[수학대왕] 기하 개념강의 : 공간도형과 공간좌표 - 정사영

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 학습할 내용은 정사영입니다 자 정사용인데요 우리가 정사영은 공간도용에서 상당히 유용하게 쓰여요 그렇기 때문에 오늘 강의를 꼭 열심히 들으시기 바랍니다 자 일단요 우리가 어떤 평면 알파가 주어져 있고요 알파 위에 있지 않은 점 요런 피가 하나 있다고 하겠습니다 그러면 점피의 정사형이다 그러면이 점 p를 알파의 수직인 성분을 따라서 쭉 내려주는 거예요 그러면 알파 위에 점이 하나 찍히겠죠요 점을 점 피해 정사형이라 하고요 우리가 흔히 p 프라임이라고 씁니다 자 이렇게 점만 정사영을 구할 수 있는게 아니고요 어떤 선분의 정사형도 구할 수가 있어요 자이 선분을 우리가 어떤점 여러가지로 여러 개의 점으로 이루어진 성분이라고 생각을 해주면요 각각의 점을 이렇게 또 수직인 선분을 따라서 내려주는 거예요 그러면 이렇게 생긴 선분이 생기겠죠 자 요거를 구할 때는 양 끝점에 정사역만 구해주면 우리가 그 끝점에 정사형들을 이어줬을 때 나오는 성분이 바로요 선분의 정사형이 되는 겁니다 자 물론 곡선도 우리가 정사형을 구할 수 있고요 어떤 모양이 될지는 모릅니다 자 삼각형도 구해줄 수 있겠죠 삼각형은 우리가 삼각형에서의 꼭지점을 각각 정사형 구해주고 각 세 꼭짓점의 정사형을 구해주고 이렇게 내려서 그 꼭짓점을 이어주면 우리가이 삼각형의 정사형을 구할 수가 있는 겁니다 자 마찬가지로 구도 정사영을 구할 수가 있고요 자 9 같은 경우는 우리가 구의 정사양을 구해주면 이렇게 원 모양이 됩니다 우리가 가운데 있는모양 말고이 둘레이 둘레만 보이기 때문에 둘레를 이렇게 쭉 내려줘서 이런 원 모양의 정사형이 돼요 자 밑에 있는 내용 좀 읽어보도록 할게요 자 직선이 평면 알파와 수직이면 직선이 평면 알파와 수직이면이 직선의 정사형은요 한 점이 됩니다 자 어떤 평면이 이렇게 있는데 자 이렇게 애초에 수직인 직선인 거예요 자 이거의 정서형을 구하면 그냥 적용이 됩니다 자 만약에 어떤 다각형을 포함하는 평면이 평면 알파와 수직이면이 다각형의 평면 알파 위로의 정사양을 선분이다라고 적혀 있어요 자 만약에이 평면의 수직인 평면이 이렇게 있다고 할게요 근데이 평면이 뭐 삼각형이 있습니다 자이 삼각형을요 밑에 있는 검은색 평면으로 정사형을 구해줄 거예요 그러면 우리가요점이 이렇게 내려오고 내려오고 내려오는데 이어봤자 어떤 도형이 아니라 이런 성분이 되는 겁니다 그래서 그 내용에 관해서 이렇게 설명이 되고 있는 거고요 자 일반적으로 평면 위로의 정사형에서 평면 위로의 정사형에서 점의 정사형은 점이고요 점을 정사형시키면 점이 나온다는 얘기죠 자 직선의 정사형은 직선 또는 한 점이다라고 적혀 있어요 자 일반적으로 직선이 나오고요 한 점이 나오는 건 언제라구요 이렇게 수직인 직선을 정사형시켰을 때 한 점이 나오는 겁니다 자 다각형의 정사형은 다각형 또는 선분이고요 선분이 나오는 경우는 이렇게 평면이 수직인 경우에 성분으로 나오는 거예요 자 구의 정사형은 원이다라고 적혀 있습니다 자 넘어가겠습니다 기념예제 볼 건데요 다음 군인과 같은 정육면체에서 대각선 ag에 평면 bfgc 위로의 정사영을 구하는 문제고요 자 대각선 에이즈가 이렇게있습니다 이거를 어디로 옮기는 거예요 bfgc 위로 옮기는 겁니다 자 그렇게 옮긴다고 생각을 했을 때 이미 g라는 점에서는 만나고 있고요 a라는 점의 정사영을 구해주면 됩니다 자 정세영을 구하기 위해 수직인 선분을 따라서 쭉 내려 주고요 그 점이 바로 비네요 자 그러면 age라는 선분의 정사형을 구하기 위해서는 우리가 요렇게 각 끝점에 정사형을 구해주면 되고요 끝점에 정사양을 구했더니 bg가 되는 겁니다 그러면 bg를 이은 선분이 바로 ag에 정사형이 되는 거예요 따라서 답은 기지가 선분 bg가 선분 a지에 정사용이 되는 겁니다 자 넘어갈게요 자 직선과 평면이 이루는 각인데요 우리가 직선과 평면이 이루는 각을 정사형을 통해서 정의를 하고 있어요 자 어떤 직선l이요 평면 알파와 수직이 아닐 때 자 요렇게 직선이 주어져 있다고 할게요 그리고 이거의 정사형 L 프라임이 이렇게 있습니다 그러면 우리가 알파와 직선 l이 이루는 각은 알파와 직선 l이 이루는 각은 어떻게 찾냐 l과 L 프라임이 이루는 각도로 찾을 수가 