[수학대왕] 기하 개념강의 : 평면벡터 - 직선의 방정식

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 학습할 내용은 직선의 방정식입니다 우리가 벡터를 가지고 직선의 방정식을 표현하는 방법을 배워보도록 할 거예요 자 우리가 직선의 방정식이라 그러면 y는 m의 x-a+b 꼴로 나타낼 수가 있어요 기울기는 m이구요 지나는 점은 a죠 자 이런 식으로 우리가 표현을 할 수가 있는데 벡터도 마찬가지로 우리가 이런 두 가지 요소로 한번 표현을 해 보도록 할게요 자 우리가 표현할 것은이 직선의 방정식 l에서이 직선의 방정식 위에 있는 여러 점들 어떤 임의의 점 임의의 점을 나타내는 위치 벡터를 나타내는 방법을 배울 거예요 자 요거를 피벡터라고 하겠습니다 물론 p가 여기 있을 수도 있겠죠 자요런 점들을 나타내는 어떤 식을 구할 건데 자 첫 번째는 뭐가 필요하냐 직선 위에 한 점을 나타내는 위치 벡터가 필요합니다 자 여기서는 그 위치 벡터를 a 벡터라고 하겠습니다 자 이런 a 벡터가 있고요 두 번째는 뭐가 필요하냐요 직선 l과 방향이 같은 또는 방향이 반대인 방향 벡터라고 하는 요런 벡터가 하나 필요합니다 우리가 여기서는 600터라고 하고요 이렇게 방향이 같거나 반대 임팩터를 제가 방금 말했듯이 방향 벡터라고 합니다 자 이때이 유 벡터의 시점에이요 벡터의 시점을이 A 벡터의 동점으로 연결시켜주면요 이렇게 옮겨주면 유벡터가 일로 갈 수 있겠죠 그러면 a 벡터와 b 벡터를 더하면 우리가 이런 피벡터를 얻어낼 수가 있습니다 자 피벡터는 우리가 A 벡터와6벡터의 합으로 표현이 돼요 자 그런데 우리가 나타내고 싶은 건이 점 P 하나만 나타내는게 아니죠이 직선 위에 있는이 위의 점을 나타내고 싶은 겁니다 자요 위치 벡터를 나타내고 싶으면 어떻게 하면 되겠어요 우리가 방향벡터 600터에다가 어떤 실수 t를 곱해서 이만큼만 더해주면 되겠죠 그러면 요런 피벡터가 나오는 거죠 자 만약에 티를 많이 큰 값을 곱했어요 그러면 tu가 이렇게 되니까 이때는 피벡터가 이렇게 되겠죠 어쨌든 직선 위에 있는 점을 나타내는 위치 벡터가 되는 겁니다 그래서 우리가 어떤 직선 위에 있는 점을 나타내는 위치 벡터를 피벡터라고 했을 때 우리는 그거를 a 벡터 플러스 t 곱하기 600터라고 표현을 할 수가 있습니다 자 이제 t는 실수죠 어떤 실수배를 해주는 겁니다 자 그런 내용이 우리가이 교재 이렇게나와 있는 거고요 자 예시를 한번 해보도록 할게요 자 저는 y는 X + 1이라는 자 y는 x+1이라는 직선 위에 점을 나타내는 위치 벡터를 구하고 싶어요 자 y는 x+1이라 그러면 기울기가 1이고 0 콤마 1을 지나는 요런 직선이죠 자이 위에 있는 점들을 나타내는 위치 벡터를 구하고 싶고요 자이 피벡터를 구하고 싶은 겁니다 그러면 첫 번째 뭐가 필요하다 그랬어요 우리가 지나는 점 한계를 나타내는 위치 벡터가 우선 필요합니다 저는 그 벡터를 a 벡터라고 할 거고요 0 1이라는 y절편으로 하겠습니다 자 이렇게 a 벡터고요 a 벡터에다가 우리가 성분 0 콤마 1이라고 쓸 수가 있어요 자 두 번째 우리가 방향이 같거나 반대인 방향 벡터가 하나 필요하고요 자방향이 같고 요렇게 요런 벡터를 만들어 줄 거고요 제가이 벡터를 1이라고 하겠습니다 방향벡터 600터를 1이라고 할 거예요 그러면 똑같이 기울기가 1이죠 자 그러면 이거를 가지고 우리는이 피벡터를 찾아낼 수가 있고요 a 벡터에다가 t 곱하기 6벡터를 더해주면 되고 a 벡터는 0 tx를 t 콤마 t+1이라고 구할 수가 있습니다 자 여기까지 됐나요 넘어가 보도록 할게요 자 한 점과 방향 벡터가 주어진 직선의 방정식인데요 자 한 점이 이렇게 X1 콤마 y1이라고 주어져 있고요 방향 