[수학대왕] 기하 개념강의 : 평면벡터 - 평면벡터의 성분

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 학습할 내용은 평면 벡터의 성분입니다 자 우리가 오늘 할 일은이 벡터를 좌표 평면 위에 나타내고요 그 상태로 여러가지 연산하는 방법을 배우도록 할 거예요 자 일단은 그 좌표 평면으로 옮기기 위해서 기준을 잡아 줄 건데요 좌표 평면에서 x축하고 y축 위에 있는 두 점을 하나는 1 0 하나는 0 마일이라고 했을 때 각각이 점의 위치 벡터는 2번 e2라고 합니다 우리가 이원 벡터 E2 벡터라고 할 거예요 자 이원 벡터는요 1 0을 나타내는 위치 벡터고요 그러면 얘는 방향은 x축의 양의 방향이고 크기가 1인 단위 벡터입니다 자 0 콤마 1을 나타내는 위치 벡터는 우리가E2 벡터라고 할 거고요 방향은 y축의 양의 방향이고 크기가 1인 단위 벡터입니다 자 그래서 이렇게 이원 벡터는 5위원 벡터 E2 벡터는 oe2 벡터 요거를 가지고 우리가 좌표 평면에 있는 점들을이 벡터를 활용해서 나타내 줄 겁니다 자 그럼 넘어가 볼게요 어떻게 나타내느냐 바로 우리가이 평면 벡터의 성분이라는 내용을 배우면 좌표 평면에 있는 점들을 이원과 이투로 나타낼 수가 있어요 좌표 평면에서 임의의 점 A1 콤마 a2에 위치 벡터를 a 벡터라고 할 때요이 A 벡터를 어떻게 표현할 수 있냐 A1 E1 벡터 A2 E2 벡터로 나타낼 수가 있습니다 자 여기 무슨 말이냐 자 제가 예시를 들어서 설명을 좀 해보도록 할게요 좌표평면 위에 2루트 3이라는 점이 있다고 합시다 자 2루트 3이라는 점 a가 있고요 우리가요 벡터를a 벡터라고 하겠습니다요 벡터를 a 벡터라고 할 건데 자이 A 벡터는요 지금 나타내는 점이 2루트 3이라는 점인데이 점의 x좌표는 이고요 y좌표는 2루트 3입니다 그러면 우리가이 A 벡터를 어떻게 표현할 수 있냐면 요 벡터와 요렇게 되는 제가 A1 벡터라고 하겠습니다 자 이렇게 생긴 A2 벡터 두 개를 더하면 a 벡터가 나오죠 즉 a 벡터는 A1 벡터 + A2 벡터로 나타낼 수가 있습니다 자 A1 벡터를 우리가 어떻게 나타낼 거냐 바로 2원 2초로 나타낼 거예요 자 2번은 x축 양의 방향으로 가는 크기가 1인 단위 벡터입니다 자 이투벡터는요 크기가 1이 그리고 방향은 y축이양의 양의 방향으로 가는 요런 단위 벡터에요 자 그러면 A1 벡터의 크기는 뭐예요 바로 2죠 그러면 우리가 요거를 이 원벡터라고 표현을 할 수가 있고요 A2 벡터는 크기가 2루트 3이기 때문에 크기가 2루트 3이기 때문에 2루트 3 E2 벡터라고 할 수가 있는 겁니다 즉 이원 벡터 앞에 곱해주는 숫자 2는이 a라는 점의 X 좌표구요 그래서 요렇게 우리가 어떤 점 A1 콤마 a2의 위치 벡터 a 벡터를 어떻게 표현할 수 있냐 바로 x좌표 곱하기 이원 벡터 그리고 y좌표 곱하기 E2 벡터 그래서 두 벡터를 더한 꼴로 우리가 A 벡터를 표현을 할 수가 있는 겁니다 자 이때요 우리가실수 a1 a2를요 벡터 a 벡터의 성분이라고 하고요 a1을 x 성분 a2를 y 성분이라고 합니다 그래서 우리가 요렇게도 표현할 수 있지만 이원이 툴을 쓰지 않고요 그냥 A1 콤마 a2라고 벡터를 표현할 수도 있는 겁니다 자 이렇게 표현할 수 있다고 나와 있죠 자 이때 우리가 일반적으로 벡터를 성분으로 나타냈을 때에는 원점을 시점으로 하는 위치 벡터로 간주합니다 자 그러면 우리가요 내용까지 해서이 성분을 배웠습니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 그럼 개념인지 한번 보도록 할 건데요 a 벡터가 지금 3 - 4라고 주어져 있고요 2번 벡터는 1 0 E2 벡터는 0 콤마 