[수학대왕] 기하 개념강의 : 공간도형과 공간좌표 - 두 평면이 이루는 각의 크기

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 학습할 내용은 두 평면이 이루는 가게 크기입니다 자 우리가 평면과 평면이 이루는 각의 크기를 계산하기 위해서 조금 정확하게 정의를 하도록 할 거예요 자 그 정의를 하기 위해 이면각이라는 내용을 먼저 공부하도록 할게요 자 이명박 내용을 읽어 볼 건데 평면 위에 한직선은 급평면을 두 부분으로 나눈다라고 되어 있어요 자 이게 무슨 말이냐 이런 평면이 있다고 합시다 평면이 이렇게 있을 때이 벽면을 두 부분으로 나누는 요런 직선이 있는 거예요 자 그러면 직선은 무한히 뻗어나가기 때문에 우리가 이렇게 두 부분으로 나뉘어져 있다고 볼 수가 있죠 자 그때이 각각을 요거랑 요거를 각각 반평면이라고 합니다 요거를 반평면이라고 하는 거예요 자요거를 직선 l이라고 했을 때 직선 l을 공유하는 단평면 알파베타로 이루어진 도형을 이면각이라고 한답니다 자 요거를 지우고요요 반 평면 하나와 또 다른 반평면 이렇게 조금 기울어진 그리고 직선 애를 공유하는 요렇게 반평면 두 개로 이루어진 도형을 이런 도형을 이면각이라고 한대요 자요 그림이 바로요 그림이죠 알파라는 반평면이 이렇게 직선 l에 의해서 잘려져 있고요 그리고 반평면 베타가 직선 a를 공유하면서 이렇게 생긴 겁니다 자 이런 거를 이런 도형을 우리가 이면각이라고 하는 거고요 직선 l을 이면각의 변이라 그러고 반평면 알파 베타를 각각 이면각의 면이라고 합니다 자 요거를 이면각의 변이라고 하고요 각각의 면을 이면각의 면이라고 하는 거예요 자 그러면 이때 이면각의 크기라는 것은 무엇이냐 자 이면각의변 L 위에 우리가 아무 한 점 임의의 한 점 5를 지나면서요 자요 점을 지나면서 직선 l의 수직인 두 간직선 직선의 수직인 두 반직선을 각각 알파와 베타 위에 이렇게 그을 수가 있습니다 자 반직선을 이렇게 그을 수가 있죠 얘는 알파 위에 있는 거고요 얘는 베타 위에 있는 거예요 자 그러면 aob의 크기를요 크기를 우리가 바로 이면각의 크기다라고 하는 거예요 그리고이 이면각의 크기를요 우리가 점 o의 위치를 여기로 바꿔도 여기로 바꿔도 변하지 않습니다 어차피 우리가 요거를 수직으로 만들어 냈기 때문에 여기서부터 여기까지 각도는 일정한 거예요 자 그러면이 크기를 어디에 쓰냐 바로 두 평면이 이루는 각의 크기를 물어봤으면 우리는 바로이 이면각의 크기를 말합니다 자 그런데평면과 평면이 만나는 것은 우리가 이면각이 하나만 생기는게 아니에요 자 평면이 이렇게 있고요 또 다른 평면을 제가 파란색으로 그릴 건데 자 요렇게 요렇게 교선이 있고 또 다른 평면이 이런 식으로 있을 수가 있죠 이렇게 자 이렇게 있을 수가 있는데 각도가 4개 생겨요 바로 요렇게 생긴 교선에 수직인 선분을 그어보면 이렇게 하나 각도 둘 여기 각도색 여기부터 여기까지 각도 넷네 개의 각도가 생깁니다 그 중에 우리가 말하는 이면각이라는 거는요 흔히 크지 않은 한 이면각의 크기를 말하는 거예요 즉 요기 각도랑요 여기와 여기 각도 이렇게 둘 중 하나 어차피 같은 각이죠 요런 각도를 우리가 두 평면이 이루는 각의 크기라고 합니다 그러면 우리가 두 평면이 이루는 각의크기를 구해야 된다 하면 결국은 이면각의 크기를 구해줘야 되는 것이죠 자 그래서 우리가 이면각이란 거는 부평면이 이루는 각의 크기를 구하기 위한 수단이고요 평면 알파와 베타가 이루는 각이 직각일 때 우리가 평면 알파 베타는 수식이라고 하죠 그리고 이렇게 기호로 나타낼 수 있는 것까지 나와 있습니다 자 개념 예제 볼 건데요 정사면체의 모서리 ad의 중점을 m이라고 하고요 여기 중점의 m이라고 하고 평면 bcm과 자요 평면과 bcm과 그리고 평면 bcd가 이렇게 생긴 bcd가 2루는 각의 크기를 θ라고 한대요 자 그러면우리가 봤을 때 지금 BCM 하고 bcd하고 만나는 교선이 바로 bc죠 그러면 우리가이 bc의 임의의 한 점을 잡고요 