[수학대왕] 기하 개념강의 : 평면벡터 - 벡터의 실수배

수학대왕 [음악] 자 오늘은 아스팔트는 벡터의 실수배입니다 자 벡터의 실수배인데요 우리가 어떤 벡터의 실수를 곱한 걸 배울 거예요 자 요런 꼴입니다 k의 a 벡터 자 이렇게 a 벡터에다가 어떤 숫자 k를 곱해준 꼴을 우리가 오늘 학습을 좀 할 건데 자 일단요 a 벡터가 0벡터가 아닐 때요 0벡터가 아닐 때는 우리가 만약에 k가 양수다 그러면 우리는 ka 벡터와 a 벡터의 방향은 같고 크기가 ka 절댓값인 벡터다 되어 있어요 자 요거를 조금 이렇게 설명을 해 볼게요 자 a라는 벡터가 이렇게 있습니다 자 여기가 원점이구요 우리가 이렇게 a라는 벡터가있는데이 A 벡터는 2A 벡터는 어떻게 표시되느냐 우리가 A 벡터에다가 숫자 2를 곱하면 방향은 똑같은데 크기만 2배 되는 겁니다 그래서 이렇게 벡터가 나오는 거예요 방향은 같은데 크기는 2배인 이런 벡터가 2A 벡터입니다 그럼 만약에 2분의 3 벡터면 어떻게 될까요 2분의 3 벡터면 그만큼 1.5배 즉 2분의 3배만큼 가는 겁니다 2분의 3a 자 그러면 키가 음수면 어떻게 되느냐 k가 음수라면 우리가 ka 벡터와 a 벡터는 방향이 이제 반대가 되는 거예요 마이너스는 반대 방향으로 의미하기 때문에 방향이 반대고 크기는 절대값 k 절대값 a 벡터인 벡터이다라고 나와 있어요 자 그러면 만약에 -3a 벡터에요 -3a200 터면 반대 방향으로 3배 가는 겁니다 이렇게 마이너스 3a벡터가 표현이 되는 거예요 자 이렇게 실수배를 하면 우리가 방향은 같거나 반대인 벡터가 나오고요 크기는 그대로 KB 벡터가 나오는 겁니다 자 만약에 키가 0이면 우리가 0을 곱했으니까 0벡터가 나오게 되는 거고요 자 a 벡터가 0벡터라면 우리가 지금 실수배를 해도 ka 벡터는 어차피 0이기 때문에 얘도 똑같이 0 벡터가 나옵니다 자 1을 곱하면요 그냥 똑같은 숫자를 1을 곱하면 변하지 않기 때문에 크기가 변하지 않기 때문에 그대로 a 벡터가 나오는 거구요 -1을 곱하면 방향만 반대고 크기는 같은 마이너스 a 벡터가 나옵니다 자 0을 곱하면 0벡터 그리고 0벡터의 실수 배럴에도 0벡터 우리가 다 위에서 한 내용들이죠 자 K 액터 ka 벡터의 ka 벡터의 크기를 구하라는 기호인데 ka 벡터의 크기는 우리가 k의 절댓값과A 벡터의 크기를 곱한 값과 같습니다 우리가 어차피 다 크기를 나타내는 기후들이기 때문에 크기를 각각 고려해도 똑같은 결과가 나오는 거예요 자 벡터와 실수의 고분 결론적으로 벡터가 나오는 것이죠 우리가 실수를 곱하는 것은 어떤 크기만 좀 변화를 시키고 벡터라는 그 방향성은 우리가 가지고 있게 되기 때문에 실수를 곱해도 똑같이 벡터가 나오는 겁니다 자 그래서 벡터의 실습에 대한 연산 법칙이 또 몇 가지 있는데요 자 우리가 결합법칙이 성립합니다 우리가 어떤 a 곱하기 a 벡터의 k를 곱하면요 그냥 실수끼리 곱해서 KL a 벡터라고 하면 되는 거예요 자 이런 거죠 우리가 2A 벡터의 3을 곱했어요 2A 벡터의 3을 곱하면 6a 벡터가 나오는 겁니다 그냥 우리가 실수끼리 곱해주면 되는 거예요 자 분배법칙은요 k+a 벡터는 ja 벡터 플러스 LA 벡터라고 나와있는데 예를 들어 이런 거죠 만약에이 플러스 3의 a 벡터면 우리가 요렇게 2A 벡터 플러스 3a 벡터라고 할 수 있고요 2A 벡터 플러스 3a 벡터를 이렇게 바꿔서 우리가 OA 벡터라고도 계산을 할 수가 있는 겁니다 자 그리고 실수 배를 이렇게 분배할 수도 있는 거예요 k의 a 벡터 플러스 B 벡터는 각각 ka 벡터 플러스 KB 벡터 자 요거는 2 곱하기 a 벡터 플러스 B 벡터면 우리가 2를 각각 곱해 줄 수 있다 이렇게 계산을 해주면 됩니다 자 그러면 우리가 이걸 가지고 개념 제재를 한번 풀어보도록 하겠습니다 자 