[수학대왕] 기하 개념강의 : 공간도형과 공간좌표 - 두 점 사이의 거리와 내분, 외분

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 학습할 내용은 두 점 사이에 거리와 내분 외분입니다 우리가 좌표 평면에서 두 점 사이의 거리를 구하고 내분점 외분점 구하는 공식을 알고 있어요 우리가 오늘 배울 건 좌표 공간에서 공간에서 어떤 두 점 사이의 거리와 두 점을 내분하는 점 외분하는 점 구하는 공식을 배워보도록 할게요 자 먼저 두 점 사이의 거리고요 a라는 점과 B 점이 주어져 있을 때에 이렇게 좌표를 주어져 있습니다 좌표로 주어져 있을 때이 a점부터 b점까지의 거리를 구하는 공식을 배울 거예요 자 그러면이 ab라는 것은요 우리가 AD 제곱 더하기 BD 제곱은 AB 제곱이라는 식으로 우리가 구할 수가 있고요 자 a b 제곱은AD 제곱 플러스 BD 제곱으로 구할 수가 있고요 이때이 AD 제곱은 AC 제곱 플러스 AC 제곱 플러스 CD 제곱으로 구할 수가 있죠 그래서 AD 제곱을 이렇게 표현할 거예요 ac² + CD 제곱 플러스 BD 제곱이라고요 자 이렇게까지 표현이 되죠 자 이렇게 됐을 때 AC 제곱은요요 AC 길이가 지금 뭐를 의미하냐면 이렇게 내리고 요거로 y 축으로 보내주면 y2 - y1과 같습니다 y좌표 차이죠 자 CD 길이는요요 길이와 같으니까 요걸 x 축으로 보내면 x좌표의 차이와도 같아요 자 이번엔 bd를 보낼 건데요 bd를 이렇게 쭉 보내고요 여기까지 보내면 z좌표에 차이와 같습니다따라서 우리가 요거를 이렇게 쓸 수 있는 거예요 x2 - x1의 제곱 y2 - y1의 제곱 Z2 - z1의 제곱으로 표현이 됩니다 자 우리가 요거를 가지고 a b를 표현을 해주면 루트를 씌워 주면 되겠죠 x2 -x1의 제곱 y2 - y1의 제곱 Z2 - z1의 제곱으로 우리가 두 점 사이의 거리를 구할 수가 있습니다 각 x좌표 y좌표 Z 좌표에 차이의 제곱을 더하고 루트를 씌워주면 되겠죠 자 그럼 넘어가겠습니다 [음악] 자 선분의 내분점과 외분점인데요좌표 공간의 두 점 a라는 점과 b점이 주어져 있습니다 자 이렇게 좌표 공간에 a라는 점이 있고 b라는 점이 있는데 제가 요거를 이렇게 내분하는 점 p를 구해 줄 건데요 자 이거를 a라는 점을 X Y 평면으로 쭉 내려주면 그 점을 a 프라임이라고 할 거고요 비점도 쭉 내려서 그 점을 p 프라임이라고 할 겁니다 그랬을 때이 A 프라임 B 프라임이 생기죠 자 요거를요 다시 위로 평행 이동을 시켜주면 이런 그림이 나오고요 여기에도 평행선을 이렇게 그어 주도록 하겠습니다 자 이렇게 그었을 때 여기 수직 여기 수직이고요 이렇게 피해서 만나는 점을 여기도 수직이라고 하겠습니다 자 그랬을 때 우리가 지금요 삼각형과요 삼각형과요 삼각형이 닮음이죠 여기가 직각으로 똑같고 여기 각도랑 여기 각도랑 동의각으로왔습니다 그래서 여기를 m데n으로 내분하는 점 p에 의해서 생긴 두 삼각형은요 m데n 닮음이고요 여기도 m 여기도 l의 비율을 유지하고 있고 여기도 m 요기도 n이 m데n의 비율을 유지하고 있습니다 자 그러면 여기이 m과 n을 밑으로 쭉 내려주면 여기도 m 여기도 n이고요 자 요거는 우리가 XY 평면에서 a 프라임과 b 프라임의 mdn으로 내분한 점이죠 그렇기 때문에요 점의 좌표는 우리가 x 좌표 내분하고 Y 좌표 내분한 mx2 플러스 NX1 나누기 n + n my2 + ny1 나누기 n + nz 좌표는 0이죠 XY 평면 위에 있으니까 자 이렇게 표현을 할 수가 있습니다 우리가 요거는 기존에 배웠던 내분점 공식이죠 자 요거를 우리가 요렇게 쭉p라는 점으로 옮겨주면 p라는 점의 좌표는이 p 프라임과 Z 좌표만 다르고 XY 좌표는 동일한 좌표입니다 그렇기 때문에요 b라는 점의 좌표는요 b라는 점이 좌표는 mx2 NX1 나누기 n + n 마 my2 플러스 ny1 나누기 n + n이 각각 x좌표 y좌표고요 z좌표는 z좌표는 우리가 마찬가지로이 a라는 점과 b라는 점이이 z축과 평행한 선을 봤을 때 m과 n으로 나뉘어져 있어요 m대 n의 비율을 유지하고 있죠 그래서 Z 좌표도 