[수학대왕] 기하 개념강의 : 이차곡선 - 쌍곡선의 접선의 방정식

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 학습할 내용은 쌍곡선의 접선의 방정식이구요 우리가 지난 시간까지 포물선에 접선의 방정식과 타원에 접선의 방정식을 배웠습니다 우리가 오늘이 쌍곡선의 접선의 방정식까지 해서 2차곡선을 마무리하도록 할게요 자 쌍곡선 a² 분의 x제곱 마이너스 b² 분의 y 제곱은 1이 있는데요 이거에 접하고 기울기가 m이 직선의 방정식을 이렇게 쓴대요 자 이거를 우리가 만약에 구하려면 어떻게 해야 되겠어요 우리가 지금 기울기가 예민 직선의 방정식을 우선식으로 세웁니다 와인은 mx+ k라고 놓구요 키 값을 구해주면 되겠죠 이때이 y를 여기에 있는 y의 테이블 하는 거예요 그러면 2차 방정식이 나오고 우리가 접선이기 때문에판별식 d는 0이다를 쓰면 우리가요 K 값을 구할 수가 있습니다 구할 수가 있고요 그렇게 해서 요런 접선의 방정식을 얻어낼 수가 있습니다 자 우리가 유도하는 과정은 생략하도록 할게요 자 그러면 우리가 지금이 접선의 방정식에서 루트 안이 a² - 제곱이 양수여야겠죠 루트 안에 들어가 있기 때문에 양수여야 됩니다 자 그런데 우리가 요거를 m제곱의 관해서 정리를 해주면 m제곱은 a 제곱 분의 b 제곱보다 크고요 즉 m이 a분의 b보다 크고 m이 - a분의 b보다 작을 때 접선이 존재하는 거예요 이때만 접선이 존재하는 겁니다 자 그러면 우리가 그래프를 좀 그려 볼 건데 자 백숙 이렇게 있고요 y축이 있고 쌍곡선을 이렇게 그리겠습니다 이렇게 자 그리고 우리 쌍곡선에는 뭐가있어요 점근선이 있죠 종근선을 이렇게 그려줄 거고 여기에도 요렇게 그려주도록 하겠습니다 여기에도 이렇게 그래프가 조금 이상하니까 다시 그리도록 할게요 이렇게 쌍곡선이 있습니다 자 그랬을 때요 지금 기울기가 a분의 b보다 크고 -a분의 b보다 작아야 접선이 존재한다고 했는데 여기 써 있는이 a분의 b와 - a분의 b의 의미가 뭐예요 바로 점근선의 기울기죠 즉 점근선의 기울기에 절대값보다 우리가 그릴 접선 기울기가 커야 접선이 존재한다고 하고 있어요 자 그러면 만약에 우리가 어떤 기울기가 있는데 a분의 b보다 작은접선을 한번 그려 볼게요 자 a분의 b보다 작은 접선을 그릴 건데 기울기가 a분의 b보다 작기 때문에 기울기는요 정도 될 거예요 자 그런데이 쌍극선이라는 애는이 점근선에 계속 가까워지는 얘기 때문에 요런 기울기를 가진 접선을 이쪽에 그릴 수가 없어요 계속 가까워지기 때문에 이렇게 이렇게 만나게 됩니다 우리가 점근선에 계속 가까워지기 때문에 그래서 우리는이 점근선의 기울기 a분의 b와 -a분의 b를 가지고요 범위를 만족하는요 범위를 만족하는 기울기에 대해서만 접선을 찾을 수가 있는 거예요 자 만약에 a분의 b보다 큰 접선이 이렇게 기울기가 이렇게 되는 접종의 그린다고 하면 여기에다 접선을 그릴 수 있죠요 점이 접점이고요 이쪽에도 하나 그릴 수 있습니다 자 이렇게이 범위를만족해야요 범위를 만족해야 접선을 우리가 그릴 수가 있는 거예요 자 그리고 우리가이 기울기가 접선의 기울기가이 점근선의 기울기하고 같으면 당연히이 경우에도 접선을 그릴 수가 없습니다 이렇게 되기 때문에 가까워지긴 하지만 만나지 않죠 우리가 어떤 접점을 만들어 낼 수가 없습니다 요것도 마찬가지구요 그래서 기울기가 a분의 b보다 크고 마이너스 a분의 b보다 작을 때만 접선을 그릴 수 있다 우리가 요거를 그래프를 그려가면서도 확인을 할 수가 있습니다 자 두 번째 볼 거구요 a² 분의 x 제곱 마이너스 b² = -1이라는 쌍곡선의 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은 y는 mx+b제곱 마이너스 a²으로 정리가 된대요 자 우리가 같은 방식으로 유식을 얻어낼 수가 있고요 여기 지금 루트 