[수학대왕] 기하 개념강의 : 평면벡터 - 두 직선이 이루는 각의 크기와 원의 방정식

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 아스팔 내용은 조직선이 이루는 가게 크기와 원의 방정식입니다 자 우리가 두 직선 l과 m에서요 각각의 방향 벡터가 주어져 있을 때 우리는 그 두 직선이 이루는 예각의 크기를 구하는 방법을 배울 거예요 자 세타가 0도 이상 90도 이하입니다 예각과 0도 90도 요런 셋탑 값을 구하는 방법을 배워 볼 거예요 자 직선이 하나가 이렇게 있고 하나가 이렇게 있으면 직선과 직선이 이루는 각은 예각 하나가 생기고 중간 하나가 일반적으로 생깁니다 90도가나 0도일 때를 제외하고는 이렇게 예각하라 중각 하나가 생기게 되는데 자요 우리는 예각을 구하고 싶어요 자 그러면 방향 벡터가 주어져 있다고 했으니까노백터를 600터락으로고요 벡터를 V 벡터라고 하면요 우리가 유백터와 V 벡터를 내적하면 유 벡터와 V 벡터를 내적하면 자 각각의 크기를 곱하고요 여기에 코사인 세타를 곱하겠죠 그러면 코사인 세타의 관의 정리를 했을 때 우리가 코사인 세타 값을 구할 수 있으니까 요거를 가지고 세타를 구할 수가 있는 거예요 자 그런데 우리가 이런 경우에는 쉽게 코사인 세타가 나오는데 방향 벡터가 항상 예각을 이루고 있는게 아닙니다 자 이렇게 생긴 유백터와 이렇게 생긴 V 벡터가 있어요 그런데 우리는 여전히 직선과 직선이 이르는 예각의 크기를 구하고 싶습니다 자 그러면 이때 유백터와 V 벡터를 내정하면요 이렇게 되겠죠 이렇게코사인에 우리가 두 벡터가 이루는 각의 크기가 파이 마이너스 세타여서 코사인 파이 마이너스 세타입니다 자 그러면 -요 벡터 V 벡터 코사인 세타가 되고요 코사인 세타에 관해서 정리를 해주면 요 벡터 V 벡터 분의 -600t 내적 V 벡터가 되는 겁니다 자 이런 경우에 유 벡터와 V 벡터의 내적 값이 음수기 때문에이 마이너스 유 벡터와 V 벡터를 내적한 값은 결국 양수가 나와요 여기 양수가 나옵니다 자 요것도 양수죠 그래서 우리는 코사인 세타를 구할 때는요 그냥 요거를 절대 값을 씌워서 절댓값을 씌워서 우리가 코사인 세타의 값을 양수를 구해서 세타를 예각으로 구할 수가 있습니다 그래서 우리가 이렇게 절댓값이씌워져 있는 이유를이 두 가지 케이스를 가지고 확인을 할 수가 있고요 코사인 세타를 이렇게 쓸 수 있으니까 이거를 풀어서 쓰면 우리가 성분으로 풀어서 쓰면 이렇게도 표현을 할 수가 있겠죠 자 그러면 한번 넘어가서 개념 예제를 보도록 할게요 자 개념 예제 보도록 하겠습니다 자 두 직선 l과 m이 이렇게 두어져 있고요 두 직선이 이루는 예각의 크기를 구하라 그랬어요 자 그랬을 때 우리는요 직선 l에 방향 벡터를 찾아 줄 거고요 방향 벡터를 찾기 위해서 5분의 x-3은 -1 y-1로 변형을 할 겁니다 자 m직선도 변형을 할 거고요 마이너스 2분의 x - 2는 3분의 y -으로 변형을 해주겠습니다 자 우리 XY 계수가 양수가 되도록 변형을 시켜 준 거예요 자 그러면 직선 l에 방향 벡터를 600터라 그러면요 벡터는5 요 직선의 방향 벡터를 V 벡터라 하면 V 벡터는 -2입니다 자 얘가 크기를 구하기 위해서 우리는 코사인 세타를 먼저 구해 줄 거고요 코사인 세타는 600t의 크기와 V 벡터의 크기에다가 요 벡터와 V 벡터를 내적한 것에 절댓값을 계산해 주면 됩니다 자 내적을 해주면요 우리가 -10 -3 이렇게 절댓값 씌워지고요 분모는요 루트 26 곱하기 루트 13입니다 자 그러면 분모는 13√2로 계산이 되고요 분자는 13이라서 2분의 루트 2로 계산이 돼요 자 그럼 θ는 몇 도예요 세타는 45도죠 우리가 코사인 세타가 1/2√2가 되는 