[수학대왕] 기하 개념강의 : 공간도형과 공간좌표 - 직선과 평면의 위치 관계

수학대왕 [음악] 자 이번 시간은 스팟 내용은 직선과 평면의 위치 관계입니다 자 우리가 이제 공간 도형이 들어오면서 여러가지 도형들의 위치 관계를 좀 다시 한번 정리할 거예요 자 평면의 결정 조건인데요 평면의 결정 조건이라는 것은 우리가 어떤 걸 의미하냐면 우리가 이런 4가지 케이스에 대해서이 4가지 케이스에 대해서 평면이 딱 하나 정해지는 것을 우리가 말합니다 예를 들어 1번 케이스에는 이렇게 세 점이 한직선 위에 있지 않은 서로 다른 새의 점이라고 주어져 있는데 이런 경우에이 세 점을 지나는 평면은 딱 한계가 있는 거예요 자 우리가 이런 거를 결정 조건이라고 하고요 자 이렇게 세 점을 지나는 평면을 딱 하나구요 우리가요 세 점을 한직선 위에 있지 않으니까 이렇게어떤 삼각형을 이룰 수도 있습니다 이렇게 삼각형을 이룰 수도 있고요 그 삼각형을 포함한 평면은 딱 하나 있는 거예요 자 두 번째 한 직선과 그 위에 있지 않은 점이고요 자 우리가요 직선을 지나는 평면은요 엄청 많습니다 요렇게 생긴 평면도 있을 거예요 이렇게요 직선을 포함하고 이렇게 위로 이렇게 가는 평면도 있을 수 있고요 뭐 이렇게 기울어진 이렇게 기울어진 평면도 있을 수가 있습니다 자 한 직선을 지나는 평면은 여러 개가 있는데 그 평면들 중에서요 점을 지나는 벽면은 딱 요거 하나 있는 거예요 이렇게 생긴 거 됐죠 3번은 한 점에서 만나는 두 직선이고요 우리가 이렇게 직선 2개가 있으면 직선 2개가 있으면 평면이 하나가 결정됩니다 이렇게 한직선이 한 점에서 만나는 주직선이 있을 수도 있고요네번째 케이스는 평행한 두 직선 이렇게 직선과 직선이 만나지 않아도 부직선이 평행하다면 평행하다면 어떤 평면 하나가 결정되는 거예요 자 우리가 이것도 마찬가지로 직선이 하나가 있으면요요 직선을 지나는 평면은 아주 많습니다 이렇게 생긴 평면도 있을 거고 다양한 평면이 있는데 그 중에서 딱요 직선도 지나는 평면은 요거 빨간 평면 하나가 있는 거예요 됐죠 넘어가 보도록 할게요 자 그림과 같은 사각뿔의 꼭짓점으로 만들 수 있는 서로 다른 평면의 개수를 구하라고 했고요 자 일단은 우리 눈에 가장 잘 보이는 평면 요렇게 어떤면 이 abc라는 면이 나타내는 평면이 있을 거고요 ABC acd도 있겠죠 이렇게 각 면이 하나의 평면을 만들어냅니다 aed도 있고요 abe도 있습니다abe 자 그리고 또 뭐가 있어요 밑면 bcd도 있죠 bcde도 하나의 면을 나타냅니다 하나의 평면을 나타내고요 자 여기서 끝난게 아니라요 우리가 꼭짓점으로 만들어 낼 수 있는 벽면이기 때문에 a랑 b랑 d를 뽑으면 이런 평면도 만들어 낼 수가 있죠 자 우리가 지금까지 썼던 평면과는 겹치지 않아요 abd를 만들어낼 수도 있고요 또 하나 우리가 aec도 만들어낼 수 있습니다 그렇게 aec 자 이렇게 하면 몇 개예요 7개죠 그래서 평면 총 7개 만들어 낼 수 있습니다 자 넘어갈게요 공간에서 두 직선의 위치 관계인데요 자 우리가 공간에서 서로 다른 두 직선의 위치 관계는 세 가지 종류가 있어요 한 점에서 만나는 경우랑요이렇게 평행한 경우가 있습니다 그리고 꼬인 위치가 있어요 자 우리가 한 평면 위에 있으면요 두 직선이 어떤 한 평면에 있으면 한 점에서 만나거나 평행하거나이 두 가지 경우밖에 없습니다 두 가지 경우밖에 없는데 공간에서는 우리가 