수직인 선분을 각각 평면 위에 그어 줄 건데 요런 수직인 성분을 그어 줄 건데 자 이거를 어디에 그어 줄 거냐 바로이 bcm과 bcd는 이등변 삼각형이죠 제가 이렇게 한 병 길이를 6이라고 하겠습니다 우리가 코사인 세타를 구하는 거기 때문에 길이를 임의로 우리가 잡아줘도 되고요 6으로 잡은 이유는 62로도 나누어 떨어지고 3으로도 나누어 떨어지기 때문에 분수가 잘 안나옵니다 그래서 저는 6으로 많이 잡아서 문제를 풀어요 자 이렇게 6으로 잡아 줄 거고요 6으로 잡았을 때 제가면 a b d만 좀 새로 그려 볼게요 이렇게 abd만 새로 그려주면지금 여기가 m이 있고요 얘가 중점이기 때문에 요렇게 선을 그었을 때 수직이 됩니다 정사면체이기 때문에이면 하나는 정상각형이죠 자 그럼 수직이 되고요 감정 길이가 6이면 6 길이는 3이고요요 길이가 3루트 3인거를 우리가 구할 수 있죠 자 여기가 3루트 3입니다 자 그런데 mc도 똑같죠 mc도 똑같이 우리가 3루트 3이라고 구할 수가 있어요 그러면 우리가요 m에서 m에서 요렇게 수직인 선분을 만들어주면요 점이 바로 bc의 중점이 됩니다 자 마찬가지로 밑면 bcd가 지금 모든 면의 길이가 6으로 똑같기 때문에 여기도 중점에서 이렇게 뒤로 수직인 선분을 만들어 낼 수가 있죠 그러면 우리가 지금 구해야 되는 삼각형 bmc와bcd의 두 평면이 이루는 각의 크기를 구하기 위해서는 수직인 두 선분이 이루는 각의 크기를 구해줘야 되고요 그것을 바로요 점을 기준으로 만들어낸 이선분과이 선분이 이루는 요각의 크기를 구해주면 됩니다요 크기가 바로 세타예요 자 그러면 제가요 점을 x라고 했을 때 삼각형 xmd를 새로 그려 볼게요 x b m 요런 식으로 그릴 수가 있고요 여기 길이는 3이죠 여기 길이는 우리가 따로 구해줘야 되고요 여기 길이도 구해줘야 되는데 여기 xd는 여기가 6이면 여기가 3이고 여기는 3루트 3입니다 xm은요 여기가 지금 3루트 3이고 여기가 3이기 때문에 피타고라스에 의해서 여기 길이를 구할 수가 있죠 바로 27-9의 루트를 씌워준 3루트 2가 나옵니다그러면 우리가 여기서 세타를 가지고 코사인 세타를 찾아주면 되고요 코사인 세타를 찾기 위해 코사인 법칙을 써주면 됩니다 2 곱하기 3루트 2 곱하기 3루트 3분의 3√2의 제곱은 18 3√3의 제곱 27 3의 제곱 9 자 이걸 계산해서 정리해주면 36 나누기 여기 9 18 루트 6입니다 이렇게 2가 되고요 3분의 루트 6으로 정리가 되죠 그래서 우리가 이렇게 코사인 세타를 찾을 수 있고요 요거 같은 경우는 지금 피타고라스의 정리가 성립하는 직급상각형입니다 그래서 우리가 그거까지도 확인이 됐다면 바로 그냥 코사인 세타를 3루트 3분의 3루트 2로 해주면 되겠죠 그게 안 보였다면 코사인 세타를 구해서 우리가 그냥 답을 내줘도 괜찮습니다 자 여기까지 됐나요 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 두평면의 수직에 대한정리인데요 자 몇 가지 좀 내용들을 보도록 할게요 자 평면 알파가 주어져 있고요 자 평면 알파가 이렇게 주어져 있는데 정면 알파의 수직인 직선 l을 자 평면 알파의 수직인직선 l을 포함하는 평면을 베타라고 하면 알파라메타랑 수직이다라고 하고 있어요 자 그러면요요 직선이요 교선과 이렇게 만나는 점을 오라고 했을 때요 우리가 어떤 평면에서 급평면의 수직인 직선은 부평면의 수직인 직선은 평면 위에 있는 모든 직선과 수직을 이루고 있죠 직선을 아무렇게 그어도 항상 수직을 이루고 있습니다 그렇기 때문에요 m이라는 교선도 알파 위에 직선이랑 l과 교선이 수직이에요 자 그러면 그 점을 5라고 했을 때 조선과 만나는 점을 오라고 했을 때 우리가 5에서 요렇게 수직인 직선을 하나 그릴 수가있죠 자 이걸 왜 그었어요 우리가요 선분과요 선분이 이루는 각의 크기가 바로 알파와 베타가 이루는 각의 크기죠 자 그런데요 직선과요 직선이 이루는 각의 크기는 뭐예요 90도죠 우리가요 직선은 알파 위의 직선이기 때문에 