안에 b² - a 제곱 m²이 들어가 있으니까요게 양수여야 우리가 직선의 방정식이 성립한다라는 걸 확인할 수 있습니다 자 밑에 내용 두 개 볼 거고요 한쌍 곡선에 대하여 기울기가 같은 접선은 두 개이다라고 그랬어요 자 제가 아까요 기울기에 대해서 접선을 이렇게 하나 이렇게 하나 그었죠 이렇게 두 개 그릴 수 있고요 자 a² m² - b 제곱이 0인 경우 즉 m이 플러스 마이너스 a 분의 b면 우리가 점근선의 기울기와 같은 거구요 점근선의 기울기와 같으니까 어떤 접선을 만들어 낼 수가 없습니다 여기까지 됐나요 넘어가겠습니다 자 쌍곡선 4분의 x 제곱 마이너스 7분의 y 제곱은 1의 접하고 기울기가 2인 직선의 방정식을 구하는 문제고요 y는 mx+-루트 요게 지금 1이니까 a² - B 제곱으로 구할 수가 있겠네요 그러면 y는 2x+ - 루트 4 곱하기 4 - 7로 구해주면 되고요 2x + - 루트 9니까 2x+-3입니다 따라서 직선의 방정식은 하나는 ex+3 다른 하나는 2X - 3 이렇게 구할 수가 있어요 여기까지 됐나요 넘어가겠습니다 자 이번엔 한국선 위에 점에서의 접선의 방정식이고요 우리가 a² + X7 - b² 분의 y 제곱은 1이든 요게 -1이든 어떤 접점 우리 쌍곡선 위에 점입니다 접점에서의 접선의 방정식을 구할 때는요 x제곱 자리에 x1x를 집어넣고 y 제곱 자리인 y1 y를 집어넣을 거예요 그러면 여기 x제곱 자리에 X1 x가 이렇게 들어가고 y² 자리에 y1 y가 들어갑니다 그래서요 식으로 우리가 접선의 방정식을 구해 줄 거고요 자 -1인 경우도 똑같습니다x제곱 자리에 X1 x 집어넣는 거고 y 제곱 자리에 y1 y 집어넣어서 접선의 방정식 구해주면 됩니다 자 우리가 바로 개념 예제 풀어 보도록 할게요 y 제곱은 1 위에 점 -24의 접선의 방정식을 구하는 문제고요 자 어떻게 한다고요 X1 X - 3분의 y1 Y = 1이라고 구해주면 됩니다 그런데 접점도 우리가 알고 있어요 마이너스이고 3이죠 그래서 이거를 정리해주면 -2x - y는 1이고요 y는 -2x-1이라고 구할 수가 있습니다 자 여기까지 됐나요 넘어가겠습니다 자 이번엔 마지막으로 쌍곡선 바퀴 점에서 쌍곡선 밖개 점에서 쌍곡선의 그은 접선의 방정식이고요 우리가 세 가지 방법으로 구할 수가 있습니다 자 첫 번째 뭐예요접점의 좌표를 문자로 잡는 거 접점의 좌표를 문자로 잡아서 우리가 접선의 방정식을 구할 수 있고요 두 번째 방법은 기울기를 활용하는 겁니다 기울기를 활용하는 거예요 그러면 우리가 기울기가 주어졌을 때 y는 mx+-루트 a² m² - b 제곱이거나 y는 mx+-루트 b² - a²으로 우리가 접선을 구할 수 있다 그랬어요요 식을 활용해서 접선을 구할 수도 있고요 마지막은 연립을 해서 판별식을 이용하는 겁니다 자 근데 우리가 앞에서 보물성과 타원에서도 봤듯이 판별식을 이용하면식이 조금 복잡해지는 경우가 많아요 경우에 따라 판별식을 써야 되는 경우도 있으니까 우리 세 가지 모두 연습하시기 바랍니다 자 일단요 우리가 개념 예제는요 우리가 첫 번째 방법과 두 번째 방법으로 풀어 볼 건데요첫 번째 방법은 접점을 문자로 잡는 겁니다 자 접점을 제가 a 콤마 b라고 할게요 접점에 a b라고 하면 자요 쌍극선에 접하는 접선의 방정식은 ax - by는 1로 우리가 접선의 방정식을 구할 수가 있어요 공식을 써 준 겁니다 자 얘가 지금 1을 지나니까 a - 2b는 1이라는식이 성립을 하고요 자 그리고 접점 a 콤마 b니까 a² - B 제곱은 1이라는 식도 성립을 합니다 접점은요 쌍곡선 위에 있기 때문에 그대로 대입해서 요식을 얻어낸 거예요 자 두식을 연립을 해서 a값 b값을 찾아 줄 거고요 a는 2b + 1이고 데이브라면 2b+1의 제곱 마이너스 B 제곱은 1입니다 계산해주면 3 b² + 4b는 0이라고 나오고요b는 0이거나 b는 - 3분의 4가 나와요 자 b가 