벡터 6벡터가 유원 콤마 u2라고 주어져 있습니다 자 그랬을 때 우리가이 직선의 방정식을 어떻게 표현하느냐 요거를 알아볼 건데 자 이렇게 방향 벡터가 있습니다 자방영 벡터는이 직선과 기울기가 같아요 여기울기랑요 기울기 요게 같습니다 그러면 우리가요 직선에 기울기는 원점부터 유원콤마 u2까지의 기울기 즉 u2가 바로 기울기인 겁니다 자이 직선의 기울기도 유원분의 U2 겠죠 자 그리고이 X1 콤마 y1을 지나기 때문에 우리가요 직선의 방정식을 y는 유원분의 U2 요거에 x - X1 + y1이라고 쓸 수가 있어요 자 이거를 변형을 해주면요 y - y1은 요 벡터가바로이 직선의 방향 벡터이기 때문에 우리가 요렇게 주어졌을 때는 아 방향 벡터가 유원콤마 유튜브나 요거를 찾아낼 수가 있어야 됩니다 자 그거 말고 우리가 유도하는 과정은 우리가 평소에 많이 쓰던 직선의 방정식 꼴이기 때문에 우리가 요런 식은 많이 쓸 수 있을 거예요 자 우리가이 꼴에서 이렇게 방향 벡터를 뽑아낼 수 있으면 됩니다 자 넘어가도록 할게요 자 개념 예제 한번 보도록 할 건데 점 1 2를 지나고 방향 벡터가 6벡터가 지금 -1 콤마 3인 요런 직선의 방정식을 구하라고 했어요 자 그러면이 방향 벡터는 뭐를 주는 거라 그랬어요 기울기를 주는 거라 그랬습니다 자 기울기를 주는 거구요 기울기는 -1 즉 -3이라고 우리가 알 수가 있습니다 점일 콤마 1일 지나기 때문에 y는 -3에 x-1 + 2로 구할 수가 있고요 -3x+ 5라고 우리가 직선의 방정식을 구할 수가 있겠네요 자 여기까지 됐죠 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 두 점을 지나는 직선의 방정식인데요 자 서로 다른 두 점 요정과 요점을 지나는 직선의 방정식이에요 그러면 우리가 구했던 거랑 똑같은 겁니다 우리가 어떻게 구할 수 있어요 자 y는 기울기는 어떻게 구해요 x값 증가량 분의 y 값 증가량 거기에 x-x1 + y1이라고 쓸 수가 있겠죠 자 이거를 조금 정리해 주면요 y - y1은 x2 - X1 y2 - y1 그리고 x-x1이고요 y2 - y1 분의 y - y1은 x2 - X1 x-x1이라고 정리를 할 수가있습니다 우리가 지금까지 배웠던 그리고 자영이 왔던 직선의 방정식하고 똑같은 내용이기 때문에 어렵지 않을 거라 생각을 하고요 이렇게 쓸 수 있는 경우는 지금 x1과 x2가 다르고요 y1과 y2가 다를 때만입니다 자 어떤 좌표가 주어졌는데 만약에 a라는 점이 1구요 b라는 점이 1 4예요 자 그러면 우리가 요렇게 요런 꼴로는 표현하지 못해요 지금 x좌표가 같기 때문에 여기 지금 x2 -x1이 0이 돼 버리죠 우리가 그런 경우는 제외하고 요렇게 표현되는 경우를 제외하고는 이렇게 쓸 수 있는 거고요 이런 경우는 어떤 경우에요 자 이번엔법선 벡터를 이용한 직선의 방정식인데요 자 처음 a를 지나고 0벡터가 아닌 벡터 m 벡터의 수직인 직선 L 위에 임의의 점을 pc라고 한대요 자요 m 벡터가 새로 나왔습니다 앞에서 직선의 방정식을 벡터로 표현할 때는 방향이 같은 또는 반대인 방향 벡터가 나왔는데 이번에는 우리가 요런 직선 l을 표현할 건데 어떤 벡터가 나오냐 바로이 벡터요 직선 l의 수직인 요런 벡터가 나옵니다 자이 벡터를 우리가 법선 벡터라 그래요 직선의 수직인 벡터를 법선 벡터라고 하고요 자 m 벡터라고 씁니다 인벡터라고 쓰고요 자 마찬가지로 우리가요 직선 위에 있는 점들을 나타내는이 직선 위에 점유를 나타내는 위치 벡터를 식으로 표현을 해 줄 건데요 우리가 어떤 성질이 있냐자 지나는 점 어떤 a라는 점을 나타내는 위치 벡터를 a 벡터라고 하면요 우리가 피벡터에서 A 벡터를 빼면 p 벡터에서 a 벡터를 빼면 어떤 벡터가 나와요 이런 