요렇게 꼬인 위치가 하나 추가되는 거예요 꼬인 위치가 이렇게 해서 총 직선과 직선 사이의 위치 관계는 세 가지가 있습니다 자 직선이 만약에 우리가 이런 정육면체를 그려서요 위치 관계를 파악할 수가 있는데 자 이렇게 생긴 정육면체에서 요 빨간 직선의 평행한 직선은 몇 개예요 자 평행한 직선은 하나 둘 세개입니다 평행한 직선 3개 있어요 자 한 점에서 만나는 직선 몇 개예요 한적 한 점에서 만난 직선요거 하나 요거 하나 요구하나 요구하나 자 한 점에서 만나는 직선 4개 있습니다 자 그럼 나머지 이렇게 평행하지도 않고 한 점에서도 만나지 않는 직선 요거 요거 요거 요거 이거를 바로 꼬인 위치에 있다고 하고요 꼬인 위치에 있는 직선 우리가 4개 찾을 수가 있습니다 자 이때 평행하거나 한 점에서 만나면 우리가 어떤 한 평면 위에 있다라는 거를 알 수가 있고요 자 평행한 경우 요거랑 요거랑 평행하면 이런 평면 위에 있죠 얘랑 얘랑 평행하면 이런 평면 위에 있고요 자 이런 식으로 평행하면 우리가 그 두 직선을 가지고 어떤 평면을 하나 만들어 낼 수가 있어요 자 한 점에서 만나는 경우도 마찬가지입니다 얘랑 얘랑 한 점에서 만나고 이런 평면 만들어 낼 수 있죠 자 얘랑 얘랑얘랑 얘도 이런 평면 하나 만들어 낼 수가 있습니다 이렇게 한 점에서 만나거나 병행한 경우는 어떤 평면을 우리가 만드는 수 있다는 거 그것까지 기억해두시면 될 것 같아요 자 밑에 있는 내용들 좀 읽어보도록 할게요 주직선 l과 m이 한 평면에 있고 서로 만나지 않을 때 우리가 이런 경우에는 평행하다라고 하고요 기호로는 우리가 지금까지 써왔던 평행 기호를 씁니다 자 서로 다른 새 직선 l과 m과 n에 대해서 l과 m이 평행하고 m과 n이 평행하면요 l과 n이 평행하다 되어 있어요 자 우리가 요거를 l이라고 하고요 이거를 m이라고 했을 때 지금 두 개가 평행하죠 자 그리고 또 다른 직선 평행한 n이라는 직선이 있다고 합시다 자 얘랑 얘도 만약에 평행이에요 그러면 자연스럽게 l과 n도 병행하다라는 내용입니다자 두 직선이 만나지도 않고 평행하지도 않을 때 꼬인 위치에 있다라고 하고요 자 마지막네 번째 내용 보면 만나지 않는 두 직선이 만나지 않는 두 직선이 한 평면 위에 있으면 두 직선은 평행한 거고요 한 평면 위에 있지 않으면 꼬인 위치에 있는 겁니다 자 만나지 않는 건 두 개예요 병행하거나 꼬인 위치에 있거나 그런데 두 직선이 한 평면이 있으면 그거는 병행한 거고 한 평년 위에 있지 않으면 그거는 꼬인 위치에 있는 겁니다 자 여기까지 내용 됐죠 자 개념 예제 보도록 할 건데요 직선 ad와 직선 ad와 꼬인 위치에 있는 직선을 구하는 거예요 자 코인 위치에 있는 직선 뭐죠 ef BF HG CG 얘네들이 꼬잉 위치에 있는 직선입니다 우리가 아까 정육면체를 가지고도 했었죠 고인 위치에 있는 직선 efBF 그리고 HG CG 얘네들이 꼬인 위치에 있는 직선입니다 이렇게 4개 찾아주면 됩니다 넘어가도록 할게요 자 이번엔 직선과 평면의 위치 관계인데요 자 이런 경우에는 세 가지가 있습니다 이렇게 평면이 직선과 한 점에서 만나는 경우가 있고요 이렇게 한 점에서 만나는 경우가 있고 뚫고 지나가죠 자 두 번째는 포함되는 경우입니다 어떤 평면에 그 평면 안에 직선이 있는 거예요 뭐 이런 식으로도 있을 수 있겠죠 이런 식으로도 있을 수 있고요 세 번째는 평행하다고요 우리가 이렇게 벽면과 