것은 45도입니다 자 답이 45도에요 넘어가 볼게요 자 두 직선의 평행과 수직인데요 자방향 벡터가 이렇게 6벡터랑 V 벡터로 주어져 있을 때 평행하다면 평행하다면 우리가 두 방향 벡터가 이렇게 평행한 거고요 그러면 방향 벡터가 실수 베이 관계를 갖겠죠 자 수직이라면요 직선이 수직이면 방향 벡터도 수직이고요 방향 벡터가 수직이면 내적 값이 0이 되는 겁니다 이루는 각의 크기가 90도이기 때문에 코사인 세타가 0이 돼서 이렇게 내적 값이 0이 됩니다 자 그러면 우리가 요거를 가지고 한번 바로 평행할 조건과 수직일 조건을 찾아보도록 할게요 자 우리가 요거를 봤을 때 직선 l의 방향 벡터를 먼저 찾을 수 있어야 되고요 그 방향 벡터를 200터라고 하면 3 k죠 3 콤마 k입니다 자요 직선 m에 방향 벡터를 V 벡터라고 하면 자 우리가 1 6이라고 얻어낼 수가 있어요 자 1번 평행하다 그랬구요 그러면 실수배입니다실수배고 우리가 K 분의 3은 k분의 3은 6분의 1이다라고도 쓸 수가 있죠 그러면 우리가 여기서 개인은 18이다라고 구할 수가 있어요 자 요거 실수배기 때문에 요식이 성립하는 거 우리가 있지 않았죠 우리가 평행을 배우면서 했던 내용입니다 자 이번에 수직인데요 자 수직은요 우리가 유백터와 V 벡터를 내적해서 0이 되는 겁니다 그러면 3 곱하기 1 + k 곱하기 6이 0이 돼야 되니까 우리가 K 값을 - 1/2이라고 구할 수가 있어요 자 우리가 실수 벡터가 평행할 조건과 수직일 조건 우리가 이렇게 방향 벡터를 가지고 구할 수가 있습니다 넘어가겠습니다 자 이번엔 벡터를 이용한 원의 방정식인데요 자 a를 중심으로 하고 반지름의 길이가 아닌 그 원 위에임의의 점을 p라고 한대요 자 제가 그러면 좌표평면 위에다가 원을 하나 그려 볼게요요 점을 a라고 할 거고요 요거를 중심으로 하고 반지름이 아린데 여러 원이 있습니다이 원 위에 임의의 점을 p라고 할 때요 여기 성립한대요 피벡터 - a 벡터의 크기가 아니다 자 여기 피벡터에요 요게 피벡터고 요게 a 벡터입니다 그러면 피벡터에서 a 벡터를 빼면 요런 벡터가 나오죠 ap 벡터가 나와요 자 그런데 원 위에 있는 점 피기 때문에 p의 위치가 이쪽으로 변하면 우리가 ap 벡터는 이렇게 되겠죠 자 뭐 여기 있을 수도 있고요 여기 있을 수도 있고 여기 있을 수도 있습니다 자 근데이 p의 위치가 어디가 됐든 이렇게 생긴 ap 벡터들의 크기는 모두 반지름 r과 같겠죠 왜냐 원이기 때문에 우리가 원이란 것은반지름의 길이가 항상 똑같은 반지름의 길이가 유지되는 점들을 집합이기 때문에 우리가요식이 성립을 하는 거구요 이거를 우리가 p 벡터 - a 벡터와 b 벡터 - a 벡터의 내적이 반지름의 제곱이다라고 쓸 수가 있는 거예요 같은 벡터니까 우리가요식이 성립하는 거 기억나죠 우리가 내적에서 했던 내용입니다 자 그러면 넘어가서 개념인지 한번 보도록 할 건데요 a라는 점이 1 4구요 그리고 ap 벡터의 크기가 3으로 유지된대요 자 그러면 자 피벡터를 x 콤마 y라고 하면요 ap 벡터는 x-1 Y - 3입니다 자요 벡터의 크기는요 루트 x-1^2 + y - 4의 제곱이고요이 값이 3이죠 양변을 제곱해주면 x - 1의 제곱 플러스y - 4의 제곱이 9라서 우리가 요렇게 중심이 1 4구 반지름이 사이 3인 반지름이 3인 원의 방정식을 찾을 수가 있습니다 요게 바로 점피가 나타내는 도형의 방정식이죠 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 학습할 내용은 모두 마쳤구요 우리가 오늘 배운 내용도 꼭 꼼꼼하게 공부하고 문제도 풀고 다음 강의 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]