[수학대왕] 기하 개념강의 : 평면벡터 - 벡터의 뜻

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 학습할 내용은 벡터의 뜻입니다 자 우리가 오늘 이제 벡터를 처음 배우는 날인데요 우리가이 벡터가 뭔지 먼저 배워보도록 할 거예요 자 벡터의 뜻인데요 우리가이 물체의 운동 속도는 속력과 그 진행 방향으로 정해진다라 적혀 있어요 우리가 미적분에서 속도와 속력의 차이를 배웠었는데 속력이라 하면 얼마나 빠른지만 나타내는 거예요 얼마나 빠른지 우리가 그 크기만 가져요 얼마나 빠른지 자 그리고 진행 방향 어디로 가는지죠 우리가이 크기에다가 방향까지 더해진 개념이 바로 속도라 그랬어요 자 그리고요 어떤 물티에 작용하는 힘도 우리가 물체의 힘을 작용한다 그러면얼마나 세게 작용하는지 그 크기도 있지만 어느 방향으로 작용하는지 방향도 같이 가지고 있습니다 힘도 크기와 방향을 둘 다 가지고 있어요 이렇게 크기와 방향 두 요소를 가지는 걸요 우리가 벡터라고 합니다 그래서 속도는 벡터고요 속력은 벡터가 아닙니다 힘은 벡터가 맞아요 그래서 쉽게 말하면 벡터라는 애는 방향과 크기를 동시에 가지고 있는 애입니다 방향도 가지고 있고 크기도 가지고 있어요 그래서 요런 벡터를 우리가 어떻게 표시하느냐 자요 점 a부터 요점 b까지 가는 벡터라고 할게요 그러면 우리가 a에서 b로 가는 벡터다 방향은 a에서 b로 가는 거고 그 크기는 만큼이다 난 정도 된다 이렇게 화살표로 표시를 합니다 우리가이 화살표의 길이가 화살표의 길이가 바로 벡터의 크기가되는 거구요요 방향이이 화살표가 상하고 있는 방향이 벡터의 방향입니다 자 그랬을 때 우리가 지금 a에서 b로 가고 있죠 그러면 기호로 이렇게 화살표를 쓰고 AB 벡터 벡터 AB라고 표시를 합니다 자 이거를요 우리가 a와 b를 이용하지 않고요 그냥 단순하게 소문자를 이용해서 a 벡터로 표시하기도 합니다 자 이때 우리가 a라는 점을이 벡터의 시점이라고 하고요 시작하는 점입니다 시점이라고 하고 b를 종점 끝나는 점입니다 종점이라고 합니다 그래서 우리가 이렇게 벡터를 표현할 수가 있어요 자 아까 말했듯이이 ab라는 화살표에 길이가 크기라 그랬죠 그래서이 길이는 뭐예요 선분 ab의 길이죠 선분의 ab의 길이를 AB 벡터의 크기라고 하고요 우리가 이런 식으로 쓸 수가 있어요AB 벡터의 크기를 구하라라는 의미로 절대값을 씁니다 우리가 절대값은 크기를 나타내는 거죠 부호를 떼고 크기를 나타내는 거니까 이렇게 절대값 AB 벡터는 우리가 선분 ab의 길이와 같습니다 뭐 이런 식으로 소문자 a를 써서도 표현을 할 수가 있겠죠 자 그리고 우리가 특히 크기가 1인 벡터 크기가 1인 벡터를 우리가 단위 벡터라고 따로 부릅니다 크기가 1인 벡터를 단위벡터라고 불러요 자 그리고 우리가 크기가 0인 벡터도 있어요 요렇게 AA 벡터와 BB 벡터와 같이 시점과 종점이 일치하는 겁니다 그러면 크기가 0이죠 크기가 0이고 우리가 방향도 그런 경우에는 따로 고려하지 않아요 이런 벡터를 0벡터라고 합니다 크기가 0이기 때문에 0벡터라고 하고요 이런 식으로 숫자 0을 써서 기호로 나타낼 수도 있습니다 자 여기까지 됐나요 우리가 제일중요한 건 벡터는 크기와 방향을 모두 가지고 있는 앱입니다 그리고 벡터의 크기는 이렇게 선분 길이로 나타낼 수 있다요 기호를 알고 가면 됩니다 자 넘어가도록 할게요 자 이제 보도록 할 건데요 AB 벡터의 크기를 구하라는 기호죠 지금 AB 벡터의 절대값을 씌워놨어요 이거를 구하라고 했는데 얘가 지금 한 변 길이가 2인 정육각형입니다 자 1번에서 구하라고 한 건요 요겁니다 요거 a에서 b로 가는 거예요 a에서 b로 자 그러면 우리가 여기 길이는 몇이에요 우리가 요거는 AB 선분 길이로 찾으면 되고요 그것은 바로 2입니다 정육각형이기 때문에 길이가 모두 같죠 자 이번엔 BF 벡터를 찾을 건데 b에서 f로 가는 벡터입니다 b에서 f로 가는 벡터 이렇게 표시해 주면 되고요 자 여기 길이를 구하기 위해서 제가 여기다가 여기도 2고 여기도2니까 수선의 발을 내리면요 길이는 1이죠요 길이는 루트 3입니다 1면 여기가 60도이기 때문에 우리가 이렇게 길이를 모두 구할 수 있고요 그러면 bf의 길이를 2루트 3이다라고 찾을 수가 있습니다 우리가 그래서 전부 bf의 길이를 