[수학대왕] 기하 개념강의 : 공간도형과 공간좌표 - 직선과 평면의 수직

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 학습할 내용은 직선과 평면의 수직입니다 자 일단요 우리가 직선이 직선과 이루는 각도에 관해서 조금 정리를 할 건데 우리가 두 직선에서 어떤 평행 관계는 따로 각도를 정의하지 않습니다 우리가 평행하면 만나지 않기 때문에 각도를 따로 정리하지 않고요 자 먼저 주직선이 한 점에서 만나는 경우입니다 두 직선이 한 점에서 만나는데 직선 l과 m이 이렇게 한 점에서 만난다고 할게요 자 그러면 우리는이 l과임이 한 점에서 만날 때 l과 m이 포함된 평면을 딱 하나 그릴 수 있어요 이게 바로 평면의 결정 조건 중 하나죠 두 직선을 가지고 부직선이 포함된 평면 하나를 만들어낼 수가 있어요 그러면 이때이 평면 위에서l과 m이 이루는요 각의 크기를 직선 l과 직선의 크기라고 합니다 자 우리가 어떤 공간에서요 l과 m이 있을 때 두 직선이 한 점에서 만나요 그때 그 두 직선이 이루는 각도는 l과 m이 포함된 평면에서 생각을 한다 우리가 이렇게만 정리를 하면 될 것 같아요 자 두 번째는 꼬인 위치인데요 자 두 직선이 꼬인이 칠 때는 처음엔 만나지 않죠 자 이렇게 직선의 1과 직선 m이 있습니다 l이 이렇게 있고 m이 이렇게 있어요 그러면 우리는요 직선 l을 평행 이동을 시킵니다 평행 이동을 시켜서 이렇게 m과 한 점에서 만나도록 평행 이동을 시켜주는 거예요 그때 만나는 점을 5라고 할 거고요 그렇게 새로 그려진 직선을 L 프라임이라고 할 겁니다 그러면 마찬가지로 엘프라임과 m이 포함된 평면에서 그 평면에서 a 프라임과 m이 이루는 각의 크기를 우리는이 꼬인 위치에 있는 직선들이이루는 가게 크기로 정의를 합니다 자 주 직선이 한 점에서 만나면 주직선이 포함된 평면에서 가게 생각해 주면 되고 만약에 두 직선이 꼬인 이치면 꼬인이 치면 한 점에서 만나도록 평행 이동을 시켜서 그 다음에 각도를 고려해주면 됩니다 자 밑에 있는 내용 한번 읽어 볼 거구요 자 두 직선 l과 m이 이루는 각이 직각일 때 두 각이 l과 m이 이루는 각이 직각일 때 그때 바로 수직이라고 하고요 기호로는 이렇게 우리가 평소에 쓰던 수직 기호로 나타낼 수가 있습니다 자 그리고 두 직선이 이루는 각은 크기가 크지 않은 쪽에 각으로 생각을 합니다 자 우리 맨 처음에 봤던 그림을 보면 각도가 여기만 있는게 아니라 여기도 있어요 하지만 우리가 일반적으로 작은 예각을 선택을 합니다 자 여기까지 됐죠 넘어가겠습니다 다음과 다음 그림과 같은 정육면체에서 우리는 지금 ag와에이즈와 cf가 이루는 각의 크기를 찾을 거예요 자 두 직선은 지금 꼬인이 치고요 우리가 평의 이동을 시켜서 한 점에서 만나도록 해야 됩니다 자 어떻게 할 거냐 바로 cf를요 cf를 이렇게 옮겨 줄 거예요 자 여기 정육면체의 한 면의 이렇게 오는 거죠 그래서 요거를 이렇게 그림을 그려 줄 거고요 우리가 그러면 찾아야 되는 각도는 여기서부터 여기까지 각도구요 이거를 θ라고 했을 때요 세타는 어떻게 찾냐 우리가 삼각형을 만들어 주는 겁니다 그렇게 해서 각변 길이를 구해서 우리가 코사인 세타를 찾아주면 돼요 자 그러면 우리가 요구를 찾기 위해서 제가 한 변 길이를 1이라고 하겠습니다 우리가 어차피 각도를 찾는 거기 때문에 길이는 임의로 정해줘도 됩니다 자 1이라고 하면요 여기는 루트 2구요 여기는 루트 3이죠자 여기는 몇이에요 1의 1의 1이니까 1의 2로 피타고라스를 써주면 루트 5인 거를 찾을 수 있습니다 