[수학대왕] 기하 개념강의 : 공간도형과 공간좌표 - 구의 방정식

수학대왕 [음악] 자 이번 시간은 학습할 내용은 9회 방정식입니다 우리가 원하고 비슷한 구에 관해서 배울 건데요 원이란거는 좌표 평면에서 우리가 한 점으로부터 일정한 거리만큼 떨어져 있는 점들의 집합이에요 자 9는요 우리가 공간에서 좌표 공간에서 어떤 중심으로부터 중심으로부터 일정한 거리만큼 떨어진 점들의 집합인데 이거를 좌표 공간에서 우리가 생각을 해주면 원이 나오는 것이 아니라 이렇게 공 모양의 이런 구라는 도형이 나오게 되는 겁니다 자 이렇게 구에 있는 점들은요 모두 중심으로부터의 거리가 똑같고 우리가 그 거리를 뭐라 그래요 그 거리를 바로 반지름이라 합니다 자 우리가 구라는 것은 이렇게 생겼다라는 거 알면 되고요점씨로부터 중심으로부터 일정한 거리에 있는 점들을 집합이다 그게 바로 9입니다 자 그러면 우리가이 구의 방정식이란 것을 쓸 건데요이 구를 좌표평면에서 우리가 어떤 방정식으로 나타내겠다 이겁니다 자 구의 중심좌표를 a라고 하면요 자 그리고 9위에 임의의 점을 X Y 콤마 z라고 할 겁니다 자 그랬을 때 우리가 점 p와 점 c 사이의 거리를 x-a의 제곱 y-b의 제곱 Z - c의 제곱의 루트 쉬운 거를 구할 수가 있고요이 거리가 항상 반지름 r로 유지되는 거죠 양변을 제곱해주면 이렇게 되는 거고요 이게 바로 구의 방정식을 나타내는 표준형입니다 자 만약에 중심 좌표가 0 콤마 0 즉 원점이면 x² + y² + Z 제곱은 r²이라는 식으로 정리가 될 겁니다됐죠 넘어가 보도록 할게요 자 중심이 -2고 반지름의 길이가 3인 9의 방정식을 구하라고 했어요 자 그러면 우리가 중심이 -2면 x+2의 제곱 자 y 좌표가 1이니까 y -1의 제곱 z좌표가 2니까 Z -2의 제곱이고요이 값이 반지름의 제곱과 같죠 즉 9라고 써주면 됩니다 이게 바로 9의 방정식이에요 우리가 원하는 구의 방정식을 구한 거죠 자 넘어가겠습니다 이번엔 9의 방정식의 일반형인데요 우리가 아까는 완전 제곱식으로 묶여 있었는데 이렇게 쭉 전개하면 자항 1차항 상수항 이런 애들이 모두 있을 거예요 이렇게 표현된 형태를 우리는 구의 방정식의 일반형이라고 표현을 하고요 자 이거를 가지고요 우리가 중심 좌표와 반지름 길이를 구할 수가 있는데 자 완전 제곱식으로 만들어주면 되겠죠 자 완전 제곱식으로 만들어 주면 되고요 우리가 x 제곱 플러스 ax 그리고 y제곱 플러스 by z제곱 플러스 cz는 -d라고 우리가 정리를 할 수가 있어요 자 그런데 완전 제곱식을 만들기 위해서는 각각 상수항이 필요합니다 우리 1차 계수의 절반 2분의 a를 제곱하면 4분의 a 제곱이죠 자 여기도 마찬가지로 4분의 B 제곱이 필요하고요 여기는 4분의 C 제곱이 필요합니다 이거를 여기다가도 똑같이 더해주면 이런 형태가 되겠네요 4분의 a 제곱 + b 제곱 + c제곱 자 그러면 x+1/2의 제곱 y + 2분의 b에 제곱 Z + 2분의 c의 제곱은요 4분의a² + b 제곱 플러스 c²-4d구요 우리가 요거를 반지름의 제곱과 같다고 우리가 알 수가 있으니까 반지름 r을 1/2 루트 a² + b^2 + c^2 - 4d로 구할 수가 있습니다 자 그렇게 해서 중심 좌표가 -2분의 a -2 - 1/2가 나오는 것을 우리가 이렇게 정리된 식에서 확인을 할 수가 있고요 반지름도 구할 수가 있습니다 자 그러면요 조건은 왜 나왔을까요 a² + b 제곱 + c²-4d가 0보다 크다는 조건 자 우리가 반지름을 구했을 때이 루트 안에 들어가기 때문에 요게 양수일 때만 반지름이 존재하겠죠 그래서 요게 양수여야 된다는 조건이 하나 추가되는 겁니다 자 됐나요 넘어갈게요 자 이렇게 방정식이 주어져 있고요이 방정식이 나타내는 구의 중심의 좌표와반지름의 길이를 구하래요 자 저는 공식을 쓰지 않고요 직접 완전 제곱식으로 바꿔 보도록 하겠습니다 x² + 4x y² - 8y + z제곱 - 6z는 28 우변으로 넘겨서 -28이고요 각각 필요한 상수항을 더해 줄 거예요 플러스 4 + 16 +9 그거를 우변에도 더해주겠습니다 4+16 + 9 자 그러면요 여기는 x+2의 제곱 y + 4의 되고 Z - 3의 제곱이고요 우변은 요게 29니까 1만 남죠 자 중심 접수 몇 콤마 몇인가요 -2구요 반지름의 길이는 1입니다 자 우리가 어렵지 않게 완전 제곱식으로 바꾸면 중심과 반지름을 찾을 수가 있습니다 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 배울 내용 모두 마쳤고요 우리가오늘 배운이 9의 방정식에 관한 내용 어렵지 않으니까 얼른 복습하고 공부 마무리 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]