서 자이 점이 주어졌을 때 접선의 방정식 구하는 것을 우리가 할 거예요 자 이렇게 생긴 접선의 방정식 구하는 걸 할 건데이점을 우리가 접하는 점이니까 접점이라고 하죠 요거를 접점이라고 하는데 그 접점을 p라고 하고 X1 콤마 y1이라고 하겠습니다 자 어떤 포물선 y 제곱은 4px 위에 점 b의 X1 콤마 y1에 대해서 자 접선의 방정식은 우리가 어떻게 구하냐 y1 y는 2p의 x+x1입니다 자 우리가 요거는요 앞에서와 같이 판별식 기능 0이다를 사용해서 유도를 해주면 되는데 우리가이 과정은 따로 하지는 않겠습니다 우리가 내용이 많이 복잡하기 때문에 굳이 자세하게 알 필요는 없어요 자 우리가 그러면이 접선의 방정식이라는 요런 식을 알기만 하면 되는 거예요 y1 y는 x+x1 자 y² 자리에다가 y1 y를 넣는 거구요 x 자리에 1/2x+x1을 넣는 거죠 그래서 요거를 이렇게 바꿔 줄 수가 있는 겁니다 자 여기서중요한 건요 여기 지금 접점일 때입니다 접점일 때 그냥 여기에 있는 점이면 안 돼요 접점일 때만이 공식을 쓸 수 있습니다 자 이번 내용 보면요 보물선 x 제곱은 4py에 관한 식에서 점의 X1 콤마 y1 위에서의 접선의 방정식은 x1x는 2p의 y + y1으로 구한다라고 적혀 있죠 자 위에 있는 시가고 유사하게 생겼습니다 우리가 y랑 x랑 자리만 바뀐 것이죠 여기는 x제곱 자리에 x1x를 넣는 거고요 y자리에 2분의 1 y + y1을 넣어주면 됩니다 자 그러면 이거를 한번 활용해서 접선의 방정식을 구해 보도록 할게요 자 x제곱은 12y 위에 점 6 3에서의 접선의 방정식을 구하라고 했고요 우리가 65에서 점 X1 콤마 y1에서접선의 방정식은 X1 x + X1 x는 2p의 y + y1으로 구할 수 있다고 했어요 이때요 x1하고 y1은 접점이죠 자이 문제는요 지금 x 제곱은 12y라는 포물선 위에서 6 3에서의 접선의 방정식을 구하는 겁니다 자 그럼 적선의 방정식이 어떻게 되겠어요 x1에는 6을 넣고 X1 x는 자이 p인데요 피가 지금 3입니다 그래서 여기다가 3을 집어넣고요 그리고 y + y1 자리에 3을 이렇게 집어 넣어 주면 되겠죠 그러면 우리가 요거를 ux는 이게 Y + 3으로 정리할 수가 있고요 양변을 6으로 나누고 y에 관해서 정리하면 y는 x - 3이라는 접선의 방정식을 얻어낼 수가 있습니다자 이렇게 하면 어렵지 않죠 어렵지 않습니다 자 넘어가겠습니다 자 보물섬 받기 점에서 포물선에 그 접선의 방정식인데요 여기서 제일 중요한 것은 우리가이 포물선 밖에 점이라는 거죠 바로 접점을 얘기하는게 아닙니다 우리가 2번과 3번의 차이를 명확하게 알아야 돼요 자 접점이 아니고요 보물섬 밖에 한 점에서 그 접선의 방정식입니다 자 우리가이 접선의 방정식을 3가지로 구할 건데 자 첫 번째는요 포물선 위에 접점을 우리가 문자로 잡는 거예요 접점을 문자로 잡아서 자 예를 들어 y 제곱은 4px였으면 우리는이 y 제곱은 4px고이 포물선 위에 점이 X1 콤마 y1이면 접선의 방정식을 y1 y는 2p의 x + x1이라고 놓을 수가 있죠 이렇게 접선의 방정식을 세워서 우리가이 포물선 받게 한 점을대입해서 대입을 하여 우리가이 접점을 구하는 방식입니다 접점을 문자로 잡고 푸는 방법 첫 번째 방법이고요 두 번째 방법은요 기울기를 문자로 잡는 거예요 접선의 기울기를 m이라고 문자로 잡아서 우리가이 기울기m을 구하는 방법이에요 자 물론 기울기가 주어질 수도 있고 안 주어질 수도 있습니다 여기 지금 기울기가 주어진 접선의 방정식을 이용하는 방법이라 그랬는데 여기는 단지 공식을 얘기하는 거예요 우리가 기울기가 m 인접선의 방정식은 y는 MX + n분의 p라고 했어요 우리가 여기서 이렇게 식을 세워 놓고 접선을 구하는 방법이 있습니다 자 마지막 세 번째 방법은요 판별식을 이용하는 방법이고요 자 판별식을 이용하는 방법은 우리가이 직선의 방정식을 문자로 잡습니다 기울기를 m이라고 잡고 우리가 전필을 대입해서 직선의 방정식을 세워요 그리고 이거를보물선이랑 포물선을 나타내는 식이랑 연립을 해서 우리가 판별식이 0이다를 이용하면 우리가 직선의 방정식 접선의 방정식을 구할 수가 있습니다 자 이렇게 세 가지 방법을 말씀드렸는데이 세 가지 방법을 활용해서 한번 개념 예제를 풀어보도록 하겠습니다 자 전 마이너스 2 -1에서 포물선 y 제곱은 4x의 