자 그래서 우리가 여기서는 코사인 세타를 구하기 위해 코사인 법칙을 써주고요 2 곱하기 루트 2 곱하기 루트 3분의 2 + 3 - 5입니다 몇이 나와요 0이 나오죠 세타는 바로 90도입니다 자 우리가 코사인 법칙을 쓰지 않고도요 이렇게 루트 2랑 루트 3이랑 루트 5가 피타고라스의 정리를 성립한다는 것을 봤으면 바로 90도라고 해도 되는데 우리가 항상 90도가 되는 건 아니라서 제가 코사인 법칙을 코사인 법칙을 사용해서 세타 구하는 것을 한번 보여 드렸습니다 자 여기까지 됐나요 넘어가 볼게요 자 직선과 평면의 수직인데요 우리가 직선과 평면의 수직은 어떻게 정리하고 있냐면 직선 l이 평면 알파와 일단 한 점에서 만나요 그 점이 바로 옵니다 자 5라는점에서 만나구요 그 평면 알파 위에 점호를 지나는 평면 알파 위의 모든 직선과 수직일 때 우리는 직선 l과 평면 알파가 서로 수직이라 그래요 자 요렇게 평면 알파가 있고요 벽면 알파가 있고 직선 l이 이렇게 있습니다 직선의 이렇게 있는데 뭐라 그랬냐면이 직선과 평면이 만나는 점 5를 지나면서 평면 알파 위에 있는 모든 직선에 대해서이 직선 l과 수직이라면 우리는 직선 l과 알파가 수직이다라고 하는 거예요 자 이때요 직선 애를 평면 알파의 수선이라 그러고요 직선 l과 평면 알파가 만나는 점 5를 수선해 발이라고 합니다 자 우리가요 덤을 수선의 발이라고 하는 거겠죠 자 우리가 기호도 항상 쓰던 기호를 사용하고요 수선의 발휘한 용어도 우리가 많이 사용했던 용어죠 우리가언제 수직인지만 따로 좀 체크해 주면 될 것 같습니다 자 그러면 우리가이 직선과 평면에 수직에 대한 정리가 있는데요 직선 l이 평면 알파와 한 점 5에서 만나구요 점 5를 지나는 평면 알파 위에 서로 다른 두 직선 m과 n과 각각 수직이면 애마고도 수직이고 엔하고도 수직이면 우리는 직선 l과 평면 알파는 수직이다라고 할 수가 있어요 자 아까 우리가 알파 위에 있는 모든 직선과 수직인 걸 수직이라고 했는데 모든 걸 따질 필요 없이 두 개에 대해서만 우리가 수직인 걸 확인하면 그것만으로도 충분히 직선 l이 알파랑 수직이라고 할 수가 있는 겁니다 자 그래서 이런 내용이 있어요 l과 알파가 수직인 걸 보이려면 알파 위에 평행하지 않은 서로 다른 두 직선이 l과 수직인 걸 보여주면 됩니다 자 두 개만 확인해 주면 되는 거예요 자넘어가 볼게요 자 개념인지 한번 보도록 할게요 다음 그림과 같은 정육면체에서 직선 a씨와 평면 dhfb가 이루는 가게 크기를 구하라 그랬어요 자요 평면하고요요 평면하고 직선 ac가 ac가 이루는 각의 크기를 구하라고 했는데 자 일단은요 우리가 abcd가 정사각형이고 A c와 bd가 대각선이기 때문에 우리가요 대각선이 서로 수직이라는 것을 알고 있어요 그죠 자 그리고 두 번째 제가 여기에 있는이 bf라는 선분을요 대각선의 교점에다가 이렇게 옮겨주면 이 a씨와요 옮겨진 성분도 수직이라는 걸 알 수가 있습니다 a씨는 밑면에 있는 직선이고요 이렇게 옮긴 선분은 높이기 때문에 우리가 이것도 수직하다는 것을 알 수가 있죠 자 그러면직선 ac랑 직선 ac랑 얘도 수직이고 얘도 수직이에요 그러면 두 개를 포함한 평면 BF hd도 수직이겠죠 따라서 직선 a c와 평면 dhfb가 이루는 각의 크기는 90도라고 우리가 찾을 수가 있습니다 자 여기까지 해서요 우리가 직선과 평면의 수직에 대한 수직에 대한 정리까지 모두 했고요 우리가 두 직선이 이루는 각과요 내용까지 해서 복습고 꼼꼼하게 해주시고 오늘 내용은 여기서 마치도록 하겠습니다 자 고생 많으셨습니다 감사합니다 [음악]