직선이 만나지 않는 경우에 평행하다고 합니다 만나지 않으면 모두 평행한 거예요 자 우리가 여기서 조금 착각하기가 쉬운게 제가 오각기둥을 좀 그려 볼게요 오각기둥을 그릴 건데 우리가 여기서말하는 평면이라는 거는 우리가 이렇게 그려놓은 사각형을 의미하는게 아니라요 저렇게 그려놓은 사각형을 의미하는게 아니라요 면을요 평면을 포함한이 평면을 확장한 평면을 말합니다이 평면을 확장한 평면을 의미하는 거예요 그런데 우리가 그거를 그냥 사각형으로 이런 식으로 좀 표현을 해주는 겁니다 자 그러면이 오각기둥에서이 오각기둥의 밑면과 평행한 모서리를 찾아볼 건데 자이 밑면이 있어요 근데 우리가이 면을 확장해서요 면을 의미하는 겁니다요 면을 의미하고요 이런 직선들 모두 얘랑 이렇게 된 5개의 선 모두이 밑면하고 평행한 거예요 자 그림이 지금 우리이 평행하다는 그림이 이렇게 사각형의 직선이 조금 똑바로 놓인 형태로 그려져 있는데 요직선이 꼭 이렇게 일직선으로 놓여 있는 형태가 아니라밑에 있는 평면이 확장이 되기 때문에 요런 직선들도 어차피 쭉 확장해도 밑면과 만나지 않죠 만나지 않기 때문에이 5가지의 모서리 모두 밑면과 평행한 모서리들입니다 자 그러면 어떤 경우에 한 점에서 만나냐 자 제가이 오각기둥을 자를 거예요 요렇게 조금 기울어진 요런 평면으로 잘라주면요 단면이 뭐 요런 식으로 생기겠죠 이런 식으로 생길 겁니다 그러면 여기에 있는요 직선을요 우리가 쭉 늘리면 쭉 늘리면 밑에 있는 면을 확장했을 때 어디선가 만나겠죠요 밑면을 확장했을 때 어디선가 만납니다 이런 경우에 한 점에서 만난다라고 하는 거예요 자 우리가 여기서 말하는 직선과 평면은요 우리 눈에 보이는 부분뿐만 아니라 직선은 쭉 늘릴 수 있고요벽면은 쭉 확장을 할 수가 있으니까 그것까지 고려해서 교점의 개수 또는 위치 관계를 파악을 해 줘야 됩니다 자 그러면 우리가 밑에 있는 내용을 좀 읽어 보도록 할게요 직선 l과 평면 알파가 서로 만나지 않을 때 우리는 그거를 평행하다고 하고요 기호로 똑같이 우리가 평행 기호를 써서 나타냅니다 자 교점이 두 개 이상인 경우 직선의 알파가 교점이 두 개 이상인 경우에는요 직선의 포함된다라고 할 수 있어요 직선과 어떤 평면이 교점이 딱 두 개다 하는 불가능합니다 교점이 3개인 것도 불가능하구요 우리는 딱 교점이 한계거나 포함되거나 아니면 안 만나거나 이렇게 3가지만 있는 겁니다 자 마지막 세 번째는요 직선 l과 평면 알파가 평행하면 우리는 직선 이름 평면 알파 위에 어떤 직선과도 만나지 않는다라고 되어 있어요 자 그러면 이렇게 해석을 할 수 있는 겁니다어떤 평면이 이렇게 있는데요이 평면과 만나지 않는 즉 평행한 직선 l이 이렇게 있습니다 그러면이 평면 안에 포함된 직선이 뭐 여러 개가 있을 거예요 뭐 이런 식으로 직선이 여러 개가 있을 수 있는데이 직선들 모두이 직선과 만나지 않는 겁니다 자 꼬일 수도 있고 꼬인 위치일 수도 있고 평행할 수도 있겠죠 그거는 우리가 알 수가 없습니다 하지만 어쨌든 만나지 않는다 교점이 없다라는 거는 알 수가 있습니다 자 여기까지 됐죠 자 넘어가 보도록 할게요 자 기념일을 보도록 할 거고요 다음 그림과 같은 직육면체에서 직선 ad와 다음의 위치 관계에 있는 평면을 모두 구하라고 했어요 자 1번은 한 점에서 만나는 평면을 구하라고 했구요 자 a점에서 만나는 평면 뭐예요 a b f2가 있죠 abfe 자 그리고 d점에서 만나는 