[수학대왕] 기하 개념강의 : 평면벡터 - 평면벡터의 내적

수학대왕 [음악] 자 이번 시간학할 내용은 평면 벡터의 내적입니다 우리가 내적이라는 것을 정말 유용하게 사용할 수가 있는데요 자 일단은이 내적이 무엇이냐 우리는 벡터 두 개가 주어져 있을 때 그 벡터 두 개가 얼마나 겹쳐져 있는가 얼만큼 겹쳐져 있는가를 나타내는 값입니다 자 그래서 우리가 어떤 a 벡터와 b 벡터의 겹쳐져 있는 정도를 숫자로 나타내기 위해서 일단은이 두 벡터가 이루는 각을 먼저 확인을 할 거예요 자 a 벡터와 b 벡터가 주어져 있고요 a 벡터는 a 벡터이 벡터는 OB 벡터라고 할 때요 우리는이 a 벡터와 b 벡터가 이루는 각종 작은 각 [음악]즉 이벡터 크기에다가 코사인 세타를 곱한 값입니다 그러면 우리는이 값과이 값을 곱해서 겹쳐져 있는 정도를 나타낼 거예요 따라서 a 벡터와 b 벡터의 내적 즉 a 벡터와 b 벡터를 이렇게 동그라미로 엮어서 표현을 하고요 요게 바로 내적을 나타내는 기호입니다 요거를 어떻게 계산하냐 a 벡터의 크기와 B 벡터의 크기와 코사인 세타까지 곱해서 우리가 크기를 구할 수가 있습니다 자 우리가 이번에는 세타의 크기가 90도 보다는 크고 180도 보다는 작거나 같은 경우에 볼 거고요 이런 경우에는 a 벡터가 지금 이렇게 오른쪽을 당하고 있는데 디렉터가 반대쪽을 바라보게 되죠 그래서 a 벡터와 b 벡터를 내적을 하면요 일단은 부호가 마이너스예요 마이너스고이 b 벡터가 a 벡터 방향으로 크기를얼만큼 갖는가를 보기 위해서 우리가 여기 있는 세타가 둔각이라서 여기 있는 180 마이너스 세타를 가지고 여기서부터 여기까지 벡터의 크기를 구하게 됩니다 그게 바로 디렉터의 크기에다가 코사인 180 - 세타를 곱해준게 되겠네요 그러면 a 벡터와 b 벡터의 내적 값은 - a 벡터의 크기 그리고 B 벡터 크기 코사인 180-θ라고 나타낼 수가 있습니다 자 그게 지금 여기 교재 이렇게 나와 있는 거고요 우리가 하나 신경 써야 되는게 지금 코사인 180-θ를 우리는 코사인 세타인데 마이너스 코사인 세타로 바꿀 수가 있죠 그런데 앞에 마이너스가 하나 또 있으니까 우리가 이거는 결국 플러스 a 벡터 크기 B 벡터 크기 코사인 세터로 계산이 됩니다결국 우리가 예각일 때 구한 식과 동일하게 됐죠 그래서 우리는 결국은 내적을 계산할 때는 양 요렇게 a 벡터의 크기와 B 벡터의 크기와 코사인 세타까지 곱해서 그 내적 값을 구할 수가 있는 겁니다 자 우리가이 내적의 기호는요 동그라미로 쓰는 거 헷갈리면 안 됩니다 동그라미로 꼭 써서 내적이란 것을 표현을 해줘야 돼요 자 a 벡터가 0이거나 b 벡터가 0인 경우에는 우리가 A 벡터와 B 벡터의 내적 값은 0으로 정의를 합니다 하나의 크기가 0이기 때문에 우리는 값도 0으로 나오는 거예요 자 몇 가지 참고할 만한 내용들 보도록 하겠습니다 자 a 벡터와 b벡터의 내적은요 이렇게 a 벡터 내적 디렉터로 표현을 해주는데 얘는요 우리가 계산을 할 때 a 벡터의 크기와 B 벡터의 크기와 코사인 세타를 곱한다 그랬어요 자 a 벡터의 크기도 우리가 그냥 어떤 실수값이고요얘도 실수값이고 얘도 실수값입니다 결국이 내적이라는 것은 계산하였을 때 어떤 벡터로 나오는게 아니에요 어떤 방향을 가지고 있는게 아닙니다 크기만 나오는 거예요 크기만 그래서 실수로 나온다 요걸 알아두셔야 되고요 자 똑같은 벡터를 내적하면요 a 벡터의 크기와 a 벡터의 크기에다가 코사인 0도를 곱하는 거니까 a 벡터의 제곱이 됩니다 자 평면 벡터의 내적 a 벡터와 b 벡터 내적에 부호는 우리 세타의 크기에 의하여 정해지죠 세타가 90도를 넘냐 안 넘냐에 따라 달라지는 겁니다 자 a 벡터도 0벡터가 아니고 이펙터도 0벡터가 아니라면 그리고 세타가 0벡터 0도보다는 그거나 같고 90도보다 작아요 세타가 0도 이상 90도 미만이면 우리는 a 벡터와 b 벡터의 내적 값을 양수로 나오고요 코사이즈 타가 양수니까 내적 값도 양수로 나오는 겁니다 자 세타가90도면 코사인 세타가 90도라서 