[수학대왕] 기하 개념강의 : 평면벡터 - 벡터의 덧셈과 뺄셈

수학대왕 [음악] 자 이번 시간은 스파레용은 벡터의 덧셈과 뺄셈입니다 우리가 지난 시간에 벡터란 것을 이제 처음 배웠었죠 오늘 그 벡터의 덧셈과 뺄셈을 어떻게 하는지 배워보도록 할 거예요 자 우리가 벡터의 덧셈은요 두 가지 방법이 있습니다 두 가지 방법이 있는데 사실 두 가지 방법이 큰 차이가 난다고 생각하기 조금 어려워요 근데 일단 우리 두 가지 방법을 하나씩 보도록 할게요 자 첫 번째 방법은요 삼각형을 이용한 벡터의 덧셈이에요 자 우리가 a라는 벡터와 b라는 벡터를 더할 건데이 a라는 벡터를 AB 벡터 이렇게 가는 벡터라고 할 거고요 자 b라는 벡터가 BC 벡터입니다 이렇게 가는 벡터에요 자 지금 상황이 어떤 상황이냐면 a 벡터란 B 벡터랑 더할 건데 그게지금 AB 벡터와 BC 벡터를 더하는 거예요 자 근데 지금 뭐랑 뭐랑 같냐면이 AB 벡터의 동점과 BC 벡터의 시점이 같습니다 자 AB 벡터의 종점과 BC 벡터의 시점이 같아요 자이 두 벡터의 종점과 시점이 일치할 때만이 방법을 쓸 수가 있고요 우리가 요렇게 왔다가 이렇게 가니까 두 개를 더하면 이런 벡터가 되는 겁니다 요거를 우리가 a 벡터 플러스 B 벡터라고 할 수가 있고요 AC 벡터죠 AC 벡터라서 이렇게 AC 벡터가 됐는데 종점과 시점이 일치해서 두 개를 지우고 AC 벡터라고 쓴다고 생각해도 좋습니다 자 우리 지금 맨 밑에 내용을 보면 우리 삼각형을 이용을 할 때는 두 벡터에서 한 벡터의 종점과 다른 벡터의 시점을 일치시켜서 더해주는 거예요 자 여기까지 됐죠 자 두 번째 방법은요자 평행사변형을 이용한 벡터의 덧셈인데요 자 우리가 A 벡터와 B 벡터를 더할 건데 이렇게 더할 건데 a 벡터는 AB 벡터고요 B 벡터는 AD 벡터 자 우리가 그림으로 표현하면 요런 그림입니다 AB 벡터 + AD 벡터 자 이거는 어떤 상황이냐면 두 벡터의 시점이 일치하고 있는 상황이에요 이렇게 일치를 시켰을 때 우리가 여기 있는이 AD 벡터를요 AD 벡터를 평행 이동시켜서 BC 벡터로 옮길 수가 있죠 그러면 AB 벡터 더하기 BC 벡터는 이렇게 AC 벡터로 나오는 겁니다 우리가 앞에서 이거 더하기 이거는 요거가 된다고 했죠 자 그래서 우리가 이렇게 두 벡터의 시점을 일치시키면 두 벡터를 가지고 이런 평행사변형을 만들 수가 있고요 그때이 평행사변형의 한 대각선요것이 바로 두 벡터의 합이 됩니다 자 그래서 결국은 AC 벡터가이 두 벡터의 합의되는 거구요 자 평행사변형을 이용하여 두 벡터 a 벡터와 b 벡터의 합을 구할 때는 우리가 두 시점을 일치시켜야 두 벡터의 시점을 일치시켜야 평행사변형을 만들 수가 있고 그때 만들어지는 한 대각선이 우리가 원하는 두 벡터의 합이니까 이렇게 시점에 일치시켜서 구할 수가 있습니다 자 앞에서 했던 것은 한 벡터의 종점과 다른 벡터의 시점을 일치시키는 거였구요 이평행사변형은 우리가 한 벡터의 시점과 다른 벡터의 시점이 일치해야 우리가 두 벡터의 합을 구할 수 있는 겁니다 자 하지만 우리이 평행사변형을 이용한 벡터의 덧셈도 결국은 디렉터를 평행 이동시켜서 우리가 삼각형을 이용해 주기 때문에 어떻게 보면은 비슷한 방법이라고 할 수도 있겠죠 자 여기까지 하고 넘어가 보도록 할게요 자 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정육각형 abcdef에서 세대각선의 교점을 g라고 할 때 자 BG 벡터와 BG 벡터와 fe 벡터의 크기를 구하라고 했는데 자 두 벡터 합하라 그랬어요 BG 벡터와 fb 벡터의 합을 구하라고 했습니다 자 그러면 저는 fe 벡터를 옮겨 주겠습니다 예를요 자 삼각형을 만들기 위해서이 bg 벡터의 동점과 F2 벡터의 시점을 일치시키기 위해 이렇게 옮겨 주면 되겠죠 자 그러면 어떤 삼각형이 만들어져요 요런 삼각형이 만들어집니다 자 그러면 우리가 BD 벡터를 