1이라고 주어져 있습니다 자 이번 벡터 E2 벡터는 우리가 앞에서 기준으로 삼았던 두 단위 벡터고요 x축 양의 방향이고크기가 1인 벡터 하나와 x축 말고 y축 야외 방향이고 크기가 1인 단위 벡터 하나 이렇게 우리가 기준으로 잡아 줬었죠 자 우리가 지금 표현할 벡터는 3 - 4구요 즉요 벡터를 표현하고 싶은 겁니다요 벡터를 표현을 하고 싶은 거구요 자 요거를 X 성분과 Y 성분으로 나눠주면 이렇게 된 x 성분과 이렇게 y 성분의 덧셈으로 우리가 확인을 할 수 있고 요거를 우리가 32원 벡터라고 하면 되고요 요거를 -4e2 벡터라고 하면 됩니다 자 따라서 우리가 A 벡터를 이렇게 표현을 할 수가 있어요 32원 벡터 마이너스 4e2 벡터 자 쉽게 생각하면요 그냥 x 성분을 우리가 이원에다 곱해주고 성분을 E2 벡터에다가 곱해주고 요렇게 우리가표현을 할 수가 있습니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 평면 벡터의 크기인데요 자 a 벡터가 이렇게 성분으로 A1 콤마 a2라고 주어져 있을 때 우리가요 벡터가 나타내는 것은 바로이 위치 벡터죠이 위치 벡터고요요 위치 벡터의 크기는 우리가 x 성분 a1을 제곱을 해주고요 y 선분 a2를 제곱을 해서 더하고 루트를 씌워주면 우리가이 A 벡터의 크기를 구할 수가 있겠죠 자 원점부터 요점까지의 거리로 우리가 구해준 겁니다 그렇게 우리는 a 벡터의 크기를 구할 수가 있어요 자 넘어가겠습니다 이번엔 두 평면 벡터가 서로 같을 조건인데요 자 두 벡터가 이렇게 주어져 있어요 a 벡터가 있고 B 벡터가 이렇게 있는데 두 벡터가 같대요 두 벡터가 같으려면 우리가 단순히 생각해서x 성분은 x 성분끼리 같고 y 성분은 y 성분끼리 같다고 해야 됩니다 자 이게 왜 그러냐면 우리가 어떤 a 벡터가 이렇게 생겼다고 해볼게요 이렇게 요게 a 벡터입니다 그러면 a1은요 점을 말하는 거구요 a2는요 점을 말하는 건데 자 우리가이 a1과 a2의 기준을 x축 y축으로 잡아 놨어요 잡아놨기 때문에 자 얘네들을 실수로 해가지고 서로 실수배해서 a1이 A2 벡터가 되거나 a2가 A1 벡터가 되지 못해요요 A1 벡터가 A2 벡터가 되지 못하고 A2 벡터가 A1 벡터가 되지 합니다 그렇기 때문에 우리가 만약 두 벡터가 같다 그랬으면 우리가 x 성분은 x 성분끼리 같아야 되는 것이고 y 성분은 y 성분끼리 같아야 되는 겁니다 자 왜 그런 거라구요 실수배를 해서는 A1 벡터가요 A2 벡터가 될 수가 없기 때문에 우리가 x 성분은 X성분끼리 Y 성분은 y 성분끼리 같다고 계산을 해주면 됩니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 두 벡터 a 벡터는 지금 3 - 2구요 b 벡터가 x-1 콤마 3y + 1입니다 자 이때 a 벡터란 B 벡터랑 같대요 자 그러면 우리가 x값 y 값을 구해줘야 되는데 x 성분은 x 성분끼리 같아요 즉 3은 X - 1이고요 자 y 성분은 y 성분끼리 같습니다 즉 -2는 3y + 1이 되는 것이죠 자 따라서 x는 4구요 y는 -1입니다 우리가 이렇게 실수 x y의 값을 구할 수가 있습니다 자 넘어가도록 할게요 자 평면 벡터의 성분에 의한 연산인데요 자 a 벡터와 자 평면 벡터의 성분에 의한연산인데요 a 벡터가 지금 A1 콤마 a2고 B 벡터가 B1 콤마 b2일 때 우리가이 a 벡터 더하기 B 벡터를 구해 볼 거예요 자 어떻게 구하냐면 제가 예시를 들어서 좀 설명을 드릴 건데 자 a 벡터를 2 3이라고 하고요 B 벡터를 3 1이라고 하겠습니다 자 그러면 요거를 좌표 평면 위에 나타냈을 때 a 벡터의 성분이 2 3이라서 우리가 요렇게요 2 3이라는 점을 2 3이라는 