벡터가 나옵니다 ap 벡터가 나오죠 자 요거는 ap 벡터가 나와요 자 근데 ap 벡터는 법선벡터랑 수직이죠 자 법선 벡터랑 수직입니다 그러면 수직이기 때문에 우리가이 벡터 - a 벡터의 법선벡터 m 벡터를 내려가면 바로 0이 되겠죠 2루는 각이 90도이기 때문에 코사인 90도는 0이 돼서 이렇게 내적하면 0이 됩니다 그래서 우리가 요식을 가지고 피벡터 - a 벡터의 m 벡터를 내려가면 0이 된다라는 요식을 가지고 우리가 직선의 방정식을 표현을 할 수가있어요 자 일단 요식을 요식을 조금 기억을 해 두고요 자 직선과 수직인 벡터는 무수히 많죠 자 우리가이 m 벡터의 크기가 달라질 수 있기 때문에 요런 벡터가 될 수 있고요 요런 벡터가 될 수도 있고 요런 벡터가 될 수도 있고 이런 벡터도 법선 벡터입니다 어쨌든 수직이기 때문에 자 이런 벡터들은 모두 법선 벡터가 될 수가 있습니다 자 넘어가 보도록 할게요 그래서 우리가 앞에서 배운 식을 가지고 한번 식을 직접 구해 보자는 겁니다 자 아까 p 벡터 - a 벡터에다가 m 벡터를 내려가면 0이 된다 그랬어요 자 이때요 우리가이 법선 벡터를 A 콤마 b라고 하고요 자 우리가 나타내고 싶은 위치 벡터 피벡터를 x 콤마 y라는 성분이라고 할게요 자 그리고 직선 위에 한 점이 a라는 위치 벡터를 X1 콤마 y1이라는 성분으로 표시를할 겁니다 자 그러면 p 벡터 - a 벡터는 a 벡터는 우리가 x 콤마 y - X1 콤마 y1이기 때문에 x-x1 콤마 y - y1이라는 요런 성분으로 나타낼 수가 있고요 자 여기다가 지금 m 벡터를 내적하면 x-x와 콤마 y-y1 내죠 a 콤마 b죠 자 내적은 어떻게 해요 x 성분은 x 성분끼리 곱하고 플러스 y 성분은 y 성분끼리 곱하고 그러면 0이 되는 거죠 수직이니까 그러면 우리가 이렇게 법선벡터랑 이렇게 생긴 법선 벡터랑 어떤 그 직선 위에 한 점 이렇게 주어졌을 때는 이런 식으로 직선의 방정식을 구할 수가 있는 겁니다 자우리가 이렇게 이런 법선 벡터를 이용해서 구하는 방법은 조금 새로운 방법이죠 그래서 우리가 요식을 꼭 기억해 두시기 바랍니다 아니면 우리가이 내적 해서 0이 된다는 요식을 기억해도 좋습니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 개념 이제 볼 건데요 자 2를 지나고 법선 벡터가 1 3인 직선의 방정식을 구하라고 했어요 자 제가 직선의 방정식을 l이라고 할 거고요요 직선 위에 있는 위치 벡터를이 직선 위에 있는 점에 대한 위치 벡터를 p라고 하고 x 콤마 y라고 하겠습니다 자 그리고 2를 지난다고 했네요 그러면 요렇게 2 콤마 1이 있고요 우리가 법선 벡터가 지금 1 3이죠 그러면 뭐 요렇게 수직인 법선 벡터가 1 3입니다 자 우리가 요거는 어떻게 표현을 할 수 있다 그랬어요p 벡터 - 우리가 지나는 점 2를 뺀 거에다가 여기다가 법선벡터 1 3을 내정하면 0이 되는 겁니다 자 p 벡터는 x y니까 우리가 x-2 y - 1을 이렇게 쓸 수가 있고요 여기랑 1 3을 내려가면 0이 되는 거고 자 1 곱하기 x - 2 + 3 곱하기 y - 1은 0이니까 x + 3y -5는 0이다라고 정리가 됩니다 자 이렇게 해서 우리가 직선의 방정식을 구할 수가 있죠 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 직선의 방정식을 벡터로 나타내는 법에 대해 보도학습을 마쳤습니다 우리가 직선의 방정식을 기존에 알고 있던 내용이 있기 때문에 조금 쉬운 부분도 있고요 새로운 부분도 있습니다 우리가 잘 구별해 가면서 복습 꼭 꼼꼼하게 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록하겠습니다 감사합니다 [음악]