구해주면 되겠네요 그래서이 g 벡터와 F2 벡터는요 결국은 BD 벡터와 같고요 BD 벡터의 크기를 구하기 위해선 길이를 구해주면 되는데 자 여기 길이가 2구요 얘가 지금 정육각형이니까 지금 정삼각형 6개로 쪼개져 있어요 자여기 한 각도가 60도고요 여기 하나에 30도니까 여기 있는 1이고요 길이는 루트 3이라고 우리가 찾아낼 수가 있죠 자 그러면 우리가 BD 벡터의 크기는 뭐라고 구할 수 있어요요 루트 3이 두 개 있으니까 2루트 3이라고 구할 수가 있습니다 자 여기까지 됐나요 자 만약에 우리가 F2 벡터를 요런 삼각형이 아니라 평행사변형을 만들어 주겠다 생각을 하면 비즈벡터 여기 있으니까 평행사변형을 만들기 위해 시점을 일치시킨 BC 벡터로 옮겨주면 되겠죠 그래서 그러한 경우에도 두 개를 더했을 때 이런 BD 벡터가 나오기 때문에 같은 결과가 나오게 됩니다 자 넘어가겠습니다 자 이번엔 벡터의 덧셈에 대한 연산 법칙인데요 자 우리가 두 가지가 성립을 해요 일단 교환 법칙이 성립하고요 결합법칙이 성립을 합니다 자 교환법칙은 a 벡터와 b 벡터를 더하나 b 벡터의 a 벡터를 더하나 똑같다는 법칙인데 자 우리가벡터의 덧셈을 배울 때요 결국은 삼각형이나 평행사변형을 만들어서 벡터의 덧셈을 하게 됩니다 자 그런데 우리가 A 벡터와 B 벡터의 순서를 바꾼다고 삼각형이나 평행사변형의 모양이 달라지지는 않습니다 여기다가 C 벡터를 더하면 요런 벡터가 만들어질 겁니다 이렇게된 a 벡터 b 벡터 C 벡터 근데요 벡터가 뭐랑 같다 말하고 있는 거냐면 기벡터랑 C 벡터를 먼저 더하고요 디렉터란 C 벡터를 먼저 이렇게도 하고 거기에다가 a 벡터를 더해주면 이렇게 되겠죠 즉 a 벡터 플러스 B 벡터 플러스 C 벡터가 요거랑 완전히 일치하는 겁니다 이거와 이거와 같은 거예요 우리가 세 개를 더할 때는 앞에 거를 먼저 계산하나 뒤에 거를 먼저 계산하나 똑같습니다 자 그럼 넘어가 보도록 할게요 자 0벡터의 덧셈에 대한 성질인데요 벡터 a에 대해서 a 벡터의 0벡터를 더했어요 자 0벡터를 더한 거는 아무것도 안 더한 거랑 똑같은 거예요 그리고 교환 법칙이 성립하니까 0벡터의 a 벡터를 더한거나 a 벡터나 모두 똑같다는 얘기를 하고 있는 겁니다 영백터는 똑같아요 더하나 안 더하나 똑같습니다 자 a 벡터의 마이너스 a 벡터를 더 있어요 자 -a 벡터의 의미가 뭐예요 a 벡터와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터를 말하는 거죠 그렇기 때문에 우리가 요렇게 a 벡터와 마이너스 a 벡터를 더하면요 우리가 이거를 더했을 때는 크기가 같고 방향이 반대기 때문에 두 개를 더하면 결국은 그냥 0벡터가 됩니다 그래서 순서 바꿔서 -a 벡터 더하기 a 벡터도 0벡터가 된다라고 하고 있는 겁니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 이거를 간단히 하라라고 했는데요 AB 벡터와 D 이펙터가 있는데 자 순서를 좀 바꿔 보겠습니다 da 벡터 더하기 ab 벡터죠 자 뒤에 것도 순서를 바꿔 볼게요 BC 벡터 더하기 CD 벡터 자 순서를 왜 바꿨냐면 순서를 바꾸면da 벡터의 종점과 AB 벡터의 시점이 일치하는 걸 확인할 수 있습니다 즉 da 벡터 더하기 AB 벡터는 이렇게 요렇게 생긴 걸 알 수가 있죠 그러면 두 개를 더하면 결국 어떤 벡터가 나와요 DB 벡터가 나오는 겁니다 요거는 DB 벡터에요 자 뒤에 있는 것도 마찬가지로 지금 bc의 동점과 cd의 시점이 일치하고 있기 때문에 두 벡터를 더하면 BD 벡터가 되는 겁니다 자 그러면 DB 벡터 더하기 bd 벡터고요 자 이때 DB 벡터 더하기 BD 벡터를 이렇게 바꿀 수 있죠 마이너스 DB 벡터 방향을 바꿔주고 -를 달아준 겁니다 그럼 두 개 더해주면 0벡터가 되겠죠 자 이렇게 해서 우리가 벡터를 직접 확인하지 않아도이 식만 가지고벡터를 