[수학대왕] 기하 개념강의 : 이차곡선 - 타원의 접선의 방정식

수학대왕 [음악] 자 이번 시간은 핫스팟 내용은 타원에 접선의 방정식입니다 우리가 지난 시간에 포물선에 접선의 방정식을 구하는 방법을 좀 배워봤는데 오늘은 타원에서 접선의 방정식 구하는 방법을 좀 배워보도록 할게요 자 마찬가지로 똑같이 3가지 상황에 대해서 구해볼 거구요 첫 번째는 기울기가 주어진 경우입니다 자 기울기가 주어진 경우인데 자 우리가 어떤 타원이 있고요 기울기가 m인 접선의 방정식은 y는 MX +, - 루트 a² m² + B 제곱으로 우리가 구할 수가 있습니다 자 여기 지금 플러스 마이너스가 들어가 있는데 자 타원이 만약에 이렇게 있어요 다원이 이렇게 있는데 기울기가 m인 직선이접선이 되는데 요렇게 기울기가 m인 직선 하나 있을 거고요 이렇게 아래쪽에도 똑같은 기울기가 m인데 접선이 방정식이 있을 겁니다 이렇게 어떤 기울기 m에 대해서 항상 접선의 방정식이 두 개 생기는 거예요 그래서 그 내용이 한 타원에 대하여 기울기가 같은 접선의 개수는 2다라고 나와 있는 거고요 자 우리가요 공식을 유도하려면요 y는 mx+k라고 놓고요 우리가이 K 값을 구해주면 되는데 요거를 a 제곱 분의 x 제곱 플러스 b^2 y 제곱은 1이라는 타원에다가 테이블 해 줘요 요 아이를 여기다가 대입을 하는 겁니다 그러면 a^2 + b² mx+k의 제곱이 되겠죠 요거는 1이 되는데 요거를 전개하면 2차 방정식이 나올 거예요 2차 방정식이 나올 건데 그2차 방정식에서 판별식 기는 0이다를 활용하면 K 값을 구할 수가 있습니다 그렇게 해서 나온게 플러스 마이너스 루트 a² m² + B 제곱인 거예요 자이 과정을 복잡하기 때문에 우리가 따로 확인을 하지 않을 거고요 개인적으로 한번 직접 해보시기 바랍니다 자 그러면 우리는요 공식을 활용하는 것을 준 연습을 해보도록 할게요 자 그럼 개념 예제 한번 보도록 할게요 타원이 이렇게 주어져 있고요 다원의 접하고 기울기가 -1인 직선의 방정식 구하는 겁니다 자 접하는 거니까 접선의 방정식 찾는 거고요 우리가 앞에서 배운 공식 한번 쓰고 갈게요 a² + b² = 1이 타원에서 기울기가 기울기가 m이 접선의 방정식은요 y는 MX 플러스 마이너스 루트 a 제곱 m² + B 제곱으로 우리가 찾아낼 수가 있습니다이 문제에서a²은 5구요 B 제곱은 4고 기울기 m은 마이너스 1이기 때문에 우리는이 접선의 방정식을 -x + - 루트 5 곱하기 1 + 4 즉 -x + - 3으로 우리가 구할 수가 있습니다 자 직선의 방정식 하나는 -x + 3이고요 다른 하나는 -x -3으로 우리가 구해주면 됩니다 자 왜 두 개가 나왔을까요 우리가 좌표평면상이 자원을 그려 줄 건데 지금 여기가 a 제곱이 5기 때문에 여기는 루트 5 여기는 마이너스 루트 b² 하기 때문에 여기는 2 여기는 -2구요 이거대로 타원을 요렇게 그릴 수가 있습니다 자 그랬을 때 - x+3 y는 마이너스 x + 3은 우리가 요렇게 생긴 요렇게 생긴 접선을 말하는 거고요 -x-3은 요렇게 생긴접선을 말하는 겁니다 이렇게 해서 두 개의 존재할 수 있겠죠 자 그러면 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 타원 위에 점 즉 접점을 말하는 거죠 어떤 접점에서 접선의 방정식 구하는 방법을 배울 거고요 자 p의 X1 콤마 y1이라는요 점에서 접선의 방정식은 x제곱 자리에 