점을 나타내는 벡터가 바로 a 벡터고요 자 b 벡터는 성분이 3이기 때문에 3이라는 점을 나타내는 위치 벡터입니다 이렇게 되는 것이죠 자 두 개를 더해 줄 건데요 B 벡터의 시점을 a 벡터의 종점으로 옮겨주면요런 그림이 나오죠 자 그러면 a 벡터 더하기 b 벡터는 a 벡터 더하기 B 벡터는 바로요 벡터에요요 벡터 그래서요 점을 구해야요 점을 구해야 우리가이 a 벡터 더하기 B 벡터를 성분으로 나타낼 수가 있겠죠 자 그래서요 점을 구할 건데 x 성분끼리만 보겠습니다 자 여기이 파란색 a 벡터의 x 성분은 2고요 여기까지가 2입니다 자 근데 그 다음 x 성분이 얼마나 갔어요 여기서 여기까지 3이죠 즉 요만큼 3을 더 와야 요 a 벡터 더하기 B 벡터의 x 성분이 만들어지는 겁니다 그래서 여기 성분이 몇이에요 2에다 3을 더한 5가 되는 것이죠 자 이번엔 y 성분만 볼게요 자 a 벡터의 y 성분은 3이구요 이만큼 왔습니다 지금 그랬는데 b 벡터에서 y 성분이 1만큼 가져 여기서 1만큼 더 가는 거예요 여기서1만큼 더 그러면 여기 성분이 몇이 되죠 바로 4가 되는 겁니다 우리가 3에다가 1을 더한 4가 되는 거예요 즉 a 벡터 + b 벡터는 5로 표현이 되는 거예요 자 근데 여기서 만들어진이 5 4가 어떻게 만들어진 거예요이 오는 a1과 b1을 더해준 거구요 즉 a 벡터의 x 성분과 b 벡터의 x 성분을 더해준 거고요 4는 a 벡터의 y 성분과 b 벡터의 y 성분을 더해서 만들어 준 겁니다 그래서 우리는 어떤 두 벡터가 주어져 있을 때 두 벡터의 합을 구한다 그러면 x의 성분끼리 더해주고요 y 성분끼리 더해서 우리가이 a 벡터 더하기 B 벡터를 구할 수가 있는 거예요 자 차를 보기 전에요 실수배를 먼저 볼 건데요 ka 벡터면 자 그림이 요렇게 그려질 때 자 a 벡터가 이렇게 생겼다고하겠습니다 이렇게가 a 벡터에요 그런데 만약 2A 벡터면 방향은 같은데 크기만 2배죠 크기만 2배면 우리가 성분들도 여기가 지금 a1이고 여기가 a2인데 만약에이 A 벡터면 그대로 x 성분도 그대로 x 성분도 2배가 되는 거고요 그대로 I 성분도 2배가 되는 겁니다 우리가요 삼각형과요 삼각형의 닮음을 이용해서 우리가 1대 2로 구해주면 되겠죠 그래서 실수배를 해주면 실수배 k를 곱해주면 X 성분에도 곱해주고 Y 성분에도 곱해주면 됩니다 자요 차는 어떻게 하냐 우리가 a 벡터 빼기 b 벡터인데 a 벡터 플러스 마이너스 B 벡터라고 할 수 있겠죠 자 a 벡터는 A1 콤마 a2구요 -2 벡터는 우리가 B1 콤마 b2의 반대 방향이기때문에 -b1 - b2라고 할 수가 있습니다 두 개를 더해주면 x 성분은 x 성분끼리 더하고 y 성분은 y 성분끼리 더해주면 된다 그랬죠 이렇게 우리가 벡터의 차이도 구할 수가 있어요 자 우리가 요거를 계산하는 거는 어렵지 않아요 우리가 뭐 특별하게 특이한 계산이 나오지 않았기 때문에 우리가 벡터도 계산할 때는 x 성분끼리 y 성분끼리 계산해 주면 된다 요것만 기억해 주시면 되고요 넘어가 보도록 할게요 볼 건데요 -2인데 자 1번은 지금 a 벡터 더하기 B 벡터를 구하라 그랬어요 a 벡터 + b 벡터는요 자 1 2 + -2구요 그냥 x 성분끼리 더한 -1 y의 성분끼리 더한 5 즉 -1 5라고 구해주면 됩니다 자 2번은 3a벡터 -2b 벡터인데 자 3위 벡터는 3의 지금 1헥터의 1 2라는 성분의 3배를 해준 거니까 3 6이 되는 거고요 그리고요 -2b 벡터는 여기다가 -2배를 해 준 거니까 -2를 곱해서 4 -6이 됩니다 그래서 두 개를 더해주면 되겠죠 계산을 해주면 7 0이 됩니다 자 여기까지 됐죠 우리가 성분을 가지고 연산을 하는 거는 어렵지 않습니다 정면 벡터의 성분과 크기인데요 자 우리가 