찾았더니 2√3이에요 이렇게 구해주시면 되고요 자 이번엔 a에서 d로 가는 벡터인데요 a에서 d로 가니까요 벡터를 말하는 겁니다 자 우리가 정육각형은 6등분할 수가 있어요 이렇게 이렇게 정삼각형 6개로 쪼개지죠 그러면 여기 길이 2고요 여기 길이도 2니까 우리가 a에서 d까지 선분의 길이 선분 ad의 길이는 우리가 4라고 찾을 수가 있습니다 자 여기까지 됐죠 넘어가겠습니다 자 이번엔 서로 같은 벡터인데요 두 벡터 a와 b의 a 벡터와 b 벡터의크기와 방향이 같은 경우에 우리는 서로 같다고 합니다 자 그래서 그거를 기호로 이렇게 a 벡터는 b 벡터다 이런 식으로 표현을 할 수가 있어요 어 너무 당연한 말이라 쉽게 느껴질 수 있는데 여기서 중요한 내용은 요겁니다 한 벡터를 평행 이동하면 겹쳐져요 컴벡터를 평행 이동해서 겹쳐지는 벡터를 우리 그냥 같은 벡터로 보는 거예요 자 여기 지금 AB 벡터가 있고요 여기에 CD 벡터가 있는데 우리가 봤을 때는 지금 두 벡터의 위치가 달라요 위치가 다른데 우리가 벡터라는 거는 크기와 방향을 가지는 값이기 때문에 지금 두 개 선분 길이가 같으면 크기가 같은 거고요 지금 얘가 방향이 같으면 평행하겠죠 방향이 같으면 병행하면 크기도 같고 방향도 같으니까이 a 벡터와 b 벡터는 같은 벡터인 겁니다 꼭 완전히 똑같이 포개져 있다고 같은 벡터가 아니라 위치가 다르더라도 평행하고크기가 같다면요 벡터는 같은 벡터에요 추가적으로 우리가 AB a 벡터와 b 벡터가 다른 벡터라 다른 벡터라면요 이렇게 a 벡터는 b 벡터랑 같지 않다 이런 식으로도 표현을 할 수가 있습니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 다음 그림과 같이 정삼각형 abc에서 abbcc의 중점을 각각 def라고 하겠대요 자 여기가 다 중점입니다 자 그랬을 때 abcdef를 시점과 동점으로 하는 벡터 중 AD 벡터와 서로 같은 벡터를 모두 구하라고 했어요 자 그럼 일단 중점이라고 했으니까요 길이요 길이요 길이 모두 같고요 지금요 삼각형에서 얘가 60도고 이등변이기 때문에 여기도 60도 여기도 60도이 길이까지 같네요 여기도 똑같습니다 그래서 우리가 보고 있는이 선분들의 길이가 모두 같고요 우리가 찾아야되는 거는 AD 벡터와 서로 같은 벡터를 찾는 건데 자 방향이 같고 크기가 같으면 돼요 자 어디 어디 있어요 위치는 다를지라도 이렇게 된 벡터 있고요 이렇게 된 벡터 있죠 우리가요 DB 벡터와 efe 벡터는 크기가 같고 방향이 같은 벡터입니다 그래서 DB 벡터 그리고 F2 벡터 요렇게가 답입니다 자 됐나요 넘어가겠습니다 자 이번엔 크기가 같고 방향이 반대인 벡터인데요 우리가 일단 ab 벡터와 ba 벡터는 같은 벡터가 아니에요 자 a점이 여기 있고요 비점이 여기 있는데 AB 벡터는 요런 방향으로 가고 있고요 ba 벡터는 이런 방향으로 가고 있습니다 두 개의 선분 길이가 같기 때문에 크기는 같아요크기는 같지만 방향이 완전히 반대죠 자 우리가 이런 경우에 표시를 어떻게 해주냐 마이너스 부호를 달아주는 겁니다 AB 벡터는 ba 벡터랑 여기 마이너스를 부호로 붙이면 같아지는 거예요 AB 벡터는 -ba 벡터이 마이너스의 의미가 그러면은 뭐겠어요 방향이 반대다 방향이 반대인 벡터를 의미하는 겁니다 그래서 우리가 이렇게 표현을 할 수가 있고요 자 크기는 같습니다 우리가 절댓값을 씌우면 크기가 같은 거예요 우리가 이렇게 크기가 같고 방향이 반대인 벡터까지 부호를 이용해서 표현을 할 수가 있습니다 자 넘어가겠습니다 자 정사각형 abcd에서 시점과 종점을 abcd로 할 거고요 그 중 AB 벡터와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터의 개수를 구하라고 했는데요 자 크기는 같으니까 일단요 길이랑 같아야 되고요 방향이 반대인벡터 찾아주면 우리가 이렇게 ba 벡터랑 이쪽으로도 가는 CD 벡터 이렇게 찾아주면 되겠네요 자 우리가 오늘 배울 내용 여기까지구요 우리가 벡터를 처음 배우는 날이라 어려운 내용은 없었다고 생각을 합니다 하지만 우리가 처음 접하는 벡터인만큼 오늘 배운 뭐 뜻이나 표현 이런 것들을 꼭 꼼꼼하게 복습하고 다음 강의 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]