평면[음악] dcgh가 있습니다 dcgh가 있어요 자 포함되는 거 찾아볼게요 ad를 포함해야 되니까 우리가 abcd를 하나 찾을 수 있고요 abcd뿐만 아니라 adh2도 우리가 직선 ad를 포함한 평면이죠 adhe 자 평행한 거는요 우리가이 ad를 포함하면 안 되기 때문에 요렇게 생긴 bcgf라는 평면과 pcgf라는 평면과 efgh라는 평면을 찾을 수가 있습니다이 fgh 여기까지 됐죠 넘어가 보도록 할게요 자 두 평면의 위치 관계인데요 공간에서 두 평면의 위치 관계는 다음과 같대요 자 두 가지가 있습니다 만나거나 평행하거나즉 안 만나면 평행한 겁니다 자 이렇게 두 가지가 있고요 우리가 여기서 조금 중요한게 만날 때는요 항상 교우 선이 생깁니다 우리가 만나는 부분을 모아보면 이렇게 항상 직선이 생기는 거예요 자 병행한 거는 아예 어떤 것도 생기지 않습니다 우리가 항상 중요하게 생각해야 되는 건 우리가이 평면을 눈에 보이는 평면이 아니라 확장해서 생각을 할 수가 있어야 돼요 자 정사면체를 좀 하나 그려 볼게요 자 우리가 밑에 있는 내용 보고넘어가 보도록 할게요 자 서로 다른 두 평면이 만날 때 두 평면이 공유하는 직선을 우리가 두 평면의 교선이라고 합니다 자 교선은 두 평면에 모두 존재하는 직선인 거예요 자 두 번째 두 평면이 평행하면 한 평면 위에 어떤 직선도 자 이렇게 생긴 직선이 있어요 한 평면 위에 어떤 직선이 있으면 요직선은 이평면과 만나요 안 만나요 안 만나죠 안 만나구요 요렇게 또 다른 직선을 그어도 밑에 있는 면하고 안 만납니다 한 평면 위에 어떤 직선도 다른 평면과 만나지 않으므로 한 평면 위에 모든 직선은이 평면 위에 있는 모든 직선은 다른 평면과 평행하다이 평면과 평행하다라고 할 수가 있는 겁니다 자 됐죠 넘어갈게요 자 기념해서 볼 건데요 다음 큰 그림과 같은 정팔면체에서 자 abc와평행한 평면을 찾는 거예요 자 abc랑 평행한 평면을 찾는 건데 자 일단은요 acd랑요 acd랑 여기에 있는 ab 2랑 bcf는 우리가 조선을 가지고 있죠 ac와 ab와 bc라는 교선을 각각 가지고 있어요 자 우리가 만나는 평면이고요 여기서 헷갈린게 ade라는 평면을 좀 보도록 할게요 자 ade라는 평면을 볼 건데 자요 평면과 abc라는 평면이 지금 우리 눈에는 어떤 교선이 아니라 a라는 한 점에서만 만나는 것처럼 보여요 하지만 우리는 벽면을 고려할 때 항상 확장을 해서 생각을 해줘야 됩니다 어떤 aed를 지나는 평면을 요렇게 요런 식으로 우리가 그릴 수가 있고요 abc를 포함한 평면을요렇게 그릴 수가 있습니다 이렇게 요렇게 그러면 두 평면이 어떻게 되고 있어요 교선을 만들어 내고 있죠 이렇게 그래서 우리가 이렇게 한 점에서 만나는 것처럼 보여도 사실은 그 점을 포함한 어떤 교선을 가지는 관계다 만나는 관계다 우리가 그렇게 볼 수가 있습니다 자 dcf도 마찬가지고요 우리가 bef도 마찬가지입니다 자 나머지 def라는 평면이 우리가면 abc의 평행한 평면이에요 자 여기까지 해서 우리가 오늘 공간에서 어떤 직선과 평면의 위치 관계 학습을 모두 했고요 오늘 배운 내용들은 사실 조금 헷갈린 내용들이 많아요 우리가 항상 평면과 직선을 좀 확장해서 생각해 줘야 되는 거 꼭 기억해 주시고 하나씩 가져가면서 내용 잘 정리하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다감사합니다 [음악]