0인 경우 a 값 계산해주면 a는 1이구요 b가 - 3분의 4인 경우 a 값 계산을 해주면 - 3분의 5입니다 자 그러면 우리가 a 값 B 값 구했으니까 직선의 방정식을 대입해서 구해 보도록 할 거고요 a에다가 1을 넣고 b에다가 0을 넣으면 x는 1이라는 직선의 방정식이 나오고 자 b는 - 3분의 4를 넣고 a는 마이너스 3분의 5를 넣으면 -1/3x + 3분의 4y는 1이 나와요 자 3을 곱하고요 이렇게 되고 y에 관해서 정리를 해주면 우리가 4분의 5X + 4분의 3이라고 구할 수가 있습니다 자 그래서 접선의 방정식이 x는 1하고 y는 4분의 5X + 4분의 3으로 나온 거고요 자 요거를 그래프를 좀 그려서 표현을 해 줄 건데 자꼭짓점의 좌표가 1 0하고 -1 0이에요 그래서 이렇게 쌍곡선 이렇게 생긴 쌍곡선 자 그랬을 때 지금 1 2에서 그은 1 2에서 근 접선의 방정식이라서 우리가 요렇게 x는 1이라는 접선이 하나 만들어지는 겁니다 우리가 요게 조금 헷갈릴 수 있는데 이렇게 그으면 우리가 접선이 되죠 자 4분의 5X + 4분의 3은요 우리가 요렇게 요런 식으로 그어준 접선의 방정식인 거를 알 수가 있겠네요 자 우리가 그러면 두 번째 방법으로도 풀어 볼 건데요 자 이번에 기울기를 활용하는 겁니다 자 기울기를 활용하는 건데 그러면 우리가 식을 y는 MX 플러스 마이너스 루트 m제곱 마이너스 1로 식을 세울 수가 있어요 공식을 이용해서요 자 얘가지금 1을 지나는 거고요 2는 m +, - 루트 m제곱 마이너스 1이죠 자 그러면 2-m이 +루트 m제곱 마이너스 1일 때 한번 풀어볼 거고요 2-m이 - 루트 m²-1인 경우를 한번 풀어보도록 하겠습니다 자 위에 있는 식을 제곱을 하면요 요거를 양면 제곱해주면 m제곱 마이너스 4인 플러스 4는 m제곱 마이너스 1이고 이렇게 지워지고 우리가 m은 4분의 5라고 구할 수가 있어요 자 그러면 이거를 다시 여기 한번 대입을 해 봐야 됩니다 2-m이 지금 우변이 양수기 때문에 요거를 대입해서 양수가 나와야 돼요 그러면 우리가 2 -에 있는 양수니까 요거는 성립을 하네요 자 그런데 밑에 거를 한번 볼게요 우리가 요거를 대고 가면 m제곱 마이너스 4인 플러스 4는 - 루트 m²에서 루트가 벗겨지고m제곱 마이너스 1만 남게 되고요 우리가 어차피 제곱하면 부호가 다 사라지니까 똑같은 m이 나와요 자 그런데 m이 4분의 5인 것을 여기다가 대입하면 양수가 나옵니다 그런데 우변은 뭐예요 음수죠 즉이 경우에는 지금 성립하지 않는 겁니다 그래서 m이 4분의 5일 때요 여기에 부호가 지금 플러스일 때만 성립하는 거고요 그래서 우리가요 접선의 방정식을 y는 4분의 5X + 루트 16분의 25-1이면 16분의 9구요 요거 계산해 주면 4분의 3이라고 나옵니다 자 이렇게 하나를 얻어낼 수가 있어요 자 그런데 우리가 주의해야 될 점이 있습니다 우리가 요렇게 식을 쓰는 거는요 어떤 x는 C 꼴로 표현되는 접선을 찾아낼 수가 없어요 요거를 찾아낼 수가 없다는 겁니다 그래서 접선이 하나 나오면 우리가그래프를 그리던가 아니면 다른 방법으로 접선을 다시 닫아 줘야 되는 거예요 자 그래서 우리가 그래프를 그려서 x는 1이다라는 것도 같이 이렇게 닫아 줘야 됩니다 이렇게 되니까 자이 꼴로 표현되는게 빠졌을 수 있으니까 우리가 항상 접선의 방정식이 하나 나오면 다시 한번 생각을 해줘야 된다 그래프를 그려서 찾아 줘야 됩니다요 꼬리 빠졌을 수 있으니까 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 쌍곡선의 접선의 방정식까지 모두 맞췄고요이 차곡선이 오늘로써 마무리됐습니다 우리가 공식들도 많이 나오고 2차곡선이 조금 헷갈리는 내용들이 많으니까 꼭 복습 꼼꼼하게 하시면서 구분 잘 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]