x1x를 집어넣고요 y 제곱 자리에 y1 y를 집어넣을 겁니다 그렇게 하면 요런 접선의 방정식이 나오게 되는 거예요 자 여기서 마찬가지로 우리가 공식을 따로 유도하진 않을 거고요 공식을 활용하는 것을 초점을 맞춰서 한번 공부를 해보도록 할게요 자 개념 예제를 한번 바로 풀어보도록 할 거고요 우리가 어떤 a 제곱 분의 x 제곱 플러스 b²은 1이라는 타원에서 접점이 접점이 X1 콤마 y1이면우리가 접선의 방정식을 a 제곱 분의 x1x 자 x 제곱을 이렇게 바꿔주는 겁니다 x1x로 자 그리고 플러스 b² y1 y 요게 이렇게 바뀌었죠 y 제곱 이렇게 바뀌었습니다 요거는 1 자 이렇게 접선의 방정식을 구할 수 있고요 자 우리가 지금 1 2가 1가 타원 위에 점이고 그 점에서의 접선을 방정식이니까 요거를 x제곱을 뭐라고 바꾸면 되겠어요 2분의 1x + y 제곱은 2y로 바꾸면 되죠 자 이렇게 약분하면요 1/2x+ 4분의 1 y는 1로 계산이 되고요 y는 -2x + 4라고 우리가 접선의 방정식을 찾아낼 수가 있습니다 자 여기까지 됐죠 자 넘어가겠습니다 자 이번엔 타원 박계점에서타원이 근 접선의 방정식 구하는 방법인데요 우리가 세 가지 방법이 있습니다 자 세 가지 방법이 있고요 하나씩 보도록 할게요 자 1번은 타원 위에 점에서 접선의 방정식을 이용하는 방법입니다 우리가 타원 위에 점에서 만들어지는 접선의 방정식이 있을 때 그 타원 위에 점을 접점이라고 하죠 그래서 그 접점이 좌표를 X1 콤마 y1이라고 잡으면 우리는이 접점을 두 가지로 활용을 할 수가 있어요 자 접점이 타원 위에 있기 때문에 첫 번째로 타원의 방정식의 대입을 할 수가 있습니다 자 그리고 두 번째로 우리가 접점을 알고 있을 때 접선의 방정식을 구하는 공식이 있죠 a² x + b^2 y1 y는 1이라는 접선의 방정식을 식으로 세워서 우리는 접점을 구할 수가 있습니다 자 그리고 우리가 타원 타원 밖에 한 점도 알고 있기 때문에 그 점 p를요 접선의방정식이도 대입할 수 있겠죠 자 이런 구조로 우리가 접선의 방정식을 찾을 수 있습니다 자 두 번째는요 기울기가 주어진 경우인데요 자 그런 기울기를 m이라고 했을 때 기울기가 m 인접선의 방정식을 우리는 y는 MX + - 루트 a² m² + B 제곱으로 쓸 수가 있습니다 여기다가 점필을 대입해주면 되겠죠 점 b를 대입해서 기울기 m을 찾아주는 겁니다 자 마지막 세 번째 방법은 판별식을 이용하는 방법이고요 점 p를 지나는 점피를 지나는 직선의 방정식을 기울기 m을 문자로 잡고 세웁니다 그렇게 한 다음에 타원과 연립을 하면 2차 방정식이 나오고요 그 2차 방정식의 근이 몇 개예요 우리가 서로 다른 세금계수가 한계가 나와야 돼요 접선이기 때문에 교점이 하나고 서로 다른 실근 개수가 1개예요 그렇기 때문에 우리가 판별시 d는 0이다를 활용하면 우리가 접선의 방정식을 찾아낼 수가 있습니다 자우리가 그러면 넘어가서 한번 보도록 할게요 자 그럼이 콤마 0에서 타원액은 접선의 방정식을 구하는 문제구요 자 첫 번째 접점을 문자로 잡아서 한번 풀어보도록 하겠습니다 자 접점을 저는 a 콤마 b라고 할게요 우리가 X1 콤마 y1이라고 공식을 배웠는데 a라고 놓고 우리가 헷갈릴 수 있으니까 우리가 접점을 a 콤마 b라고 놓고 문제를 풀도록 하겠습니다 자 접점이이 콤마 b인 접선의 방정식은요 2분의 ax + 32분의 by는 1이죠 자 그런데 지금 얘가 몇 콤마 몇을 지나요 2 