다음요 식을 간단히 하라고 했는데요 자 하나씩 해보겠습니다 일단 앞에 4가 곱해져 있죠 이사를 분배해 주는 겁니다 4a 벡터- 8b 벡터가 되는 거고요 우리가 -4a 벡터 플러스 9b 벡터까지 뒤에 계산을 할 수가 있죠 그러면 a 벡터 플러스 B 벡터가 되는 겁니다 자 우리가 A 벡터와 B 벡터를 어떻게 취급하고 있어요 약간 문자 xy처럼 취급하면 계산을 하고 있죠 그렇게 계산을 해도 우리가 정리를 할 때는 무방하니까 이렇게 계산할 수 있다는 거 알아두시기 바랍니다 자 이번엔 벡터의 평행인데요 0벡터가 아닌 두 벡터 a 벡터와 b 벡터의 방향이 같거나 반대일 때 우리는 이거를 서로 평행하다라고 합니다 자 방향이 같을 수도 있고 반대일 수도 있는 거예요 그러면 만약에 a 벡터가 이렇게 생겼어요 그러면 B 벡터는 뭐 방향이 같거나 반대면 이렇게 생겼을 수도 있고요 이렇게 생겼을 수도 있고요 다양하게 존재할수 있죠 자 그런데 방향이 같거나 반대인 건 어떻게 표현을 할 수가 있어요 바로 우리가 실수배로 표현을 할 수가 있습니다 우리가 b 벡터와 a 벡터의 관계를 b 벡터와 a 벡터의 관계를 얻던 실수배를 해서 KB 벡터라고 하면 두 개가 같아질 수가 있게 되는 거죠 우리가 실수배를 하면 우리가 방향이 같거나 반대인 어떤 크기만 다른 벡터가 나오는데 그게 바로 평행인 벡터인 겁니다 자 그래서 평행인 벡터는 기호로 우리가 일반적으로 쓰는 평행하다의 기호와 똑같이 이런 식으로 표현을 해주고요 자 이렇게 a 벡터와 b 벡터가 평행할 때 이것은 어떻게도 표현이 될 수 있다 b 벡터와 a 벡터는 실수배를 해서 같아질 수 있다 이렇게 표현이 되는 겁니다 자 이때 당연히 a 벡터와 b 벡터는 우리가 0 벡터가 아니어야겠죠 우리가 벡터의 평행은 0벡터가 아닐 때만 고려를합니다 자 그리고 k가 0이면 우리가 0벡터가 되기 때문에 k도 0이 되면 안 돼요 자 마지막 내용 보겠습니다 a 벡터가 AB 벡터고 B 벡터가 CD 벡터인데 두 개가 평행하대요 두 개가 평행하다는 것은 우리가 선분의 ab와 cd가 평행하다는 말과 똑같습니다 그리고 겹칠 수도 있겠죠 우리가 시점이 같으면 겹칠 수도 있기 때문에 우리가 평행하다는 말은 벡터가 평행하다는 말은 선분이 평행하거나 일치하다 그렇게 우리가 해석을 할 수가 있는 겁니다 자 넘어가 볼게요 자 두 벡터가 서로 같을 조건인데요 0벡터가 아닌 두 벡터 a 벡터와 b 벡터가 서로 평행하지 않을 때 실수 m n 그리고 m 프라임 엔 프라임에 대해서 다음이 성립한대요 자 이렇게 더하면 0벡터일 때 바로 m과 n이 0이어야만 한다 자 왜 그런지 생각을좀 해봅시다 만약에 a 벡터가 이렇게 생기고요 그리고 만약에 B 벡터가 이렇게 생겼어요 그러면 우리가 만약에 크기가 같고 방향이 반대인 벡터라 그러면 우리가 A 벡터와 B 벡터를 이렇게 실수배를 해서 더했을 때 m과 n이 꼭 0이 아니어도 m이 1이고 n이 1이라면요식이 성립을 하게 되죠 그런데 만약에 평행하지 않아요 평행하지 않는다면 a 벡터가 이렇게 있고 디렉터가 이렇게 있을 때 우리가 두 벡터를 어떤 실수배를 해서 더하면 실수배를 해서 더하면 삼각형이나 평행사변형이 항상 만들어지게 됩니다 그러면 그 만들어진 벡터가 0이 돼야 돼요 근데 그게 가능할까요 자 언제만 가능하냐 바로이 실수배를 해준 m과 n 값이 m과 n 값이 0이 될 때에만바로이시기 성립을 하게 되는 겁니다 자 평행하지 않을 때는 a 벡터와 b 벡터의 실수배를 해서 더해서 0이 되는 경우는 딱 하나밖에 없습니다 그 실수가 0인 경우 자 그리고 두 번째 내용도 비슷한 내용인데요 MA 벡터와 NB 벡터를 더해서 이렇게 m 프라임 a 벡터 엔프라임 디백터가 되는 거는 우리가 좌변 후면 비교해서 a 벡터 앞에 곱해진 실수끼리 같아지고요 