A 벡터가 이렇게 주어져 있고 B 벡터가 주어져 있을 때 AB 벡터는 AB 벡터는 어떻게 구하냐 자 우리가 AB 벡터를 어떻게 구할 수 있어요 요거는 OB 벡터 -5a 벡터로 표현을 할 수가 있죠 자 OB 벡터는 B1 콤마 b2구요5a 벡터는 A1 콤마 a2입니다 두 개를 빼주면 되니까 B1 - A1 콤마 B2 - a2라고 표현을 해주면 되겠죠 자 그러면 AB 벡터의 크기는 우리가 성분의 제곱 즉 B1 - a1의 제곱 그리고 y 성분의 제곱 B2 - a2의 제곱 더하고 루트를 씌워주면 되겠죠 우리가 크기를 구하는 거는 각각의 성분을 제곱을 해서 루트를 씌워주면 됩니다 자 여기까지 됐죠 자 두 점 a와 b에 대해서 우리가 일단 AB 벡터를 구하라고 했고요 자 AB 벡터는 우리가 OB 벡터에서 way 벡터를 빼주면 되고요 OB 벡터의 성분은 6이고 5a 벡터의 성분은 2 3이니까 우리가 4 - 3이라고 구할 수가 있습니다 자요벡터의 크기는요요 벡터의 크기는 루트 x 성분의 제곱 y 성분의 제곱의 합을 계산해 주면 되고요 루트 25니까 우리가 5라고 크기를 구할 수가 있습니다 자 큰 어려움 없죠 넘어가 보도록 할게요 자 0m가 아닌 두 벡터 a 벡터와 b 벡터의 성분이 이렇게 각각 주어져 있어요 각각 주어져 있는데 만약에 a 벡터랑 b 벡터랑 평행이에요 자 우리가 벡터가 평행한 건 실수 배로 표현이 될 수 있다 그랬어요 그러면 실수배로 표현이 되면 자 b 벡터는 ka 벡터라고 표현이 되겠죠 자 그러면 우리가 이거를 성분을 이용해서 나타내면요 B1 콤마 b2는 ka1 콤마 ka2라고 표현을 할 수가 있고요 자 같으면 x 성분끼리 같고 y 성분끼리 같으니까 이렇게 비워는 ka1 b2는 ka2를 만족을 해야됩니다 자 평행하다 그러면 우리가 요렇게 식을 쓸 수도 있고요 자 요런 식으로도 쓸 수가 있습니다 자 A1 분의 b1은 A1 분의 b1은 이렇게 쓸 수가 있죠 아까 우리가 적어놓은 이식을 활용하면 ka1이니까 k고요 A2 분의 b2도 A2 분의 ka2니까 결국 k가 돼요 두 개가 같아지죠 그래서 A1 분의 b1이랑 A2 분의 b2랑 같다라고 할 수가 있는 거예요 자 우리가 좌표평면 위에서 생각하면 이렇게도 생각할 수 있을 것 같아요 자 이렇게 좌표 평면에서 시점을 다 원점으로 일치를 시켜버리면요 A1 콤마 a2가 이렇게 있을 때 B1 콤마 b2는요 결국에 요렇게 실수배로 표현이 되면요 직선 위에 있는 겁니다 뭐 여기에 있을 수도 있고요 여기에 있을 수도 있고이 직선 위에 표현이 되는데이 직선은기울기가 똑같죠이 원점부터요 점까지의 기울기나요 점까지의 기울기나 요점까지 기울기나 자이 끝점은 우리가 뭐 B1 콤마 P2 A1 콤마 A2 이렇게 표현이 되기 때문에 A1 분의 a2는 b1분의 b2다라고도 우리가 표현을 할 수 있어서 인식도 우리가 확인이 가능합니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 개념 예제 한번 풀어 볼 건데요 a 벡터와 b 벡터가 주어져 있고요 a 벡터는 -1이라고 주어져 있고 B 벡터는 3k라고 주어져 있습니다 자요 두 벡터가 서로 평행하다고 했고요 그러면 저는 요거를 써먹을게요 a1분의 a2는 b1을 써먹겠습니다 자 그러면 -1분의 2는 3분의 k이고요 우리가 여기서 K 값을 -6이라고구할 수가 있습니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 벡터의 성분에 관해서 모두 학습을 했고요 양이 조금 많았어요 양이 조금 많았으니까 모든 내용을 꼼꼼하게 복습하고 우리가 다음 진도를 나가시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]