[수학대왕] 기하 개념강의 : 평면벡터 - 위치벡터

수학대왕 [음악] 자 이번 시간은 아스팔레용은 위치 벡터입니다 자 우리가 위치 벡터란게 뭔지 좀 먼저 알아보도록 할게요 자 위치 벡터는요 한정 5를 시점으로 하는 벡터 5a를 자 우리가 흔히 oa라고 하는 벡터를 점 o에 대한 저 메이의 위치 벡터라고 합니다 자 그런데 우리가 이쪽 단원에서 이제이 벡터를 좌표평면 위에 표현을 할 거예요 그래서 여기서 말하는이 점오는요 흔히 어디를 말하는 거냐면 바로 좌표평면 위에 원점을 뜻합니다 즉 시점이 보통 원점인 벡터를 우리가 위치 벡터라고 하는 거예요 그러면 우리가 이렇게 원점이 있으면요 이렇게 점 a가 있을 때 점의가 이렇게 있을 때이OA 벡터를 OA 벡터를 위치 벡터라고 하는 거예요 자 그리고 흔히 소문자를 써서 이렇게 a 벡터라고 표현을 할 수가 있겠죠 자 그리고 제가 전 b가 하나 더 있다고 하겠습니다 이렇게 전기가 있고요 이렇게 b까지 이은이 벡터를 B 벡터라고 할 거고 얘를 우리가 점 b의 위치 벡터라고 할 수가 있습니다 자 이때요 AB 벡터를 우리가 두 위치 벡터로 표현을 할 수가 있어요 자 AB 벡터는 우리가 어떻게 표현을 할 수가 있어요 우리 벡터의 뺄셈을 거꾸로 돌리면 OB 벡터 - a 벡터라고 표현을 할 수가 있습니다 자 이때 OB 벡터는요 B 벡터고 5a 벡터죠 이렇게 우리가 어떤 AB 벡터도 우리가 이런 위치 벡터로 표현을 할 수가 있는 겁니다 자 넘어가도록 할게요 자 세 점 ABC 위치 벡터를 a벡터 b 벡터 C 벡터라고 할 때 2ab 벡터 3ab 벡터를 abc로 나타내래요 자 그러면 AB 벡터는 우리가 B 벡터 - A2 벡터라고 쓸 수가 있고요 AC 벡터는 C 벡터 마이너스 a 벡터라고 쓸 수가 있죠 자 쉽게 생각하면 뒤에서 앞에 거를 빼는 겁니다 뒤에서 앞에 거를 빼는 거예요 자 그랬을 때 이 AB 벡터 플러스 3ac 벡터고요 자이 AB 벡터는 2의 B 벡터 - a 벡터고 플러스 3의 AC 벡터는 C 벡터 - a 벡터입니다 그러면 2b 벡터 - 2A 벡터 + 3 C 벡터 - 3의 -5a의 벡터 + 2b 벡터 플러스 3C벡터입니다 우리가 이렇게 위치 벡터 a와 b와 c를 가지고 표현을 할 수가 있죠 자 이렇게 답 써 주시면 되고요 넘어가도록 할게요 자 이번엔 선분의 4분점과 외분점의 위치 벡터인데요 두 점 ab의 위치 배터리 각각 a 벡터 b 벡터라고 할 때 선분 ab를 m데n으로 내분하는 점 p에 위치 벡터는 요렇게 쓴대요 많이 본 공식이죠 n+1/n MB 벡터 플러스 NA 벡터 자 우리가 일반적으로 좌표 평면 위에서 쓰는 내분점 공식과 똑같습니다 자 얘가 어떻게 표현되는지 한번 볼게요 우리가 지금 결국은이 p 벡터를 표현하고 싶은 거고요 저는 ap 벡터를 더해서 op 벡터를 구해 줄 겁니다 자 a 벡터플러스 ap 벡터로 표현을 해 줄 거고 자 오이 벡터는 그대로 쓸 건데요 ap 벡터를 2ab ap 벡터를 AB 벡터를 가지고 표현을 해 줄 겁니다 자 AB 벡터대 ap 벡터의 크기는 몇대 몇이에요 m + n인데 m이죠 따라서 우리가 ap 벡터를 이렇게 표현을 할 수가 있는 거예요 병행하니까 실수배만 해서 m + n 분의 mab 벡터라고 표현을 할 수가 있습니다 자 그러면 OA 벡터는 a 벡터고요 자 m + n분의 m의 AB 벡터는 우리가 B 벡터 - a 벡터로 표현을 할 수가 있죠 자 이거를 n+n으로 통분해서 우리가 구해주면 위에다 쓰도록 할게요 m +n분의 MB 벡터 NB 벡터 플러스 NA 벡터라고 구할 수가 있습니다 그래서 우리가 어떤 ab를 전부 네이비를 mdn으로 내분하는이 점피의 위치 벡터를 구할 때는요 우리가 내분점 공식을 그대로 사용을 해서 