우리가 내적 값이 0으로 나오는 거고요 베타가 90도 보다 크고 180도보다 작거나 같으면 우리는 내적 값이 0보다 작다는 것을 구할 수가 있습니다 자 코사인 세타가 음수가 나오니까 내적 값도 음수로 나오는 거예요 자 우리가이 A 벡터와 B 벡터의 내적은요요 가운데 점을 찍는게 기호입니다 우리가이 점을 빠뜨리면 안 되고요 점을 빠뜨리면 안 되고 이렇게 곱셈 기호로도 표현을 하면 안 됩니다 자 요거는 이렇게 표현하면 안 되고 이렇게만 표현을 해야 된다 그렇게 기억을 해두시면 됩니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 a 벡터의 크기가 4구요 B 벡터의 크기가 5고 그리고 a 벡터와 b 벡터가 이루는 각의 크기가 60도일 때 우리는 a 벡터와 b 벡터의 내적 값을 구할 수가 있습니다 자 a 벡터의 a 벡터의 크기 B 벡터의 크기코사인 세타를 모두 곱해준 값이고요 z는 4 얘는 5 코사인 세타는 코사인 60도 코사인 60도는 1/2이죠 따라서 계산하면 우리가 내적 값을 10이라고 계산할 수가 있습니다 자 넘어가 볼게요 자 이번엔이 평면 벡터에서 어떤 벡터가 성분으로 주어져 있을 때 내적 값을 한번 구해 볼 거예요 자 시점이 이렇게 5로 일치를 하고요 종점 a로 가는 벡터를이 벡터라고 할 거고요 이렇게 비점으로 가는 벡터를 B 벡터라고 할 겁니다 그리고 여기 각도를 θ라고 할 거예요 자 그러면 우리가 ba 벡터를 성분으로 나타낼 수가 있어요 ba 벡터는 5a 벡터 - 5b 벡터고요 요거는 a 벡터 - b 벡터니까 우리가 요거를 성분으로 나타냈을 때A1 마이너스 B1 콤마 A2 - b2라고 구할 수가 있습니다 자 여기서 a 벡터와 b 벡터의 내적 값을 구하기 위해서 a 벡터의 크기와 B 벡터의 크기와 코사인 세타를 곱해주는 거고요 a 벡터의 크기는 우리가 루트 A1 제곱 플러스 A2 제곱으로 성분 값을 이용해서 구할 수가 있죠 자 b 벡터의 크기는요 b1² B2 제곱 자 이번엔 코사인 세타를 곱할 건데 코사인 세타를 우리가 코사인 법칙을 이용해서 구해 줄 겁니다 우리가 OA 곱하기 5b 곱하기 2분의 절댓값 아 절댓값이 아니고 우리가 oa의 제곱 선분 5b^2 - 3분 ab의 제곱으로 우리가 코사인 세타값을 구할 수가 있습니다 자 이때요 우리가 요거를 벡터로 표현을 해 줄 거고요 2 곱하기 5a 크기 곱하기 5b 벡터의 크기 분의 a 벡터의 크기의 제곱 + 5b 벡터 크기의 제곱 마이너스 AB 벡터 크기의 제곱으로 우리가 코사인 세타 값을 계산할 수 있고요 자 그러면 집어 넣겠습니다 5a 벡터의 크기는 A1 제곱 플러스 A2 제곱이고요 OB 벡터 크기는 B1 제곱 플러스 B2 제곱입니다 자 그리고 분자는요 5a 크기의 제곱은 A1 제곱 플러스 A2 제곱이고 OB 벡터 크기의 제곱은 b1² + B2 제곱이고 - 자 AB 벡터 크기 제곱이니까요 성분들을 각각 제곱을 해주면 되겠죠 A1 - b1의 제곱- A2 - b2의 제곱입니다 자 그러면 제가 이거를 여기다가 그대로 넣을게요이 루트 A1 제곱 플러스 A2 제곱 루트 B1 제곱 B2 제곱 분의 분자가 지금 A1 제곱 A2 되고 B1 제곱 B2 되고 - A1 - b1의 제곱 마이너스 A2 - b2의 제곱입니다 그러면 여기에 있는 루트들 모두 사라져요 루트 때 사라지고요 자 2분의 분자에 있는 거 싹 전개해서 우리가 정리를 해주면 - 플러스 2a1 B1 + 2a2b2라고 계산을 할 수가 있습니다 따라서 A1 B1 + a2b2라고 우리가 내적을 어떤 성분을 가지고 계산할 수 있는식이 나왔어요 자 이렇게 성분이 주어져 있을 때는요a 벡터와 b 벡터의 성분이 각각 주어져 있을 때는 a 벡터와 b 벡터의 내적은요 A1 B1 플러스 A2 b2로 구할 수가 있는 거예요 자 그러면 우리가 이거를 활용해서 직접 개념 예제를 한번 풀어보도록 할게요 자 a 벡터가 지금 -15라고 주어져 있고요 B 벡터가 마이너스 3 -1이라고 주어져 있습니다 a 벡터와 b 벡터의 내적은 