얘랑 얘랑 같아줘야 되고 앞에 곱해진 실수인 n과 n 프라임이 같아져야 됩니다 그래서 우리가 이렇게요 성질을 활용을 해 줄 겁니다 자 넘어가 볼게요 자 0벡터가 아닌 두 벡터 a 벡터와 b 벡터가 평행하지 않을 때 자 평행하지 않고요 다음 등식을 만들고 하는 우리가 실수 mn을 구하는 문제인데 자 지금 좌변에 n-1의 a 벡터고요 우변에는 4a 벡터죠그러면 얘랑 얘랑 같아져야 되는 겁니다 따라서 m은 5구요 자 b벡터 앞에 곱해져 있는 실수인 m-3과 1이 같아져야 돼서 a는 뭐라고 나와요 얘는 4라고 우리가 구할 수가 있습니다 따라서 mn의 값은 20이라고 우리가 답을 써주면 되겠죠 넘어가 볼게요 자 이번엔 세 점이 한직선 위에 있을 조건인데요 만약에 서로 다른 세금 abc에 대해서 자 AC 벡터랑 AB 벡터의 실수배를 한게 같아진대요 자 우리가 요거는 앞에서 뭐라고 배웠어요 AC 벡터랑 ab 벡터랑 평행하다 배웠죠 자 근데 ab랑 ac랑 평행한데 지금 두 벡터의 시점이 같아요 자 이렇게 시점이 같은데 평행하면 b랑 c는 어디에 있겠어요 바로이 한직선 위에 있는 겁니다 abc가 모두 이렇게 한 직선 위에있는 거예요 자 그래서이 관계를 만족하고 이렇게 시점이 일치하다면 우리는이 세 점 abc는 한직선 위에 있다라는 거를 알 수가 있고요 자 거꾸로요 세 점 abc가 한직선 위에 있으면 abc가 이렇게 한 직선 위에 있으면 당연히 ac 벡터는 a 자 c인데 a라고 썼네요 자 ac 벡터는 AC 벡터는 AB 벡터의 실수배로 표현을 할 수가 있죠 자 그래서 이런 식으로 표현을 할 수가 있는 겁니다 자 그럼 물론 평행한 것도 알 수가 있죠 자 그래서 결론적으로 한직선 위에 있는 조건은 세 직선이 3점이 한직선 위에 있을 조건은 이렇게 AC 벡터는 kab 벡터로 표현되는이 꼴일 때 한 직선 위에 있다라고 할 수가 있습니다 자 그럼 넘어가 보도록할게요 자 개념 예제인데요 5a 벡터는 a 벡터 플러스 B 벡터고요 자 OB 벡터는 2A 벡터 플러스 B 벡터고 oc 벡터는 4의 벡터 플러스 MB 벡터입니다 자 그랬을 때 abc가 한직선 위에 있도록 하는 실수 m의 값을 구하래요 자 그러려면 어떻게 해야 돼요 어떤 식을 만들게 해야 돼요 바로 AB 벡터와 AC 벡터가 바로 실습의 관계에 있어야 우리는 한직선 위에 있다라고 할 수가 있고요 자 AB 벡터는 OB 벡터 마이너스 a 벡터로 우리가 구할 수 있으니까 이 a 벡터 플러스 B 벡터 - a 벡터 플러스 B 벡터니까 바로 a 벡터라고 나옵니다 요게 바로 AB 벡터에요 자 AC 벡터는요 우리가oc 벡터 -oa 벡터로 구할 수 있고요 oc 벡터는 42 벡터 플러스 MB 벡터 5a 벡터는 a 벡터 플러스 b 벡터니까 n - 1의 b 벡터라고 구할 수가 있죠 자 이때 우리가요 식을 만족을 해줘야 되니까요 식을 만족을 해 줘야 되니까 a 벡터는 k의 3a 벡터 플러스 n - 1의 b 벡터고요 자 그러면 3k a 벡터 플러스 k의 m - 1의 b 벡터입니다 자 이때요 우리가 A 벡터가 3k a 벡터와 같아져야 되니까 k는 1/3이 나오고요 지금 좌변에는 B 벡터가 없죠 근데 여기는 B 벡터가 있는데 k는 0이 아닙니다 따라서 m-1이 0이 되어야겠죠따라서 우리는 m을 1이다라고 구할 수가 있는 겁니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 벡터의 실습의 단원을 모두 마쳤고요 우리가 계속 벡터에 관한 성질이 나오고 있는데 우리가 이거를 다양한 어려운 문제를 풀기 위해서는이 내용들을 자유자재로 적용을 시킬 수가 있어야 됩니다 우리이 내용이 정확하고 완벽하게 숙달될 때까지 꼭 가시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]