우리가 구할 수가 있습니다 자 외분하는 점도 똑같은 방식으로 구해줄 수 있고요 m대n으로 외분하는 점 추에 위치 벡터 큐벡터는 외분전 공식을 그대로 사용하면 됩니다 자요 내용을 한번 직접 강의가 끝나고 복습하면서 각자 해보시기 바랍니다 자 중점은 그러면 우리가 1대 1로 내분하는 거기 때문에 우리가 위에서 구한이 내분점 공식에다가 m은 1이고 n은 1이다를 대입을 해주면 우리가 요런 식을 얻어낼 수가 있습니다 자 중점을 나타내는 위치부터 위치벡터 엔 벡터는 2분의 a 벡터 플러스 B 벡터로 구할 수가 있어요 자 넘어가 보도록 할게요자 두 점 AB 위치 벡터를 a 벡터 b 벡터라고 할 때 자 다음 위치 벡터를 a 벡터 b 벡터로 나타내는 건데요 자 1번 보면 ab를 2:1로 내분하는 전피의 위치 벡터를 구하라고 했어요 자 그러면 우리가 점 피의 위치 벡터를 p 벡터라고 하면요 2대 1로 내분하는 점이니까 2+1 곱하기 B 벡터 플러스 1 곱하기 a 벡터로 구할 수가 있죠 따라서 3분의 a 벡터 플러스 2B 벡터고요 3분의 1의 2 벡터 플러스 3분의 2b 벡터입니다 자 2번은 자이 q의 위치 벡터를 큐벡터라고 하면요 3:2로 외분하는 점이니까 3 - 2분의 3B 이펙터 -2 곱하기 a 벡터죠 따라서 3B 벡터 - 2A 벡터로 구할 수가 있습니다 자 마지막 3번은중점 m의 위치 벡터를 구하는 거구요요 중점 m의 위치 벡터를 m 벡터라고 하면 우리가 두 개를 더하고 반으로 나눠주면 되죠 두 위치 벡터를 더하고 2로 나눠주면 됩니다 자 우리가 내부쪽 외분점 공식을 우리가 수학 상 과정에서 도형의 방정식에서 많이 활용을 했기 때문에 공식 사용하는 데는 무리가 없을 거라고 생각을 합니다 자 혹시 우리가이 내분점 외분점에 관한 내용을 이제 까먹으셨다면 꼭 수학 상 과정에 그 내분점 외분점 파트를 한번 복습하고 여기 강의 를이어서 들으시기 바랍니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 삼각형의 무게중심의 위치 벡터인데요 3점 abc의 위치 벡터를 각각 a 벡터 b 벡터 C 벡터라고 할 때 삼각형 abc의 무게중심 g의 위치 벡터 g 벡터는요 자요 삼각형 abc의 무게중심입니다 자 여기 지금 입체 도형처럼 생기는데 입체 도형이 아니에요 우리가 요거 평면에 그려져있는 겁니다 자 원점이 여기 있고요 요거를 지금 위치요 무게중심의 위치 벡터를 구할 거예요 자 그러면 무게중심은요 우리가 a와이 bc의 중점을 2:1로 내분한 점이고요 제가 이걸 한번 구해 보도록 할게요 자 여기에 있는이 OA 벡터를요이 OA 벡터를 a 벡터라고 우리가 놓을 거고요 자 여기 m은요이 b 벡터와 c 벡터의 중점이니까 자 요거는 그러면 m 벡터라고 표현되어 있는데 M 벡터를 뭐라고 구할 수 있어요 B 벡터 플러스 C 벡터 나누기 2라고 구할 수 있죠 자 이번엔 우리는 OA 벡터와 5m 벡터를 2대 1로 내분하는 위치 벡터를 구할 겁니다 자 그러면 2 + 1분의 2 곱하기 5m 벡터즉 2분의 B 벡터 플러스 C 벡터 + 1 곱하기 a 벡터고요 정리하면 3분의 a 벡터 플러스 B 벡터 플러스 C 벡터라고 구할 수가 있습니다 자 여기까지 해서요 우리가 무게중심의 위치 벡터가 3분의 a 벡터 플러스 B 벡터 플러스 C 벡터라는 것까지 구했습니다 자 오늘 배울 내용은 여기까지고요 우리가 오늘 위치 벡터에 관해서 배웠는데 우리가이 위치 벡터를 좌표 평면으로 옮겨서 여러가지 작업이나 어떤 공식을 배우도록 할 거예요 그래서 이번 시간에 배운 내용 꼭 복습하시고 다음 시간 강의 바로이어서 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]