자 x 성분끼리 곱하는 거예요 -1 곱하기 -3 + 여기는 y 성분끼리 곱해줍니다 5 곱하기 - 따라서 3 - 5구요 계산하면 -2라고 구할 수가 있습니다 자 넘어가 볼게요 자 이번엔 평면 벡터의 내적의 성질에 관해서 몇 가지 보도록 할 건데요 자 일단은 교환법칙이 성립을 합니다 A 벡터와 B 벡터의 내적 값이나 B 벡터의 b 벡터와a 벡터의 내적 값이 똑같은 거예요 자 우리가 계산식으로 확인을 할 수가 있고요 a 벡터의 크기 곱하기 B 벡터의 크기 곱하기 코사인 세타 값이나 B 벡터의 크기의 a 벡터의 크기의 구사항이 세타를 곱한 값이나 어차피 똑같죠 실제로 우리가이 내적이라는 것은 얼마나 겹치는지를 나타내는 것이기 때문에 우리가 순서를 바꿔도 어차피 계산 결과값은 똑같이 나옵니다 자 두 번째 분배법칙도 성립을 해요 a 벡터의 B 벡터 플러스 C 벡터를 내져가면요 우리가 이거를 각각 a 벡터와 b 벡터를 내적한 값과 a 벡터와 c 벡터를 내적한 값을 더해줘도 똑같이 나옵니다 자 순서를 바꿔서 a 벡터 플러스 B 벡터의 C 벡터를 해석해도 이렇게 a 벡터 내적 C 벡터 b 벡터 내적 C 벡터 두 개를 더한 값과 똑같이 나오는 거예요 자 결합법칙도 성립을 하고요어떤 a 벡터의 실수배가 있었어요 요거에다가 B 벡터를 내적을 했는데이 값이나 a 벡터와 b 벡터의 실수배를 내적한 값이나 그냥 AB 액터와 B 벡터를 내적한 값의 실수배를 한거나 똑같다이 말입니다 실수배를 그냥 우리가 원하는 곳에 달아서 계산을 해 주면 되는 거예요 자 우리가요 내용도 좋지만 우리가 문제를 풀 때 정말 많이 쓰이는시기 하나가 있어요 그거를 좀 보도록 할 건데 a 벡터 플러스 B 벡터의 크기의 제곱은요 우리가 a 벡터 플러스 B 벡터의 크기 곱하기 a 벡터 플러스 B 벡터의 크기로 구할 수가 있습니다 자 그런데 우리가 여기다가 코사인 0도를 하나 다 할 거예요 코사인 0은 어차피 1이죠 달아도 계산 값이 변하지 않습니다 그러면 얘를 우리가 뭐로 볼 수 있냐 바로 a 벡터 플러스 B 벡터의 내적 a 벡터 플러스 B 벡터요 값으로 우리가 계산을 할 수가 있는 겁니다우리가 a 벡터 플러스 B 벡터 내전 a 벡터 플러스 B 벡터는 요렇게 구할 수가 있겠죠 크기를 곱하고 두 벡터가 지금 똑같은 벡터니까 이루는 각도가 0도인 거예요 자 그러면 얘를 계속 계산을 해 줄 거고요 우리가 요거를 전개를 해주면 a 벡터 내적 a 벡터 a 벡터 내적 B 벡터 B 벡터 내적 a 벡터 b 벡터 내적 B 벡터가 나옵니다 자 그러면 얘가 지금 a 벡터 크기의 제곱 요게 B 벡터의 크기의 제곱 그리고 뒤에 요거 순서 바꿔서 a 벡터 내에서 b20으로 바꿔주면 2 곱하기 a 벡터 내적 B 벡터로 바꿀 수가 있는 겁니다 자 우리가 요식 정말 많이 쓰고요 우리가 많이 활용될 시기니까 꼭 기억해 두고 활용하시기 바랍니다 자 그럼 넘어가 보도록 할게요 자 개념 이제 볼 건데요a 벡터의 크기가 3이고 B 벡터의 크기가이고 a 벡터 플러스 B 벡터의 크기가 4다라고 주어져 있어요 그랬을 때 내적 값을 구하라고 했네요 그러면 제가 방금 전에 설명한 식을 활용해 주는 거예요 자 a 벡터 플러스 B 벡터의 크기의 제곱은요 a 벡터 크기의 제곱 더하기 B 벡터 크기의 제곱 더하기 2 곱하기 a 벡터 내적 B 벡터로 계산을 할 수가 있습니다 얘는 16이고요 얘는 9고 얘는 4죠 따라서 2A 벡터 내적 B 벡터는 우리가 3으로 계산할 수 있고요 a 벡터 내적 B 벡터는 2분의 3으로 계산이 됩니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 내적이란 것을 배웠는데 우리가 문제를 풀 때 내적의 활용도가 정말 높습니다 특히 우리가 요런 식을 활용해서도 내적 값을 구할 수 있고요 다양한 상황에서 내적 값을 구하기 될 거예요 오늘 배운 내용 꼭 꼼꼼하게 학습하시고요복습하고 다음 강의 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]