정리를 할 수가 있는 겁니다 여기까지 됐죠 넘어가겠습니다 자 이번엔 벡터의 뺄셈인데요 우리가 벡터의 뺄셈이 조금 헷갈립니다 자 한번 보도록 할게요 우리가 두 벡터 a 벡터와 b 벡터가 있을 때요 a 벡터와 -2벡터의 합 즉 a 벡터 플러스 마이너스 B 벡터를요 우리가 A 벡터에서 B 벡터를 뺀 차라고 말하고 이거를 이렇게 기호로 a 벡터 - b 벡터라고 나타냅니다 자 그래서 우리가 이거를 이제 계산을 하는 방법을 배울 건데요 자 요렇게 a 모니터를 AB 벡터라고 하고 B 벡터를 AD 벡터라고 해서 우리가 시점이 같은 벡터로 만들어 줄게요 그러면 이렇게 AB 벡터 이렇게 AD 벡터 각각 a 벡터 b 벡터를 나타냅니다 자 그렇게 됐을 때 우리가 a 벡터 - b 벡터라고 하면AB 벡터 - AD 벡터인데 우리가 요거를 이렇게 바꿀 수 있죠 AB 벡터 플러스 마이너스 AD 벡터라고 바꿀 수가 있고요 요거는 AB 벡터 플러스 da 벡터로 바꿀 수가 있습니다 따라서 AB 벡터와 요렇게 생긴 AB 벡터와 da 벡터를 더해 줄 건데요 자 기이 벡터와 AB 벡터를 더해주면 어떤 벡터가 나오겠어요 이렇게요 더 있으니까 DB 벡터가 나오는 겁니다 그래서 바로이 DB 벡터가 a 벡터 - b 벡터를 의미하는 거예요 자 그래서 우리가 지금 과정이 조금 헷갈려요 헷갈린데 우리가이 벡터의 뺄셈을 a 벡터 - b 벡터라고 했을 때 계산하는 방법을 크게 두 가지로 볼 수 있을 것 같아요 자 첫 번째는요 우리가 a 벡터 - b 벡터를 어떤a 벡터 플러스 마이너스 B 벡터로 보고서 B 벡터의 방향이 반대고 크기가 같은 벡터를 찾아서 이런 그림상으로 우리가 a 벡터 마이너스 B 벡터를 찾는 방법이 하나가 있고요 두 번째는 우리가 AB 벡터 - AD 벡터를 계산하면 뭐가 돼요 DB 벡터가 되죠 자 AB 벡터에서 AD 벡터를 빼면 각 벡터의 동점이 지금 b랑 d인데 이거의 순서를 바꿔서 DB 벡터로 바꿔주는 겁니다 이렇게 우리가 이렇게 요런 식으로 식으로 계산을 할 수가 있어요 자 이렇게 두 가지 방법을 활용해서 벡터의 샘을 계산해 주도록 할 겁니다 자 맨 밑에 내용을 좀 보면요 a 벡터 - b 벡터는요 두 벡터의 시점을 일치시켰을 때 벡터 b 벡터의 종점을 시점으로 하고 벡터 a 벡터의 종점을 종점으로 하는 벡터이다라 되어 있죠 자 비비터의종점의 시점으로 하고 요거에 종점을 시점으로 하고 요거에 종점을 종점으로 하는 그런 벡터가 바로 벡터의 그냥 말로 설명해 놓은 것뿐입니다 우리가 벡터의 뺄셈은 그림상으로 보거나 이렇게 식으로 보거나 두 가지로 확인을 할 수가 있어요 자 넘어가겠습니다 자 개념에서 볼 건데요 정사각형 abcd에서 벡터가 이렇게 주어져 있고요 우리가 구하는 것은 C 벡터 - a 벡터 마이너스 B 벡터입니다 자 그러면 C 벡터는요 우리가 지금 여기 AD 벡터로 표현이 되어 있고요 a 벡터는 b의 200t로 표현이 되어 있고 B 벡터는 AC 벡터로 표현이 되어 있습니다 자 이때요요 C 벡터를 우리가 이렇게 옮겨줍니다 BC 벡터 그러면 BC 벡터- ba 벡터 - AC 벡터고요 자 BC 벡터 마이너스 ba 벡터는 지금 b가 시점이 일치하고 있고요 뒤에 있는 c와 a의 순서를 바꿔서 AC 벡터라고 써주면 됩니다 자 여기서 AC 벡터를 빼는 거죠 그럼 똑같은 벡터를 뺐으니까 0 벡터가 되는 겁니다 우리가 이렇게 계산을 통해서 그리고 그림을 활용해서 벡터의 뺄셈을 간단히 할 수가 있어요 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 벡터의 덧셈과 뺄셈 모두 학습을 했고요 벡터의 덧셈 같은 경우는 두 가지 방법이 있다는 거 꼭 기억하시고 벡터의 뺄셈도 우리가 조금 헷갈려요 덧셈에 비해서 뺄셈이 헷갈리는데 우리가 여러 번 연습을 하면서 습관 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]