근 두 접선의 기울기의 곱을 구하는 문제구요 자 우리가 여러가지 방법으로 풀어볼 거구요 첫 번째 방법은 접점을 문자로 잡아서 활용을 하는 겁니다 자 제가 그 접점을요 a b라고 넣겠습니다 자 접점에 a 콤마 b라고 놓으면 접점이 a 콤마 b일 때 접선의 방정식은 by의 2의 x+a라고 나타낼 수가 있고요 지금 요렇게 나타내져 있을 때이 접선이 -2를지나죠 따라서 -b는 2의 a - 2입니다 자 그리고 접점은 우리가이 직선 위에 있기도 하지만요 포물선 위에도 있기 때문에 포물선의 대입을 해주면 B 제곱은 4a라고 우리가 나타낼 수가 있어요 그래서 요식을 여기다가 대입을 해주면요 우리가 4 a -2의 제곱은 4a라고 나타낼 수가 있고요 양변살을 약분하고 a에 관해서 내림차선으로 정리를 해주면 a² - 5a+4는 0입니다 자 이때 a는 1이 나오고 4가 나오죠 자 그때 우리가 각각 B 값도 구해주면 b는 우리가 여기다가 대입을 하면요 우리가 b는 2랑 요거는 -4 이렇게 b값을 구할 수가 있습니다 자 그러면 a가 1이고 b가 2일 때 a가 1이고b가 2일 때에 접선의 방정식은 y는 y는 x + 1이라고 구할 수 있고요 이번엔 a가 4고 b가 - 4일 때는 우리가 접선의 방정식을 구해주면 y는 - 2분의 1의 x+4라고 구할 수가 있습니다 마이너스 2분의 1 x-2가 나오겠네요 자 그러면 두 기울기의 곱은 1과 -2분의 1을 곱해서 -2분의 1입니다 자 우리가 이렇게 접점을 가지고 구할 수가 있고요 두 번째 방법은요 우리가 기울기를 문자로 놓는 겁니다 자 기울기를 m이라고 하면 기울기를 m이라고 하면 우리가 y는 MX + n 분의 p 꼴이 기울기가 m인 접선의 방정식이에요 그런데 지금 p 값이 1이기 때문에우리는이 접선의 방정식을 mx+ n분의 1이라고 할 수 있고요이 접선의 방정식이 -2를 지나기 때문에 요거를 대입을 해주면 -1은 -2m + 1/n입니다 양변의 m을 곱하고요 이렇게 m을 곱하고 m에 관해서 내림차순으로 정리를 해주면 우리가 요렇게 매관한 방정식을 얻어낼 수가 있어요 자 요거를 인수분해해주면요 우리가 n - 1과 2n+1로 인수분해가 되고요 2n+1은 0 그러면 우리는 m 값을 1과 - 2분의 1이라고 구할 수 있습니다 따라서 두 기울기를 곱해주면 - 1/2이라고 우리가 답 될 수가 있겠죠 자 세 번째 프리로 풀어볼 거고요 자 세 번째 풀이는 우리가 뭘 활용할 거냐 바로 판별식 d는 0이다이 식을활용을 할 겁니다 자 우리가 -2를 지나는 직선의 방정식을 y는 m의 x+2 - 1이라고 쓸 수가 있고요 얘랑 y 제곱은 4xy 교점 개수가 몇 개예요 교점 개수 한 개죠 자 교점 개수가 한 개면 우리가 이걸로 연립했을 때 애매 x + 2 - 1의 제곱은 4x라고 쓸 수 있는데 이렇게 쓴식이 지금 2차 방정식이에요 전기화면 이타방정식이 나오는데 교점이 한계라는 것은 서로 다른 실근 개수가 한 개라는 겁니다 그러면 우리가 판별식 d는 0이 나와야 되고요 그거를 활용해서 m 값을 구해 보도록 하겠습니다 자 요거를 전개를 해주면요 mx+2n-1에 mx+2n-1의 제곱은 4x고요 전개를 해주면 m제곱 x² + 2m의em-1의 x + 2n-1의 제곱은 4x고요 x에 관해 내림차순으로 정리를 해주면 m² + 4m²-2의 마이너스 4의 x + m - 1의 제곱은 0이 됩니다 자 4분의 뒤로 우리가 판별식을 계산을 해 줄 거고요 자 em² - m - 2² - m제곱의 2n - 1의 제곱이 나오는데 얘가 0이 돼야겠죠 자 그러면 싹 전기를 해 주도록 하겠습니다 요 부분만 전개해 주면-4m^4 + 4m^3 -m²입니다 그러면 날라가고 우리가 여기도 날라가죠 그러면 요거를 m에 관한 내린 차선으로 내림차순으로 정리를 해주면 우리가 -8m² 그리고 4m 그리고 플러스 4요 값이 0입니다 자 -4로 양변을 나눠주면 EM 제곱 마이너스 m - 1은 0이고요 이거를 만족하는 m 값은 1 또는 - 2분의 1입니다 그러면 똑같이 곱하면 -1/2이라고 우리가 답을 구할 수가 있죠 자 여기까지 해서요 우리가 개념 예제 모두 마쳤고요 우리 마지막에 이렇게 세 가지 방법으로 다양하게 풀어봤는데 세 가지 방법 모두 연습하면서 우리 여기 단원 꼭 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]