z좌표대로 내분점 공식을 써주면 됩니다 mz2 플러스 nz1 나누기 n+n으로요 자 이렇게 해서 우리가 4분점 공식이라 그러면 이식 자체는 변하지 않는 거예요 식 자체는 변하지 않고요 우리가요렇게 x좌표끼리 내분하고 y 좌표끼리 내분하고 z좌표끼리 내보내서 내분점을 구할 수 있다 자 웹은 좀 더 마찬가지로 우리가 외분점 공식을 통해서 x좌표도 외분한 거 y좌표 외분한 거 z좌표 외분한 걸로 구할 수가 있습니다 자 중점도 마찬가지겠죠 우리가 일대일 내분과 같기 때문에 m과 n에다가 1을 대입한 요런식이 나오게 되는 거예요 자 이미 우리가 외우고 있던 공식이고요 추가되는 건 z좌표도 마찬가지로 내분 해주면 된다 외분 해주면 된다 중점 구해주면 된다 그 내용 하나 추가된 겁니다 자 넘어가 볼게요 자 개념 예제 보도록 할 건데요 부점 a 좌표와 b 좌표가 이렇게 있는데 요거에 대하여 선분 ab를 1대 2로 내분하는 점 p와 외분하는 점 q와 중점의 분이기 때문에 1+1/2인데 x 좌표로 순서를 바꿔서 곱해주죠4 여기는 1 그리고 더해주고요 자 1+2의 1의 2에 y 좌표의 순서를 바꿔서 -8 곱하고 -2 곱하고 자 1+1/2 곱하기 10 2 곱하기 4 요걸로 구할 수가 있습니다 자 계산을 해주면요 3분의 6 요거는 3분의 -12 콤바 3분의 18이죠 그래서요 값들을 모두 계산을 해주면요 2 -4 6으로 우리가 계산을 할 수가 있습니다 자 이번엔 외분하는 점 추해 좌표를 구할 거고요 이번에는 빼주는 거죠 우리가 위에 썼던 거에서 가운데 부호만 바꿔준 거를 계산해주면 됩니다 자 7* -8 - 2 곱하기 -2 1 - 2분의 1 곱하기 10 -2 곱하기 4 자 각각 계산을 해주면요분모는 모두 마이너스 1이구요 여기는 2-1 -4 여기는 1-2 -1 이렇게 돼서요 우리가 규정의 좌표를 -2라고 구할 수가 있습니다 자 마지막으로 중점좌표 구할 거고요 중점 좌표는 좌표 더하고 2로 나눠주면 되죠 따라서 2분의 5 -5할 수가 있습니다 여기까지 됐나요 자 넘어가겠습니다 자 이번엔 삼각형의 무게중심인데요 우리가 좌표평면에서 삼각형의 무게중심 구하는 공식을 알고 있습니다 자 삼각형의 세 점의 좌표가 X1 y1 x2 콤마 y2 X3 콤마 y3로 주어져 있을 때이 세 점으로 이루어진 삼각형의 무게중심은요 3분의 X1 플러스x2+x3 콤마 3분의 y1 플러스 y2 + y3라고 우리가 구할 수가 있었습니다 자요 공간 좌표에서도 마찬가지로 우리가 좌표를 모두 더하고 3으로 나눠주면 무게중심의 좌표를 구할수 x2 플러스 X3 나누기 2 y2 + y3 / 2 Z2 + Z3 나누기 2 자 이런 식으로 우리가 중점 좌표를 찾을 수가 있어요 자 그리고 무게중심은요이 중점과 남은 한 꼭짓점 a를요 자 a부터 2대 1로 내분하는 점이기 때문에 우리 a라는 점과이 중점을 2대 1로 내분하는 점의4분점 좌표를 구해주면 됩니다 자 그렇게 해서 유도된 공익은 이렇게 된 공식이고요 우리가 요거는 [음악] 도형의 방정식 수학상의 도형의 방정식에서도 많이 공식 연습을 했었기 때문에요 과정은 우리가 넘어가도록 하겠습니다 자 개념 예제 보도록 할 거고요 자 새 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 abc의 무게중심 g의 좌표를 구하라고 했고요 자 무기 중심 주의 좌표 어떻게 구한다고요 x좌표는 x좌표끼리 더하고 3으로 나눠주고 y좌표는 y 좌표끼리 더해서 3으로 나눠주고 z좌표는 z좌표끼리 더해서 3으로 나눠주면 됩니다 자 얼굴을 계산을 해주면요 우리가 마이너스 1이라고 구할 수가 있습니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 배울 내용은 모두 끝났고요 내분점 외분점 그리고 점과 점사의 거리 공식 삼각형 무게중심까지 모두 우리가 지금까지 배운 공식하고비슷하게 생겨서 공식 외우는 데는 어렵지 않을 거라고 생각을 합니다 자 그래도 우리 꼭 복습 꼼꼼하게 하시고 오늘 강의는 여기서 마치도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]