알파 위에 직선과 수직인 직선 그 평면의 수직인 직선이 이루는 각의 크기는 항상 90도이기 때문에 2선과이 선이 이루는 각의 크기는 90도구요 즉 알파와 베타가 이루는 각의 크기는 90도가 되는 겁니다 자이 과정을 이해하는 거 중요합니다 중요한데요 그것보다 더 중요한 건 우리가이 그림을 보고 바로바로이 수직이라는 내용을 캐치하는 것이 더 중요합니다 그렇게 해야 우리가 문제를 빨리빨리 풀고 정확하게 풀 수가 있어요 자 내용을 우리가 쭉 따라가는 것도 중요하지만 우리가 그림 자체를 보고 빠르게 판단하는 것도 중요합니다 자 계속해서 두 번째 보도록 할게요자 두평면 알파와 베타가 서로 일단 수직이고요 정면 베타 위에 한 점 a에서 자 베타 위의 한 점에 의해서 두 평면 알파와 베타의 교선이 조선의 이렇게 수선의 발을 내린대요 그러면 그 점을 5라고 한대요 자 그랬을 때 ao라는 선분하고 알파라는 평면하고 수직이래요 자 그럼 우리가 여기 왜 그런지 한번 보도록 할게요 일단요 우리가 어떤 직선과 평면이 수직이라는 것을 보이기 위해서는 벽면에 이렇게 직선이 있을 때이 평면 위에 평면 위에 임의의 직선 2개와 수직인 거를 보이면 우리가이 평면과 직선이 수직이라는 것을 알 수 있다 그랬어요 자 그러면 우리가 일단이 교선이이 교선이 지금이 직선과 수직을 이루고 있죠이 교선은 평면 알파 위에 직선입니다 그래서 평면 알파 위에 있는 직선 하나가 수직인 걸 확인했구요 자 그리고 2.5에서 이렇게 수직인 직선을 그릴 건데 이렇게 수직인 직선을 그리면요이 직선 ob와이 직선 ob와 직선 oa가 이루는 각은 뭐예요 두 평면이 이루는 각의 크기죠 얘가 수직이고 얘가 수직이니까 얘와 얘가 이루는 각의 크기는 바로 알파 베타가 이루는 각의 크기인 거예요 그게 여기를 말하는 거고요 근데 그게 몇 도예요 알파와 베타가 서로 수직이라 그랬으니까 바로 여기가 직각이 되는 겁니다 조선 m이 서로 수직을 이루고 있고요 그리고이 직선 ob와도 수직을 이루고 있습니다따라서 우리는이 직선이 벽면 알파와 수직을 이루고 있는 것을 확인할 수가 있어요 자 아까 말한 듯이 말했듯이 요렇게 된 내용을 이해하는 것도 중요하구요 우리가이 그림을 보고서 여기 수직이라는 것을 결론 내리는 것을 빨리빨리 하는 것도 중요합니다 복습이 중요해요 자 넘어가겠습니다 자 평면 알파의 수직인 두 평면 베타와 감마가 만날 때 그 교선을 l이라고 하면 l은 알파와 수직이다라고 하고 있어요 자 요거를 볼 건데요 지금 알파랑 베타랑 수직일이에요 그러면 지금 어떤 알파 위에 임의의 점을 하나 잡았을 때 그 점을 p라고 하고요 그 점 p에서 알파와 베타의 교섭 m의 수선의 발을 내립니다 그 수선의 발을 q라고 하면요 우리가 추에서 이렇게 수직인 직선을 그릴 수가 있겠죠 이렇게 수직인 직선을 그릴 수가 있습니다그러면요 직선과요 직선 두 직선이 이루는 각의 크기는 몇 도예요 두평면이 이루는 각의 크기와 같으니까 수직이 되는 겁니다 자 이렇게 수직이 되는데요이 직선은요이 빨간 직선은 l을 평행 이동한 것과 같죠 여기가 수직이고 여기가 수직이기 때문에 이렇게 평에 이동시킨 것과 같습니다 자 마찬가지로이 감마 평면 위로도 이렇게 평행 이동을 시켜주면 이렇게 수직이고요 얘도 감마와 알파가 수직이기 때문에 얘와 얘도 수직이에요 그러면 직선 l이 직선 l이 요거랑도 수직이고 요거랑도 수직이니까 우리는이 직선이 알파라는 평면 위에 있는 임의의 두 직선과 수직이라는 것을 확인할 수 있어요 그러면직선이 어떤 평면 위에 두 직선과 수직이면 우리가 급 평면과 수직이라고 배웠죠 따라서 직선 l과 알파는 수직입니다 자이 그림까지 해서요 우리가 지금 마지막에 세 가지 그림을 배웠는데이 세 가지 그림 모두이 과정도 어떻게 해야 되고요 우리가 이거를 어떤 복잡한 그림에서 봤을 때 바로바로 캐치할 수도 있어야 됩니다이 내용 정말 중요하니까 꼭 복습 철저히 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]