0을 지나면 직선의 방정식이기도 하죠 그래서 2 0을 대입을 하면요 우리가 a는 1이다라고 구할 수가 있습니다 자 그리고 a b는 접점이기 때문에 타원 위에 있는 점이기도 해요 그래서타원의 방정식의 대입을 해주면 2분의 a 제곱 + 32분의 B 제곱은 1이다라고 나오고요 a에다 1을 대입하면요 2분의 1 플러스 32분의 B 제곱은 1이고요 32분의 B 제곱은 1/2이니까 2제곱은 16 그래서 b는 + - 4라고 나옵니다 따라서 우리가 찾는 직선의 방정식은 1/2x +, - 8분의 1 y는 1이에요 자 여기서 구한 겁니다 여기서 a값 B 값의 대입을 해 준 거예요 자 그러면 요거를 우리가 좀 y에 관해서 정리를 해주면 하나는 자 양변에 8을 곱하면 4x + - y는 8이고요 하나는 4x+y는 8 다른 하나는 4x-y는 8입니다 따라서 y는-4x + 8이라는 직선의 방정식과 y는 4x-8이라는 직선의 방정식 이렇게 두 개가 나오는 거죠 자 첫 번째 방법 우리가 접점을 문자로 잡아서 직선의 방정식 구해봤습니다 자 두 번째 방법은요 우리가 기울기를 문자로 놓는 거예요 기울기 m을 문자로 잡으면요 y는 mx+-루트 a² m² + B 제곱이 접선의 방정식이고 a 제곱이 2구역 B 제곱이 30이니까 우리 y는 mx+-루트 2m 제곱 플러스 32가 접선의 방정식입니다 얘가 지금 2 0을 지나는 거고요 2 0을 대입하면 2m + - 루트 EM 제곱 플러스 32는 0이에요 자 em을 우변으로 넘겨주면 플러스 마이너스 루트 2m²+ 32는 -2m이고요 우리가 양변을 제곱을 하면 플러스 마이너스가 사라지겠죠 자 제곱을 해주면 이엠제곱 플러스 32는 4m²입니다 m제곱에 관해 정리를 해주면 우리가 16이라고 구할 수가 있고요 m은 플러스 마이너스 4입니다 자 따라서 m이 4일 때는요 m이 4일 때는 y는 4x 요게 지금 - 루트 64여서 요게 8이 됩니다 -8 자 여기 왜 그러냐면 요 식에서요 우리가 지금 플러스 마이너스 루트 EM 제곱 플러스 32는 -2m이 됐는데 m이 지금 4면 m이 4면 요게 지금 음수가 나오죠근데 여기는 루트기 때문에 얘도 음수로 나와야 돼서 마이너스 루트 2m² +32로 나와야 되는 거예요 즉 기울기가 4일 때 요게 - 부호를 갖게 됩니다 따라서 이렇게 마이너스 8이 되는 거예요 우리가 m에다 4를 집어넣으면요 루트 부분이 발이 되죠 그래서 -8로 계산이 되는 겁니다 자 m이 - 4면요 에이미 마이너스 사면 y는 - 4x 요거 플러스 마이너스 루트 2m² + 32는 -2m 이번에는 m이 음수니까 얘가 지금 양수죠 그러면 좌변도 양수로 나와야 되고 플러스 루트 EM 제곱 + 32로 나와야 돼서 플러스 부호를 갖는 플러스 8이 됩니다 따라서 우리가 답을 요거랑 요거를 구할 수가 있죠 자 우리가 판별식을 이용하는 방법은요 좀 많이 복잡하기 때문에요 문제에서는따로 풀이를 하지 않을 거고요 한번 직접 노트에 세 번째 방법으로도 풀어보시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지고요 우리가 이제 포물선에이어서 타원까지 접선의 방정식 구하는 방법을 배웠습니다 왜 공식들이 지금 계속 나오고 있는데이 공식들을 모두 알고 있어야 됩니다 공식들을 알고 있어야 되니까 공식 외우면서 복습 꼼꼼하게 하시기 바랍니다 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]