있습니다 자요 각도가 바로 우리가 찾고 싶은 직선 l과 평면 알파가 이루는 각이에요 자 특히 우리가 l과 알파가 평행할 때는요 우리가 정사형을 시켰을 때 똑같은 선분이 나오기 때문에 똑같은 직선이 나오기 때문에 이렇게 얘랑 정사형 시키면 이렇게 되겠죠 어차피 이루는 각도의 크기가 0이 됩니다 얘를 평의 이동시켜주면 일치하기 때문에 각도의 크기가 0도가 되는 거예요 자 그리고l과 알파가 수직인 경우에는 우리가 정사형이 점으로 나오죠 점으로 나오고요 그때는 이런 각도를 찾을 수가 없고 그런 경우에 우리가 90도다라고 확인할 수가 있습니다 자 넘어가겠습니다 정사영의 길이인데요 자 선분 ab가 이렇게 있습니다 이렇게 있는데 이거를 정사양을 구해 줄 거예요 평면 알파로의 정사형을 구해줄 거고요 a라는 점을 이렇게 수직인 선분을 따라서 내려줘서 정사형 a 프라임을 찾고요 b라는 점에 이렇게 정서형을 찾기 위해 수직인 선분을 따라 내려주면 이렇게 b프라임이 나옵니다 자 그러면 AB 선분의 1/3b의 정사양은 a 프라임 b 프라임이고요 자 우리가 요거와 요거가 이루는 각의 크기를 θ라고 구할 수 있는데 자 요거를 우리가이 A 프라임 B 프라임을 평행 이동시켜서요거를 평행 이동시켜서 이렇게 만들어 낼 수가 있죠 여기가 a 프라임 여기가 p 프라인 자 그러면 여기도 똑같이 새 타일 겁니다 자 여기도 똑같이 새 타일 거고요 우리가 여기가 직각이기 때문에 코사인 세타는 AB 분의 a 프라임 B 프라임으로 구할 수가 있습니다 즉 a 프라임 B 프라임의 길이는요 원래 AB 길이에다가 두 직선이 이루는 각의 크기인 코사인 세타로 구할 수가 있는 것이죠 자 됐죠 넘어가겠습니다 자 직선 ab와 평면 알파가 이루는 각의 크기가 45도래요 자 그러면 우리가 직선 ab를 이렇게 그려줄게요이 점에서 만나고 이렇게 얘가 ab입니다 a b 자 45도라 그랬으니까 제가 요거를 정사형을구해주면요 직선 ab의 정사형을 구해주면 이렇게 a 프라임 B 프라임이 됐다고 할게요 이렇게 자 그러면 직선 ab와 평면 알파가 이루는 각의 크기가 45도니까 여기서부터 여기까지 각도가 45도인 거죠 자 근데 ab의 길이가 20이라 그랬어요 자 그러면 평면 알파 위로에 정사양이 길이 즉 a 프라임 B 프라임의 길이를 구하라고 한 거고요 자 우리가 이거는 어떻게 구할 수 있는 거예요 20코사인 45로 구할 수 있죠 계산해주면 10루트 2가 나옵니다 자 이번엔 정사영의 넓이인데요 우리가 정사영의 넓이도 우리가 길이와 마찬가지로 코사인 세타를 통해서 구할 수가 있습니다 자 어떤 알파와 베타라는 평면이 있고요 두 평면이 이루는 각의 크기를 θ라고 하겠습니다 자 두 평면이 이루는 각의 크기를 θ라고 할건데 우리가 베타 위에 있는 어떤 도형의 넓이를 s라고 하면요 자이 도형을 알파 위로 이렇게 정사형을 구해주면 알파 위로의 정사양을 구해주면 이런 모양이 될 거고요 이도형의 넓이를 S 프라임이라고 하겠습니다 자 그럼 뭐가 성립하느냐 바로 코사인 세타는 s분의 S 프라임이 성립하는 겁니다 자 그래서 s 프라임을 s 코사인 세타를 통해서 구해줄 수가 있겠죠 우리가 길이와 비슷하게이 평면과 평면이 이루는 각의 크기로도 이렇게 조형의 넓이를 구할 수가 있는 겁니다 자 개념 예제 볼 건데요 두평면 알파와 베타가 이루는 각의 크기가 60도래요 자 이렇게 알파가 있다고 하겠습니다 알파가 이렇게 있고요 자 베타가 이루는 각의 크기가 60도래요 알파랑 베타가 이루는 각의 크기가 60도니까제가 여기 각도를 60도라고 이렇게 쓸게요 자 그랬을 때 베타 위에 있는 어떤 도형의 넓이가 10이래요 자 이도형의 넓이가 10입니다 자이 도형을요 우리가 알파 위로의 정사형을 구해주면 이렇게 뭐 이런 모양이 되겠죠 이런 구조가 될 겁니다 자 우리가 이도형의 넓이를 구하는 거구요 이도형의 넓이를 s라고 하면 우리가 두 평면이 이르는 각의 크기가 60도이기 때문에 코사인 60은 10분의 s라고 구할 수가 있습니다 따라서 s는 10 코사인 60이고요 우리가 이거를 5라고 계산을 할 수가 있겠죠 자 여기까지 해서요 우리가 정서영을 모두 맞췄고요 우리가 정사영은 공간 도형에서 정말 중요하게 다뤄지는 내용이니까 꼼꼼하게 복습하고 다음 강의 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다감사합니다 [음악]